Приложение Е Системы уравнений

П.7. Системы уравнений

Система n линейных уравнений c неизвестными х₁, х₂,..., х_p

а₁₁х₁+а₁₂х₂+...+а_1pх_p=с₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+...+а_2pх_p=с₂

...                                                                    (П.7.1)

а_n1х₁+а_n2х₂+...+а_npх_p=с_n

может быть записана в матричном виде

Ах=c,                                                             (П.7.2)

где А=А_nр, х=х_р1 и с=с_n1. Заметим, что если n≠р, то х и с имеют различные размеры. Если n=р и матрица А невырожденная, то, в силу (П.5.3), система (П.7.2) имеет единственное решение в виде х=A^–1c. Если n > р и матрица А имеет больше строк чем столбцов, то система уравнений Ax=с, как правило, не имеет решения. Если n < р и А имеет меньшее строк чем столбцов, то Ax=с, как правило, имеет бесконечное число решений.

Рекомендуемые материалы

Если система уравнений Ax=с имеет одно или более решений (значений вектора х), то она является совместной. Если система не имеет решения, то она называется несовместной [Беклемишев (2006) стр.147].

Чтобы показать структуру совместной системы уравнений Ax=с, предположим, что матрица А=А_рр ранга r < р. Тогда строки матрицы А линейно зависимы и существует некоторый вектор b такой, что [см. (П.3.4)]

b^TA=b₁a_1с+b₂a_2с+...+b_pa_pс=0^T.

Тогда должно быть и b^Tс=b₁с₁+b₂с₂+...+b_pс_p=0, так как умножение Ax=с слева на b^T дает b^TAx=b^Tс или 0^Tx=b^Tс. В противном случае, если b^Tс≠0, то нет такого х, чтобы Ax=с. Следовательно, для того чтобы система уравнений Ax=с была совместной, те же линейные связи, если они существуют между строками матрицы А, должны существовать и между элементами вектора с. Это проверяется путем сравнения ранга матрицы А с рангом увеличенной матрицы [A, с]. Обозначение [A, с] указывает на то, что вектор с добавлен к матрице А в качестве дополнительного столбца.

Теорема П.7. Система уравнений Ax=с имеет по крайней мере одно решение (вектор х), если и только если ранг(А)=ранг[А, с].

Доказательство: Допустим, что ранг(А)=ранг[А, с], так что добавление вектора с не меняет ранг матрицы А. В этом случае вектор с является линейной комбинацией столбцов матрицы А. То есть существует такой вектор х, что

х₁a₁+х₂a₂+...+х_pa_p=с.

В силу (П.3.3), это можно записать в виде Ax=с. Таким образом, вектор х является решением.

Наоборот, допустим существует такое решение в виде вектора х, что Ax=с. В общем, ранг(А) ≤ ранг[А, с] [Harville (2008) стр.42]. Но поскольку существует такой вектор х, что Ax=с, то имеем

ранг[А, с]=ранг[А, Aх]=ранг{A[I, х]} ≤ ранг(А) [по пункту 1 теоремы П.4].

Отсюда

ранг(А) ≤ ранг[А, с] ≤ ранг(А),

и следовательно ранг(А)=ранг[А, с].

□

Совместная система уравнений может быть решена с помощью обычных методов излагаемых в элементарных курсах алгебры путём исключения переменных, например, добавлением одного уравнения к другому или решением одного уравнения для одной переменной и подстановкой её в другое уравнение. В этом процессе одна или несколько переменных могут в конце быть произвольными постоянными, создавая, таким образом, бесконечное число решений. Метод решения с применением обобщённых обратных матриц приводится в разделе П.8.2. Некоторые системы уравнений и их решения даются в следующих примерах.

Пример П.7.1. Рассмотрим систему уравнений

х₁+2х₂=4

х₁–х₂=1

х₁+х₂=3

или в матричном виде

=.

Расширенной матрицей этой системы является

[А, с]=,

которая имеет ранг 2, так как третий столбец равен удвоенному первому плюс второму:

2+=.

Так как ранг(А)=ранг[А, с]=2, то система имеет по крайней мере одно решение. Если добавить два раза первое уравнение ко второму, то результат будет кратным третьему уравнению. Таким образом, третье уравнение является избыточным, а первые два легко могут быть решены для получения единственного решения х^Т=[2, 1].

Три изображённые на рисунке П.7.1 линии представляют три уравнения. Обратим внимание, что эти линии пересекаются в точке (2, 1), которая является единственным решением трёх уравнений.

Рис. П.7.1. Три линии, представляющие три уравнения в примере П.7.1.

Пример П.7.2. Если изменить 3 на 2 в третьем уравнении примера П.7.1, то расширенная матрица становится

[А, с]=,

которая имеет ранг 3, так как ни одна линейная комбинация её столбцов не равна 0. [В качестве альтернативы определитель det[А, с]≠0, и [А, с] невырожденная, см. пункт 3 теоремы П.9] Отсюда ранг[А, с]=3≠ранг(А)=2 и система получается несовместной.

На Рис. П.7.2 представляющие три уравнения линии показывают, что они не имеют общей точки пересечения. [Для получения "наилучшего" приближенного решения, один из способов его получения заключается в использовании метода наименьших квадратов, то есть нахождения таких значений x₁ и x₂, которые минимизируют сумму квадратов (х₁+2х₂–4)²+(х₁–х₂–1)²+(х₁+х₂–2)².]

Рис. П.7.2 Три линии, представляющие три уравнения в примере П.7.2.

□

Пример П.7.3. Рассмотрим систему уравнений

х₁+х₂+х₃=1

2х₁+х₂+3х₃=5

3х₁+2х₂+4х₃=6.

Третье уравнение представляет собой сумму первых двух, но второе не является кратным первого. Таким образом, ранг(А)=ранг[А, с]=2 и система совместная.

"Хорхе Луис Борхес" - тут тоже много полезного для Вас.

Решая первые два уравнения относительно x₁ и x₂ с использованием x₃, получаем

х₁=–2х₃+4

х₂=х₃–3.

Вектор решения может быть представлен в виде

х==х₃+,

где x₃ - произвольная постоянная. Геометрически х является линией, представляющей пересечение двух плоскостей, соответствующих первым двум уравнениям.