Ответы и подсказки к упражнениям

Ответы и подсказки к упражнениям

Глава 3

3.1.  В силу (3.2.5), имеем

E(ау)==а=аЕ(у).

3.2.  В силу (3.2.2), имеем

D(ау)=E[(аy–аy)²]=a²E[(y–y)²]=a²s²

3.3.  В силу (3.2.9), имеем

С(y_i, y_j)=E[(y_i–y_i)(y_j–y_j)]=E(y_iy_j–y_iy_j–y_iy_j+y_iy_j)=E(y_iy_j)–y_iE(y_j)–E(y_i)y_j+y_iy_j=E(y_iy_j)–y_iy_j.

3.4.  E(y_iy_j)== [в силу (3.2.11)]

Рекомендуемые материалы

==E(y_i)=E(y_i)Е(y_j)

3.5.  В силу (3.2.10) и (3.2.12), С(y_i, y_j)=E(y_iy_j)–y_iy_j=y_iy_j–y_iy_j.

3.6.  Е(х+у)=Е==

=+=Е+Е.

3.7.  D(y)=E[(y–y)(y–y)^T]= E(yy^T–yy^T–yy^T+yy^T)

=E(yy^T)–yE(y^T)–E(y)y^T+yy^T

=E(yy^T)–yy^T–yy^T+yy^T

3.9.  В силу (3.3.4), имеем

D(v)=С=E[(v–ω)(v–ω)^T]=E

=E[(y–y)^T(x–ξ)^T]=E

==.

3.10.  Пусть z=, K=, L=[I  I  O  O] и M=[O  O  I  I]. Тогда

С(Ay+Bx, Cv+Dw)=LKC(z)K^TM^T

=[A  B  O  O]

=AΣ_yvC^T+BΣ_xvC^T+AΣ_ywD^T+BΣ_xwD^T

3.11.

1. E(x) =8 и D(x) =2.
2. E(x)= и C(x)=.

3.12.

1. E(w)= и C(w)=.
2. С(x, w)=.

Глава 4

4.1.  Используйте (3.2.1) и (3.2.2), а затем интегрирование.

4.2.  Используя теорему П.15.1 и цепное правило дифференцирования (полагая, что можно поменять местами интегрирование и дифференцирование), получаем

=exp(t^Ty)=уexp(t^Ty),

==,

==E(у)          [в силу (3.2.1) и (3.3.1)].

4.3.  Пусть K(t)=ln[М(t)]. Тогда = и =. А так как M(0)=1, то |_t=0=s² (см. раздел 5.2 после теоремы 5.2.2 и теорему 5.2.3).

4.4.  CSC^T=CIs²C^T=s²CC^T=s²I. Используйте пункт 2 теоремы 4.5.2.

4.5.  Используйте (П.3.1) и (П.3.2).

4.6.  Представьте g(у) с помощью  и S=. Для det(A) и S^–1 используйте (П.9.7) и (П.5.6). После сокращения h(у₂) в (4.5.7) покажите, что f(у₁|у₂) может быть записана в виде

f(у₁|у₂) =ехр[–(у–y₁₂)^TS₁₂^–1(у–y₁₂)/2],

где y₁₂=y₁+S₁₂S₂₂^–1(у₂–y₂) и S₁₂=S₁₁–S₁₂S₂₂^–1S₂₁.

4.7.

1. Вектор  имеет распределение N₂.

1. y₂ имеет распределение N(2, 6).
2. x имеет распределение N(–4, 79).
3. x= имеет распределение N₂.
4. f(y₁, y₂|y₃, y₄)=N₂
5. E(y₁, y₃|y₂, y₄)=+,

C(y₁, y₃|y₂, y₄)= –. Следовательно,

f(y₁, y₃|y₂, y₄)=N₂.

1. r₁₃=–1/2.
2. r_13-24=1/. Заметим, что r_13-24 имеет противоположный знак по сравнению с r₁₃.
3. Используя разделение

y= и S=,

имеем

Е(y₁|y₂, y₃, y₄)=1+[2  –1  2]

=1+[2  –1  2]

=y₂/2+y₃/2+5y₄/4+1.

D(y₁|y₂, y₃, y₄)=4–[2  –1  2]

=4–3=1.

Отсюда, f(y₁|y₂, y₃, y₄)= N(1+y₂/2+y₃/2+5y₄/4, 1).

4.8.

1. N(17, 79).
2. N₂.
3. f(y₂|y₁, y₃)=N(–5/2+y₁/4+y₃/3, 17/12).
4. f(y₁, y₂|y₃)=N₂.
5. r₁₂=/4 и r_12-3=.

4.9.  Независимыми являются переменные y₁ и y₂, а также y₂ и y₃.

4.10.  Независимыми являются переменные y₁ и y₂, а также векторы  и .

Глава 5

5.1. (a) По теореме 5.2.3 получаем

D(s²)=D[у^T(I–E/n)у]

={2след[(I–E/n)s²I]²+4y²s²1^T(I–E/n)1}

=[2s⁴след(I–E/n)+4y²s²(n–n)]=2s⁴/(n–1).

(б) D(s²)=D=D(u)

=2(n–1)=.

5.2.      у^TAy =(y–y+y)^TA(y–y+y)

=(y–y)^TA(y–y)+(y–y)^TAy+y^TA(y–y)+y^TAy

=(y–y)^TA(y–y)+2(y–y)^TAy+y^TAy

5.3.      (а) =

=––+

=––+.

            (б) При х^T=[x₁, x₂, …, x_n], y^T=[y₁, y₂, …, y_n], =1^Tx/n и =1^Ty/n, имеем

=n1^Tx1^Ty/n²=x^T11^Ty/n=x^TЕy/n,

–=x^TЕy–x^TЕy/n=x^T(I–Е/n)y.

5.4.  В силу (5.2.6), D(y^ТAy)=2след[(AS)²]+4y^TASAy. В данном случае ищется D(v)=D(y^Тy), где y имеет распределение N_n(y, I). Следовательно, А=S=I и

D(y^Тy)=2след(I²)+4y^Ty=2n+8g,

так как I размеров пхп, след(I)=п и 4y^Ty=8g, в силу g =y^Ty/2.

