Предисловие

Предисловие

Недостаточно иметь добрые намерения,

недостаточно иметь горячее чувство:

нужны знания, нужно умение, и особенно

выработка умственной самостоятельности.

Л.А. Тихомиров

В инженерных и точных науках экспериментальные исследования часто проводятся без использования статистических методов или с применением их не в полной мере. С хорошими знаниями объекта исследования такие исследования проводить можно, но применение в них статистических методов значительно повышает их эффективность. Данная книга посвящена рассмотрению статистических методов экспериментальных исследований. Статистические линейные модели играют важную роль в этих методах, и их теории уделяется особое внимание. В книге излагаются основы теории линейных моделей с использованием матричной алгебры.

Экспериментальные исследования проводятся с целью получения новых знаний об объекте исследования. Поэтому во введении даётся описание процесса познания методом индукции-дедукции известного ещё со времён Аристотеля.

Глава 1 посвящена изложению основных понятий статистики эксперимента. В ней вводится важное понятие случайной переменной. Обсуждаются также основные законы распределения рассматриваемых в книге случайных переменных. Эта глава может использоваться в качестве источника справочной информации.

Рекомендуемые материалы

В главе 2 обсуждаются некоторые общие вопросы необходимые для понимания теории и практики статистического линейного моделирования. В ней объясняется цель такого моделирования, а также рассматриваются его неопределённость и итеративная основа. В этой главе обсуждаются теоретические и статистические модели, а также их функции.

В главе 3 для векторов и матриц случайных переменных формулируются обобщения результатов, имеющихся для одной и двух случайных переменных, а также приводятся новые. Кроме этого в ней рассматриваются линейные функции векторов случайных переменных.

При анализе результатов экспериментов в статистических выводах часто полагают, что представляющий интерес вектор случайных переменных имеет многомерное нормальное распределение. Поэтому в главе 4 изучается многомерное нормальное распределение. В этой главе также анализируются свойства этого распределения и читатель знакомиться с производящими его моменты функциями.

На квадратичные формы относительно нормально распределённых векторов случайных переменных обращалось внимание с самого начала разработки теории статистического линейного моделирования. Они играют важную роль в анализе линейных моделей. Поэтому в главе 5 для квадратичных форм формулируются общие теоремы, по которым дисперсионный анализ и связанные с ним проверки статистических гипотез являются просто частными случаями. В этой главе рассматриваются также центральные и нецентральные распределения, используемые при проверке статистических гипотез.

В главе 6 определяются и анализируются простые линейные модели с одним, двумя и тремя параметрами. В ней демонстрируется оценка параметров, а также проверка гипотез об этих параметрах и определяются их доверительные интервалы. В этой главе приводится также методика проверки адекватности статистической линейной модели.

В главе 7 рассматриваются статистические линейные модели со многими параметрами. С использованием таких моделей могут оцениваться переменные отклика предположительно зависящие от многих факторов, а также предсказываться значения этих переменных для новых значений факторов. В качестве переменных отклика служат непрерывные случайные переменные, а факторами являются контролируемые в опытах эксперимента дискретные или непрерывные детерминированные переменные, принимающие определённые значения. В этой главе кроме оценки параметров методом наименьших квадратов анализируется также их оценка методом максимального правдоподобия и рассматривается обобщённый метод наименьших квадратов. В ней анализируются и преобразования функции модели.

В главе 8 приводится анализ модели с нормированными факторами. В ней показана зависимость оценки параметров от числа факторов, а также рассмотрено ортогональное разложение функции модели. В этой главе анализируются резко выделяющиеся значения переменных отклика и влиятельные наблюдения.

В главе 9 рассматриваются проверки статистических гипотез и доверительные интервалы параметров многопараметрической линейной модели с нормированными факторами. Анализируются обобщённые линейные гипотезы, а также доверительные интервалы и интервалы предсказания переменных отклика.

Всё познаётся в сравнении, поэтому в главе 10 обсуждается проблема сравнения двух объектов исследования на основе постановки эксперимента и выяснения являются ли обнаруженные между ними различия подлинными или результатом случайной вариации. Это порождает важные вопросы, связанные с выбором используемых для сравнения множеств результатов наблюдений и их распределений, а также о применении рандомизации, размещения по блокам и о графических проверках. В этой главе кроме сравнения средних приводится также сравнение дисперсий нормально распределённых данных.

Для проведения эксперимента по плану необходимо выбирать определённое число значений (или вариантов) каждого влияющего на отклик фактора и затем выполнять опыты для всех возможных комбинаций этих значений. В главе 11 обсуждаются планы, разрабатываемые только для двух вариантов или уровней каждого контролируемого в эксперименте фактора. В ней приводится анализ данных эксперимента, выполненного по полному факторному плану с четырьмя факторами.

Опыты многофакторных экспериментов по двухуровневым планам необходимо иногда выполнять блоками по несколько опытов. Это надо делать в связи с особенностями объектов экспериментирования, а также используемого оборудования и участвующего в проведении эксперимента персонала. Кроме этого эксперименты по полным планам часто содержат избыточное число опытов и поэтому в многофакторном экспериментировании используют неполные планы. Глава 12 посвящена рассмотрению неполных факторных планов. В ней обсуждаются планы экспериментов из восьми и шестнадцати опытов, а также проекции дробных планов в пространства активных факторов.

В главе 13 рассматривается метод скорейшего улучшения отклика, основанный на статистической линейной модели с нормированными факторами и переменными отклика. В ней рассмотрено применение этого метода, как для числовых, так и для нечисловых факторов. В этой главе делается также анализ условий работы метода скорейшего улучшения с линейной моделью первого порядка.

Рекомендуем посмотреть лекцию "Лекция 3".

Почти все главы в конце снабжены упражнениями, а в приложении приведены к ним ответы и подсказки. В приложении книги даны также основные элементы матричной алгебры. Это приложение можно использовать в качестве справочника.

В большинстве литературных источников изучаемые в данной книге вопросы рассматриваются в основном на интуитивном уровне. Поэтому автором сделана попытка представить строгое математическое обоснование рассматриваемых статистических методов экспериментальных исследований. Эта книга может использоваться в качестве учебного пособия по прикладной статистике студентами и аспирантами университетов в областях инженерных и точных наук, а также преподавателями и научными работниками, занимающимися экспериментальными исследованиями. В ней приводится достаточно основополагающей теории и практических примеров, чтобы дать углублённые знания для успешного применения статистических методов.

В известных литературных источниках по теме данной книги используются специальные компьютерные программы, такие, например, как JMP, Design-Expert и Minitab. Однако в этих программах не объясняется того каким образом выполняются требуемые функции. Поэтому в данной книге в основном используется программа Mathcad, в которой все функции чётко определены.

В данном варианте книга содержит 13 глав. В последующих улучшенных изданиях планируется рассмотрение линейных моделей второго порядка и вопросы, связанные с планированием второго порядка. Однако уже в имеющихся главах для читателей содержится большой объём новой информации. Поэтому для улучшения понимания рассматриваемых тем необходима некоторая обратная связь в виде пожеланий и мнений о книге. Автор будет очень признателен всем читателям, кто, изучая и используя этот вариант книги, сможет сделать полезные комментарии и предложения для улучшения ясности изложения, а также для исправления возможных ошибок и неточностей. Их можно посылать на адрес электронной почты автора vlad.backow@yandex.ru.

Владимир Борисович Боков

Май 2017 г.