5.5.  ln[M_v(t)]= –(n/2)ln(1–2t)–g [1–(1–2t)^–1],

d{ln[M_v(t)]}/dt =n/(1–2t)–g [1–2(1–2t)^–2],

d{ln[M_v(0)]}/dt = n+2g,

d²{ln[M_v(t)]}/dt²= n/(1–2t)²–8g (1–2t)^–3,

d²{ln[M_v(0)]}/dt²=2n+8g.

5.6.  По теореме 5.5 квадратичная форма (у–y)^Т S^–1(у–y) имеет распределение c²(n), так как АS=S^–1S =I (которая идемпотентная) и Е(у–y)=0. Квадратичная форма у^Т S^–1у имеет распределение c²(n, g), где g =y^ТS^–1y/2.

5.8.  1^T(I–Е/n)=1^T(I–11^T/n)=1^T–1^T11^T/n=1^T–n1^T/n=0^T.

5.9.

1. Используйте пункт 1 теоремы 4.5.2. В этом случае, а=1/n.
2. t= t_у/=. Покажите, что t_у=(–y)/() имеет распределение N(0, 1).
3. Пусть t₀=(–y₀)/(). Тогда Е(t₀)= (y –y₀)/()=d и D(t₀)=[1/(s²/n)]D()=1. Следовательно, t₀ имеет распределение N(d, 1) и, в силу (5.4.2), получаем, что

= имеет распределение t(n–1, d).

Отсюда d =(y –y₀)/().

5.10.  В разделе 5.1 показано, что матрицы I–Е/n и Е/n идемпотентные и (I–Е/n)(Е/n)=O. В примере 5.5 найдено, что =y^Т(I–E/n)y/s² имеет распределение c²(n–1). Покажите, что п²/s²=y^Т(E/n)y/s² имеет распределение c²(1, g), где g=y^TAy/2 =пy²/2s². Так как (I–Е/n)(Е/n)=O то квадратичные формы y^Т(E/n)y и y^Т(I–E/n)y независимы. Отсюда, в силу (5.4.3), п²/[] имеет распределение F(1, n–1, g), где g= пy²/2s². Если y=0 (Н₀ верна), то g=0 и п²/[] имеет распределение F(1, n–1).

5.11.

            2.  Так как

=y^Т(I–E/n)y/[s²(1–r)]=y^Т{A/[s²(1–r)]}y

имеем

AS/[s²(1–r)]=s²/[s²(1–r)]=(I–E/n)[(1–r)I+rЕ].

Покажите, что это равно идемпотентной матрице (I–E/n).

5.12.

1. E(у^TAy)=след(AS)+y^TAy=–16.

2. D(у^TAy)=2след(AS)²+4y^TASAy=21 138.

3. Проверьте, является ли матрица AS идемпотентной.

4. Проверьте, является ли матрица A идемпотентной.

5.13.  A=S^–1=диаг(1/2, 1/4, 1/3), y^TAy/2=2,9167.

5.14.  A=S^–1, y^TAy/2=27.

5.15.

1. Покажите, что матрица A идемпотентная и имеет ранг 2 равный след(А). Поэтому у^TAy/s² имеет распределение c²[n, y^ТAy/(2s²)], где y^ТAy/2=12,6/2=6,3.

2. BA=≠O. Поэтому у^TAy и Ву не являются независимыми.

3. y₁+y₂+y₃=1^Tу. Покажите, что 1^TA=0^T. Поэтому у^TAy и y₁+y₂+y₃ являются независимыми.

5.16.

1. Покажите, что В идемпотентная ранга 1. Следовательно, у^TВy/s² имеет распределение c²[1, y^ТВy/(2s²)]. Найдите y^ТВy/2.
2. Покажите, что ВА=О. Следовательно, у^TВy и у^TAy независимы.

5.17.

1. H²=X(X^TX)^–1X^TX(X^TX)^–1X^T=X(X^TX)^–1X^T=H. По теореме П.13d ранг(H)=след(H) =след[X(X^TX)^–1X^T]. По пункту 2 теоремы П.11 получаем след[X(X^TX)^–1X^T] =след(I_р) =р. Так же и след(I–H)=п–р.
2. след(Hs²I) =след(s²X(X^TX)^–1X^T)=рs². y^THy=(Xb)^TX(X^TX)^–1X^T(Xb)=b^TX^TXb. Поэтому E(у^THy)= рs²+b^TX^TXb. Покажите, что след[(I–H)Is²]=(п–р)s² и, если y=Xb, то y^T(I–H)y=0. Следовательно, E[у^T(I–H)y]=(п–р)s².
3. у^THy/s² имеет распределение c²(р, g), где g=y^ТHy/(2s²)=b^TX^TXb/(2s²). Квадратичная форма у^T(I–H)y/s² имеет распределение c²(п–р).
4. Покажите, что X(X^TX)^–1X^T[I–X(X^TX)^–1X^T]=О. Тогда по следствию 1 теоремы 5.6.2 у^THy и у^T(I–H)y независимы.
5. Распределение F(р, n–р, g), где g=b^TX^TXb/(2s²).

Глава 6

6.1.

1. =–1434,544+57,38x. Заметим, что –1434,544 достигается при x=0, далеко за пределами рассматриваемых данных, и не имеет практического значения.
2. x₀ =25,10 и S=0,05.
3. =5,694+2,869x. Результат оценки ожидаемых значений переменной (у) и остатки те же, что и в пункте 1.
4. При подстановке x=(x–25,1)/0,05 в модель у=b₀+b₁x+e она превращается в модель у=b₀+b₁x +e. Поэтому модели идентичны.
5. Суммирующиеся в нуль остатки 1,594, –0,465, –1,764, –1,453, 2,088 показывают кривизну относительно аппроксимирующей прямой, что видно из графического представления. В этом случае необходимо преобразование переменной (у) или использование в модели члена х².
6. =0,6281+0,2360x.

(Равенство сумм квадратов имеет ошибку округления 0,000188.) Логарифмическое преобразование не устраняет кривизны.

1. В дополнение к столбцам в пункте 6 необходимы следующие столбцы, где h₀=0,6+0,25x.

Гипотеза Н₀: b₀=0,6, b₁=0,25 верна при α=0,10. (В колонке Суммы квадратов виден эффект ошибки округления.)

6.2.

b==

=3,864+2,869x+0,915x².

Модель у=b₀+b₁x+b₂x²+e имеет дополнительный параметр, но остатки менее систематичны.

6.3. =(Sx²)^–1(Sxy)=5^–145=9, h₀=8.

S(–h₀)²=5, S(y–)²=10, F_H=(5/1)/(10/4)=2,0.

Pr[F(1, 4)>2,0] больше 0,10 поэтому гипотеза H₀ верна.

6.4.

1. х=(x–30)/12.
2. =9,471–6,3500х.

Ясно показана неадекватность. Остатки показывают кривизну. Другие возможные модели: у=b₀+b₁x+b₁₁x²+e и w=ln(y)=b₀+b₁x+e.

1. =3,326–6,3500x+2,8678x².

=1,5219–0,86634x.

Остатки для первого уравнения при увеличении (х) получаются в виде трёх плюсов, трёх минусов, пяти плюсов и трёх минусов, то есть показывают систематическое отклонение от используемой модели. Второе уравнение, похоже, предпочтительно.

1. Это обнаружение наводит на мысль об автокорреляции между значениями переменной (у) в столбцах таблицы, что требует оценки корреляций и использования обобщённого метода наименьших квадратов или другого анализа.

6.5.  Результаты смещения оценок следуют из применения формулы Е(b)=b+Аb₂, где

Х=, Х=, Х^TХ=, Х^TХ₂=, А=(Х^TХ)^–1Х^TХ₂.

1. Нет. Если это так, то с²=d и d=с, означая, что с=² получаемое подстановкой второго требуемого условия в первое. Отсюда должно бы удовлетворяться условие с–²=0. В нём левая часть представляет сумму квадратов значений переменной х относительно их среднего, что равно нулю только, если все значения х одинаковы, давая бесполезный план только с одним уровнем переменной х, который нельзя использовать для решения модели.
2. Да. Любой симметричный относительно нуля план имеет =d=0. Например, любой трёхуровневый план с п₁, п₂ и п₃ наблюдениями соответственно при х= –1, 0 и 1, будет иметь это свойство. Для таких планов Е(b₀)=b₀+сb₁₁ и Е(b₁)=b₁.

6.7.  Для проверки гипотезы H₀: b₁=с в сравнении с H₁: b₁≠с используйте статистику

t_H=

и отклоните H₀, если │t_H│≥t_α/2(n–2). Покажите, что t_H имеет распределение t(n–2, d), где

d=.

6.8.      (а) Для проверки гипотезы H₀: b₀=а в сравнении с H₁: b₀≠а используйте статистику

t_H=

и отклоните H₀, если │t_H│≥t_α/2(n–2). Покажите, что t_H имеет распределение t(n–2, d), где

d=.

(б) 100(1–α)% доверительный интервал для b₀ получается в виде

±st_α/2(n–2).

Глава 7

7.1.  В силу (П.2.10), q₀+q₁x_i1+q₂x_i2+…+q_р–1x_iр–1=x_iс^Тq. В силу (П.2.12) и (П.2.19), получаем

=[y₁–, y₁–, …, y₁–,]

==(у–Xq)^Т(у–Xq).

7.2.  Умножьте (7.2.6) используя (П.2.9). Держите у–Xq вместе и Xq–Xq вместе. Вынесите X за скобки в Xq–Xq.

7.4.  Начиная с (6.2.13), имеем

D()=s²=s²=s².

7.5.  Два недостающих члена в (7.2.13) следующие

[А–(X^ТX)^–1X^Т][(X^TX)^–1X^Т]^Т+(X^TX)^–1X^Т][А–(X^ТX)^–1X^Т]^Т.

Учитывая, что AX=I, первое принимает значение

АX(X^TX)^–1–(X^ТX)^–1X^ТX(X^TX)^–1=(X^X)^–1–(X^ТX)^–1=О.

7.6.  Чтобы сделать дисперсию D(с^Ту) минимальной, при условии с^ТX=a^Т, возьмём производные от v=s²c^Тc–(с^ТX–a^Т)l по с и l (см. раздел П.14 о минимизации функции вектора):

=–X^Тс+a=0 даёт а=X^Тс и =2s²c–Xl=0 даёт с=Xl/(2s²).

Подставляя с=Xl/(2s²) в а=X^Тс, получаем а=X^ТXl/(2s²) или l=2s²(X^X)^–1а. Отсюда с=Xl/(2s²)=X(X^X)^–1а.

7.7.  =(F^ТF)^–1F^Тy=(K^ТX^ТXK)^–1K^ТX^Тy=K^–1(X^ТX)^–1(K^Т)^–1K^ТX^Тy=K^–1(X^ТX)^–1X^Тy=K^–1.

7.8.  (у–X)^Т(у–X)=у^Ту–у^ТX–^ТX^Ту+^ТX^ТX. Используйте (7.2.5).

7.9.  В силу (7.2.5), ^Т(X^Ту)=^Т(X^ТX). По теореме 5.2.1 Е(у^Ту)= Е(у^ТIу)=след(Is²I)+Е(у^Т)IЕ(у)=пs²+q^ТX^ТXq. По теоремам 7.2.2 и 7.2.3 E()=q и С()=s²(X^ТX)^–1. Следовательно, Е(^ТX^ТX)= след[(X^ТX)s²(X^ТX)^–1]+q^ТX^ТXq.

7.11.  Сначала покажите, что 1^ТX₁/п=, где =[, , …, ] состоит из усреднённых столбцов матрицы X₁. Затем

(I–E/n)X₁=X₁–EX₁/n=X₁–11^ТX₁/n=X₁–1

=–.

7.12.  Используя (П.5.6) при А₁₁=п, А₁₂=п^Т, А₂₁=п, А₂₂=X₁^ТX₁ и X_c^ТX_c=X₁^ТX₁–п^Т, покажите, что

(X^ТX)^–1===

и проверьте умножением, что (X^ТX)^–1X^ТX=I. При таком разделении матрицы (X^ТX)^–1 покажите, что

=(X^ТX)^–1X^Тy={[1, X₁]^T[1, X₁]}^–1==,

что то же самое, как в (7.5.12) и (7.5.13).

7.13.  Два опущенные члена в (7.3.12) следующие

–(у–X)^ТX(–q)–(–q)^ТX^(у–X)=–(X^Ту–X^ТX)^Т(–q)–(–q)^Т(X^у–X^X)

=–0^Т(–q)–(–q)^Т0,

так как X^Ту–X^ТX=0 в силу нормальных уравнений.

7.15.  Покажите, что Е²=пЕ. Затем умножьте V на V^–1 чтобы получить I, где V и V^–1 даны соответственно в (7.5.19) и (7.5.20).

7.16. (а) 1^ТV^–11=а1^Т(I–brЕ)1=а1^Т1–аbr1^Т11^Т1=ап–аbrп²=ап(1–brп). Подставьте вместо а и b их выражения чтобы показать, что это равно п/[1+(n–1)r]=bп. Затем 1^ТV^–1X_c= а1^Т(I–brЕ)X_c= а1^ТX_c– аbr1^Т11^ТX_c=0^Т, так как 1^ТX_c=0^Т. Покажите, что

X_c^ТV^–1X_c=аX_c^ТX_c.

7.17.  С()=(X^ТX)^–1X^ТС(у)X(X^ТX)^–1=s_к²(X^ТX)^–1X^ТVX(X^ТX)^–1.

7.18. (а) =(X^ТV^–1X)^–1X^ТV^–1y=

=.

7.20. (а) D[/]=D(y_i)/

=/.

Глава 8

8.1.  С() =E{[–E()][(–E()]^T}. В силу (8.2.4), Е()=b₁+Аb₂, имеем

–E()=–b₁–Аb₂=–b₁–(X₁^ТX₁)^–1X₁^ТX₂b₂

=(X₁^ТX₁)^–1X₁^Ту–(X₁^ТX₁)^–1X₁^ТX₂b₂–b₁

=(X₁^ТX₁)^–1X₁^Т(у–X₂b₂)–b₁.

Покажите, что это можно записать в виде (X₁^ТX₁)^–1X₁^Т(у–X₁b₁–X₂b₂), так что

С() = E[(X₁^ТX₁)^–1X₁^Т(у–Xb)(у–Xb)^ТX₁(X₁^ТX₁)^–1].

8.2.  E(x_01с)=x_01с(b₁+Аb₂) ≠ x_01сb₁.

8.3.  D(x_01с) ≥ D(x_01с)

=s²(x_01сG¹¹x_01с^Т–x_01сG₁₁^–1x_01с^Т)

=s²x_01с(G¹¹–G₁₁^–1)x_01с^Т

≥ 0, так как матрица G¹¹–G₁₁^–1=АВ^–1А положительно определённая (см. пункт 2 теоремы 8.2.3)

8.4.  Возьмём производную =0, тогда 2=0.

8.5.  Для адекватной модели у_i=b₀+b₁x_i +e_i имеем

Х=,

а для неадекватной модели у_i=b₁^*x_i +e_i^* имеем Х₁^T= [x₁, x₂, …, x_n]. Поэтому Х₂^T= [1, 1, …, 1]. Тогда, в силу (8.2.4), получаем

E()=b₁+Аb₂=b₁+(X₁^ТX₁)^–1X₁^ТX₂b₂

=b₁+b₂.

8.6.  (а)

X=.

Первые два столбца составляют матрицу Х₁, а последние два столбца являются матрицей Х₂. Тогда, в силу (8.2.4), имеем

E()=b₁+Аb₂=b₁+(X₁^ТX₁)^–1X₁^ТX₂b₂.

Покажите, что отсюда

E()=+

=+,

так что E()=b₀+4b₂ и E()=b₁+7b₃.

8.7.  X₁^TX_О=X₁^T[Х₂–Х₁(X₁^ТX₁)^–1X₁^ТX₂]=X₁^TХ₂–X₁^TХ₁(X₁^ТX₁)^–1X₁^ТX₂]=O.

8.8.  d(h–h²)/dh=1–2h=0, отсюда h=1/2, следовательно, 1/2–(1/2)²=1/4.

Глава 9

9.1.  H_c[I–Е/n]=H_c–H_cЕ/n=X_c(X_c^ТX_c)^–1X_c^Т–X_c(X_c^ТX_c)^–1X_c^Т 11^Т/n= X_c(X_c^ТX_c)^–1X_c^Т–О, так как X_c^Т11^Т=О1^Т=О.

9.3.  Большинство требуемого здесь получено в упражнении 5.17.

9.4.  HH₁=X(X^ТX)^–1X^ТX₁(X₁^ТX₁)^–1X₁^Т=X₁(X₁^ТX₁)^–1X₁^Т=H₁.

9.6.  s²+b_р–1²[x_р–1^Tx_р–1–x_р–1^TX₁(X₁^ТX₁)^–1X₁^Тx_р–1].

9.7.  После умножения получаются восемь членов, в которых три из первых четырёх сокращаются с тремя из последних четырёх. Например, из последних четырёх второй ^ТX₁^ТX₁А=^ТX₁^ТX₁X₁(X₁^ТX₁)^–1X₁^ТX₂=^ТX₁^ТX₂ такой же, как и второй из первых четырёх.

9.8.  Здесь можно применить теорему 9.3.4. Используйте а^Т=[0, …, 0, 1] вместо С в (9.3.8) чтобы получить

=–(X^ТX)^–1а[а^Т(X^ТX)^–1а]^–1а^Т

=–(X^ТX)^–1аа^Т/g_jj.

В силу (П.3.3), (X^ТX)^–1а является линейной комбинацией столбцов матрицы (X^ТX)^–1. Следовательно, =–g_j/g_jj, где g_jj - j-й диагональный элемент матрицы (X^ТX)^–1 и g_j - j-й столбец матрицы (X^ТX)^–1. Подставляя выражение для  в ^ТX^Тy–^ТX₁^Тy получаем

^ТX^Тy–^ТX₁^Тy=^ТX^Тy–(^ТX₁^Тy–g_j^ТX₁^Тy/g_jj)=/g_jj,

так как g_j^ТX₁^Тy является j-м элементом .

9.9.  Pr[t_α/2(п–р)≤≤t_α/2(п–р)]=1–α

Решите неравенство относительно a^Tb.

9.10.  Е(y₀–)=Е(y₀–x_0с)=x_0сb–x_0сb=0. В силу (9.5.8), D(y₀–)=s²[1+x_0с(X^ТX)^–1x_0с^Т]. По пункту 1 теоремы 7.3.4 и пункту 1 теоремы 4.5.2, (y₀–)/{s²[1+x_0с(X^ТX)^–1x_0с^Т]}^1/2 имеет распределение N(0, 1). По пункту 2 теоремы 7.3.4, (п–р)s²/s² имеет распределение c²(п–р). По пункту 3 теоремы 7.3.4 величины  и s² независимы. Используйте (5.4.6) чтобы показать, что t_у= имеет распределение t(п–р).

9.11.  1. Покажите, что Е(–)=Е(–x_0с)=0 и D(–)=s²[1/q+x_0с(X^ТX)^–1x_0с^Т]. В остальном следуйте как в ответе к предыдущему упражнению.

9.12.  Инвертируйте (возьмите обратные) все три числа неравенства (что меняет направления этих двух неравенств) и умножьте на (п–р)s².

Глава 10

Ответы к упражнениям даны после них в тексте главы.

Глава 11

11.1.  Единственно реальным результатом оценки является D=66,7. Построение вновь графика кумулятивных вероятностей распределения для остальных результатов оценки дает стандартную ошибку (воздействия) =8, то есть, =8х16^1/2/2=16 для оцениваемого стандартного отклонения отдельных наблюдений.

11.2. (а) Результат оценки воздействия фактора находится по формуле: Результат оценки = (сумма значений отклика на верхнем уровне фактора минус сумма значений отклика на нижнем уровне фактора)/2^k–1, а результат оценки коэффициента регрессии фактора b=(то же самое)/2^k.

(б) Результат оценки воздействия от взаимодействия факторов находится по формулам (11.2.6) - (11.2.8) с делителем 2^k–1, а формула оценки коэффициента регрессии взаимодействия имеет в числителе то же самое, а в знаменателе 2^k.

11.3.  Сначала добавим столбец 1 и определим четыре столбца матрицы модели Х как столбцы [1, х₁, х₂, х₃]. Один столбец х₄ определяется элементами, показанными в таблице. Применяя формулу Е(b) =β+(X^TX)^–1X^Tх₄β₄, где β^T=[β₀, β₁, β₂, β₃], β₄=β₄ и b – вектор оценки вектора β параметров модели, то находим (X^TX)^–1X^Tх₄= [0, 2, 3, –2]^T и b₀ является несмещённым, пока Е(b₁)=β₁+2β₄, Е(b₂)=β₂+3β₄, Е(b₃)=β₃–2β₄.

11.4. (а) х₁=(С% –0,5)/0,4; х₂=(Mn% –0,8)/0,6; х₃=(Ni% –0,15)/0,05.

(в) =552,5; А= –575; В=–90; С= –65; АВ=10; АС=15; ВС=10 и АВС=–10.

(г) D(результата оценки воздействия) =4s²/п=4 (65)²/8 =45,962², так что стандартная ошибка результата оценки воздействия равна примерно 46. Только 1 результат оценки выходит за пределы интервала ±2(46)= ±92.

(д) Результат оценки воздействия фактора х₁ отрицательный, так что повышение уровня C% снижает начальную температуру.

11.5.  При нормировании х₁=(ξ₁–85)/25, х₂= (ξ₂–1760)/750, х₃= (ξ₃–4,65)/2,65, план узнаваем, как повторённый по плану 2³ эксперимент с опытами [±1, ±1, ±1]. Значит =29,59375 и результаты оценки факторных воздействий, округленные до двух знаков после запятой, следующие: А=15,01, В=11,73, С=9,54, АВ=0,06, АС=–0,69, ВС=1,34, АВС= –1,09, каждый с дисперсией 4s²/16=s²/4. Дисперсия s² оценивается на основе повторных опытов. Каждая пара, например, 12,2 и 12,5 для опытов (–1, –1, –1), даёт 1 степень свободы для оценки s² по специальной формуле для пары повторных опытов, например, (12,2–12,5)²/2=0,045. Восемь таких оценок могут быть усреднены и получено s²=1,8081 на основе 8 степеней свободы. [Помните, что в общем, средневзвешенная усреднённая (v₁s₁²+v₂s₂²+…+v_rs_r²)/(v₁+v₂+…+v_r) является необходимой, но здесь все индивидуальные степени свободы равны 1, так что в этом случае общая формула подразумевает простое усреднение.] Стандартная ошибка результата оценки воздействия равна (1,8081/4)^1/2=0,672 и только три главных воздействия являются существенными. Все положительные, так что увеличение ξ₁, ξ₂, ξ₃ приведет к увеличению скорости врезания. Однако в сверлении есть и другие отклики для рассмотрения, такие как износ сверла и, как следствие, общая стоимость последовательности работ по сверлению. Таким образом, повышение уровней факторов позволит улучшить отклик, но это не обязательно лучшая практика. Необходима дополнительная информация, чтобы определить это. См., например, [Wu S.M. Tool life testing by response surface methodology, J. Engineering Industry, Trans. ASME, B-86, 1964, 105-116].

11.6.  Результаты =4,071, А=2.99, В= –0,06, С= –1,93, АВ= –0,14, АС= –1,08, ВС=0,04, АВС= –0,11, s_e²=16,06=1,004. Стандартная ошибка воздействий равна 4s_e²/24 =0,41, так что результаты А, С и АС оценки все превышают 2 стандартные ошибки. Данные средних значений из шести наблюдений для факторов х₁ и х₃ можно предстатвить в таблице:

Повышенная прочность на разрыв явно достигнута при +1 бумаги (х₁), но прочность на разрыв сильно зависит от направления разрыва (х₃).

11.7.  =29,594–7,506х₁+5,869х₂+4,769х₃.

Заметим, что ₀= и  в два раза меньше результатов оценки факторных воздействий.

Модель адекватная, так что s²= (13,79 +14,47)/(4+8) =2,355 является результатом оценки s². Результаты оценки коэффициентов регрессии ,  и  являются в высшей степени значимыми.

11.8.  Два из факторов, х₁ - тип бумаги и х₃ - направление разрыва, нечисловые и, как правило, не могут быть подходяще экстраполированы или интерполированы. Только числовой фактор, х₂ - влажность, мало влияет на отклик.

11.9.  Частичный ответ дан после упражнения.

11.10. Регрессионная версии результатов оценки воздействий факторов (половины результатов оценки воздействий факторов): 218,75, –14,25 и –10, результататы оценки воздействий соответствующих двухфакторных взаимодействий: –15,25, –20 и 15,5; а результат оценка воздействия трёхфакторного взаимодействия: 16. Хотя и нет значения ошибки для сравнения с этими результатами оценки, понятно, что только результат оценки воздействия фактора х₁ сравнительно большой, а остальное все можно расценить как остаточные изменения. С точки зрения времени разряда, батареи высокой стоимости кажутся стоящими, в то время как тип разъема и температура батареи оказывают небольшое воздействие.

Глава 12

12.1. (а) Истинно. Наибольшее значение R определяется половинной фракцией с генерирующими равенствами 1=±х₁◦х₂◦...◦х_q, так что R не может превысить q. Например, план 2_III^3–1 с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₃ имеет q=R=3.

(б) Ложно. Например, план 2_III^3–1 с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₃ имеет q=3, R=3 и k=1, так что 3=q <R+k=4.

12.2. (а) Положим, что все воздействия взаимодействий между факторами x₁, x₂ и x₃ равны нулю, как и воздействия взаимодействий между факторами x₃, x₄ и x₅. Определяющим отношением является 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ =х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₄◦х₅. Игнорируя воздействия от взаимодействий трех или более факторов, можно оценить

Среднее                     (AB)+(CD)

A+(CE)                      (AC)+BD+E

B+(DE)                      (BC)+AD

C+AE                         (ABC) +D+BE

Два воздействия факторов не совмещены, а три совмещены. (Воздействия в круглых скобках полагаются равными нулю, но перечислены для информации.)

(б) Лучше план с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₃=х₃◦х₄◦х₅ (=х₁◦х₂◦х₄◦х₅). С его использованием можно оценить

Среднее                     D+(CE)

A+(BC)                      E+(CD)

B+(AC)                      AD+BE

C+(AB)+(DE)                        BD+AE

Здесь, ввиду предположений, все пять воздействий факторов не совмещены с воздействиями двухфакторные взаимодействия и четыре воздействия двухфакторных взаимодействий совмещены в две пары.

12.3. План (а) имеет 1=х₁, в то время как план (б) разрешающей способности III. Таким образом, (б) значительно лучше.

12.4. (а) Первая фракция имеет определяющее отношение 1=х₈=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ =х₁◦х₂◦х₅ =х₁◦х₄◦х₆ =х₂◦х₄◦х₇. Фракция, полученная изменением знаков на обратные, имеет определяющее отношение 1=–х₈=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ =–х₁◦х₂◦х₅ =–х₁◦х₄◦х₆=–х₂◦х₄◦х₇.

(б) план 2_IV^8-4 имеет определяющее отношение 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ =х₁◦х₂◦х₅◦х₈ =х₁◦х₄◦х₆◦х₈ =х₂◦х₄◦х₇◦х₈.

(в) Пусть план в пункте (б) имеет матрицу B=. Новый план будет иметь матрицу =, которая представляет собой повторённый план 2^8-4.

12.5. (а) План 2_IV^8-4, 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄=х₁◦х₂◦х₄◦х₆=х₁◦х₃◦х₄◦х₇=х₂◦х₃◦х₄◦х₈, в двух блоках из восьми опытов каждый.

(б) Пусть b=х₁◦х₂, так что 1=х₁◦х₂◦b генерирует разделение на блоки. Тогда можно получить результаты оценки:

1, (A+Bb), B+Ab, C+Eb, D+Fb, E+Cb, F+Db, G+Hb, H+Gb, b+AB+CE+DF+GH, BE+AC+DG+FH, BF+AD+CG+EH, AE+BC+DH+FG, AF+BD+CH+EF, AF+CD+BH+EF, CF+DE+BG+AH.

(в) Воздействия факторов не совмещены, если фактор блоков не взаимодействует.

12.6. Для данного в подсказке плана полное определяющее отношение следующее

1=х₁◦х₂◦х₃◦х₅ =х₁◦х₂◦х₄◦х₆ =х₁◦х₂◦b₁=х₁◦х₃◦b₂=х₃◦х₄◦х₅◦х₆

=х₃◦х₅◦b₁=х₂◦х₅◦b₂=х₄◦х₆◦b₁=х₂◦х₃◦х₄◦х₆◦b₂

=х₂◦х₃◦b₁₂=х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅◦х₆◦b₁=х₁◦х₄◦х₅◦х₆◦b₂

=х₁◦х₅◦b₁₂=х₁◦х₃◦х₄◦х₆◦b₁₂=х₂◦х₄◦х₅◦х₆◦b₁₂.

Из 16 доступных результатов оценки это: среднего, шести воздействий факторов, (b₁+AB+CE+EF), (b₂+AC+BE), (b₁₂+AE+BC), (AD+BF), (AF+BD), (CD+EF), (взаимодействий высших порядков) и (CF+DE), если факторы блоков не взаимодействуют.

Может быть немного лучше разделить на блоки план посредством b₁=х₁◦х₃◦х₄ и b₂=х₂◦х₃◦х₄. Это позволит найти результаты оценки среднего, шести воздействий факторов, (b₁₂+AB+CE+DF), (AC+BE), (AE+BC), (AD+BF), (AF+BD), (CD+EF), b₁, b₂, (CF+DE), если факторы блоков не взаимодействуют. Два воздействия блоков были отделены от наборов двухфакторных взаимодействий. Однако первый план обеспечит два результата оценки воздействий взаимодействий высокого порядка, которые могут быть использованы для оценки s². Этого второй план не даёт.

12.7. Определяющим отношением (включая разделение на блоки) является

1=х₁◦х₂◦х₃◦х₅=х₁◦х₂◦х₄◦х₆ =х₁◦х₂◦b₁=х₁◦х₃◦b₂=х₁◦х₄◦b₃.

Полное определяющее отношение:

1=х₁◦х₂◦х₃◦х₅=х₁◦х₂◦х₄◦х₆ =х₁◦х₂◦b₁=х₄◦х₆◦b₁=х₁◦х₃◦b₂=х₁◦х₄◦b₃=х₃◦х₄◦х₅◦х₆=х₃◦х₅◦b₁=х₂◦х₅◦b₂

=х₂◦х₃◦х₄◦х₅◦b₃=х₂◦х₃◦х₄◦х₆◦b₂=х₂◦х₆◦b₃=х₂◦х₃◦b₁◦b₂=х₂◦х₄◦b₁◦b₃=х₃◦х₄◦b₂◦b₃=х₁◦х₅◦b₁◦b₂

=х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅◦х₆◦b₁=х₁◦х₄◦х₅◦х₆◦b₂=х₁◦х₃◦х₅◦х₆◦b₃ = х₁◦х₃◦х₄◦х₅◦b₁◦b₃=х₁◦х₂◦х₄◦х₅◦b₂◦b₃

=х₁◦х₃◦х₄◦х₆◦b₁◦b₂=х₁◦х₆◦b₁◦b₃=х₁◦х₂◦х₃◦х₆◦b₂◦b₃=х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦b₁◦b₂◦b₃=х₂◦х₄◦х₅◦х₆◦b₁◦b₂

=х₂◦х₃◦х₅◦х₆◦b₁◦b₃=х₅◦х₆◦b₂◦b₃=х₄◦х₅◦b₁◦b₂◦b₃=х₃◦х₆◦b₁◦b₂◦b₃=х₁◦х₂◦х₅◦х₆◦b₁◦b₂◦b₃.

Если факторы блоков не взаимодействуют между собой, а воздействия взаимодействий трех или более факторов игнорируются, то доступны следующие результаты оценки: среднего, A, B, C, D, E, F, (b₁+AB+CE+DF), (b₂+AC+BE), (b₃+AD+BF), (b₁₂+AE+BC), (b₁₃+AF+BD), (b₂₃+CD+EF), (взаимодействия третьего порядка), (b₁₂₃+CF+DE).

Когда имеется восемь блоков, то в этих условиях не представляется возможным улучшить результаты оценки. Например, если принять b₁=х₁◦х₃◦х₄, b₂=х₂◦х₃◦х₄, то b₁◦b₂=х₁◦х₂. Присвоение b₃ любому из остальных столбцов совмещает воздействия факторов с воздействиями блоков. Таким образом, три фактора блоков должны быть отнесены к столбцам, которые обычно оценивают комбинации двухфакторных взаимодействий. (Заметим, что, как и в предыдущем примере, если нужны четыре блока, то можно без проблем принять b₁=х₁◦х₃◦х₄ и b₂=х₂◦х₃◦х₄.)

12.8. (а) Для начальных восьми опытов определяющее отношение 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄=х₂◦х₃◦х₅ =х₁◦х₄◦х₅. Когда к плану применяется метод изменения знаков, то знаки каждого вектора изменяются на противоположные, так что определяющим отношением для второй фракции из восьми опытов является 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄=–х₂◦х₃◦х₅ =–х₁◦х₄◦х₅. Объединение этих двух планов (символически, ''усредняя'' два определяющих отношения) дает 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄ и, следовательно, планом является 2^5-1 разрешающей способности IV.

(б) План 2_V^5-1 с определяющим отношением 1=х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₅, как правило, лучше, так как все воздействия факторов и двухфакторных взаимодействий могут быть оценены отдельно.

12.9. Сначала запишите план разрешающей способности III из восьми опытов для шести факторов, например, 1=х₁◦х₂◦х₄=х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆. Добавьте вторую фракцию, в которой только знаки уровней фактора х₁ изменены на противоположные, а именно, 1=–х₁◦х₂◦х₄=–х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆. Полные определяющие отношения двух планов, соответственно, следующие:

1=х₁◦х₂◦х₄=х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆=х₂◦х₃◦х₄◦х₅=х₁◦х₃◦х₄◦х₆=х₁◦х₂◦х₅◦х₆=х₄◦х₅◦х₆,

1=–х₁◦х₂◦х₄=–х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆=х₂◦х₃◦х₄◦х₅=–х₁◦х₃◦х₄◦х₆=–х₁◦х₂◦х₅◦х₆=х₄◦х₅◦х₆.

Таким образом, совместный план имеет 1=х₂◦х₃◦х₆=х₂◦х₃◦х₄◦х₅=х₄◦х₅◦х₆ и его будут генерировать любые два из трех указанных членов. Воздействие фактора х₁ совмещено с воздействиями взаимодействий четырех или пяти факторов и все воздействия взаимодействий двух факторов, включающих х₁, совмещены с воздействиями взаимодействий трёх или четырёх факторов, достигая желаемую цель.

12.10. Есть два полных определяющих отношения

1=х₁◦х₂◦х₄=х₁◦х₃◦х₅=х₂◦х₃◦х₆=х₂◦х₃◦х₄◦х₅=х₁◦х₃◦х₄◦х₆=х₁◦х₂◦х₅◦х₆=х₄◦х₅◦х₆,

1=х₁◦х₂◦х₄=–х₁◦х₃◦х₅=–х₂◦х₃◦х₆=–х₂◦х₃◦х₄◦х₅=–х₁◦х₃◦х₄◦х₆=х₁◦х₂◦х₅◦х₆=х₄◦х₅◦х₆.

с общей частью

1=х₁◦х₂◦х₄=х₁◦х₂◦х₅◦х₆=х₄◦х₅◦х₆.

Если игнорировать воздействия взаимодействий между тремя или более факторами, то структуры совместных воздействий следующие:

β₀                       β₁₃

β₁= β₂₄               β₁₅= β₂₆

β₂= β₁₄               β₁₆= β₂₅

β₃                       β₂₃

β₄= β₁₂= β₅₆       β₃₄

β₅= β₄₆               β₃₅

β₆= β₄₅               β₃₆

Видно, что воздействия фактора х₃ и всех двухфакторных взаимодействий, где он участвует, оцениваемы в индивидуальном порядке. Это происходит потому, что изменение знаков уровней факторов х₁ и х₂ даёт точно такой же эффект, как изменение знаков уровней фактора х₃.

12.11. Сначала возьмём план 2⁴ с факторами х₁, х₂, х₃ и х₄. Очевидно, что столбцы x₁₂, x₁₃, x₁₄, x₂₃, x₂₄, x₁₂₃ уровней взаимодействий факторов не могут быть использованы для новых факторов, так как эти взаимодействия не смогут быть оценены отдельно. Пять столбцов остаются, а именно, х₃₄, х₁₂₄, х₁₃₄, х₂₃₄ и х₁₂₃₄. Если, например, выбрать х₅=х₃₄ и х₆=х₁₂₃₄, то определяющим отношением будет 1=х₃◦х₄◦х₅=х₁◦х₂◦х₃◦х₄◦х₆ =х₁◦х₂◦х₅◦х₆. Тем не менее, это совмещает х₅ с х₃₄ и х₁₅ с х₂₆ и поэтому не годится. Также и другие пары вариантов не работают. Следовательно, такого плана не существует.

(Примечание: Некоторые читатели понимают этот вопрос так, что конкретно не указанные воздействия двухфакторных взаимодействий равны нулю. Если бы это было правдой, то, полагая х₅=х₃₄ и х₆=х₁₂₃₄, план бы существовал.)

Глава 13

13.1. Нормирование факторов выполняется по формулам х₁= (ξ₁–90)/10 и х₂= (ξ₂–20)/10, а нормирование переменных отклика по формуле (13.1.7) даёт вектор =[–0,062  –1,197  1,796  –0,578  0,041]. Модель для скорейшего улучшения отклика получается в виде

= –0,8775х₁+0,619х₂.

Опыты скорейшего улучшения отклика имеют координаты (х₁, х₂) =(–0,8775а, 0,619а) для разных значений а или в натуральных единицах измерений (ξ₁, ξ₂)=(90–8,775а, 20+6,19а).

13.2. =–0,877х₁+0,619х₂. Нормированные факторы (х₁, х₂)=(–0,877а, 0,619а), поэтому в направлении скорейшего улучшения отклика имеем (ξ₁, ξ₂)=(99–8,77а, 17+12,38а). Нет значения а, дающего (59, 67), поэтому ответ НЕТ.

13.3. Формулы нормирования факторов х₁=(ξ₁–90)/10, х₂=(ξ₁–50)/10 и функция модели =1,111х₁+0,625х₂. Нормированные факторы (х₁, х₂)=(1,111а, 0,625а), поэтому в направлении скорейшего улучшения отклика имеем (ξ₁, ξ₂)=(90+11,11а, 50+6,25а). Предсказываемые значения переменных отклика находятся по формуле у_а=+S_у(1,111²а+0,625²а), где =28,9 и S_у=7,2.

13.4. Для предсказаний используется модель =х_а^Т+ε, где  - вектор параметров модели (13.1.20) и предсказание переменной  делается по формуле =х_а^Тb₁=аb₁^Тb₁, что является также результатом оценки ожидаемого значения E()=аb₁^Т. Случайные величины  и  независимы, так как предсказываемая переменная  считается независимой от п наблюдаемых переменных отклика начального эксперимента, используемых для вычисления . Поэтому дисперсия разности – получается в виде

D(–)=D(–аb₁^Тb₁)

=D(аb₁^Т+e –аb₁^Тb₁).

Так как аb₁^Т является постоянной величиной, то имеем

D(–)=D(e)+D(аb₁^Тb₁)

=s²+s²аb₁^Т(X₁^ТX₁)^–1аb₁

=s²[1+а²b₁^Т(X₁^ТX₁)^–1b₁],

что можно оценить выражением s²[1+а²b₁^Т(X₁^ТX₁)^–1b₁].

Математическое ожидание Е(–) =Е(аb₁^Т+e –аb₁^Тb₁)=0, так как Е(e)=0 и Е(b₁)=, а результат s² оценки дисперсии не зависит от  и =аb₁^Тb₁. Таким образом, здесь статистика t_у получается в виде

t_у=

и имеет распределение t(п–р). А то, что с вероятностью 1–α её значения находятся в интервале между –t_α/2(п–р) и +t_α/2(п–р) можно записать так

Pr[–t_a/2(п–р)≤≤+t_a/2(п–р)]=1–a.

Чтобы получить 100(1–α)% интервал предсказания значений переменной  неравенство в квадратных скобках преобразуется к виду

–t_α/2(п–р)s≤≤+t_α/2(п–р)s

и, учитывая, что =аb₁^Тb₁, получаем выражение для этого интервала

Обратите внимание на лекцию "13. Ультразвуковые датчики".

аb₁^Тb₁±st_α/2(п–р).

Доверительная вероятность 1–a для этого интервала предсказания имеет место только для одного набора значений элементов вектора аb₁, так что для результата каждого опыта скорейшего улучшения отклика будет свой интервал предсказания.

Для получения интервала предсказания в натуральных единицах измерений необходимо преобразовать нормированную переменную отклика в натуральные единицы измерений по формуле (13.1.18). И, если в эту формулу вместо  подставить выражение для её интервала предсказания, то в результате получаем формулу расчёта интервала предсказания переменных отклика в опытах скорейшего улучшения отклика в виде

+S_уаb₁^Тb₁±S_уst_α/2(п–р).

При этом, как и при расчёте доверительных интервалов факторов, знак перед вектором аb₁ берётся положительным, если отклик увеличивается, а если уменьшается, то знак перед ним берётся отрицательным

–S_уаb₁^Тb₁±S_уst_α/2(п–р).