Приведение нормального вектора к простейшему виду

4.3. Приведение нормального вектора к простейшему виду

Вектор z независимых случайных переменных, имеющих стандартное нормальное распределение, может быть преобразован в вектор у нормальных случайных переменных, имеющих произвольные средние, дисперсии и ковариации. Этот вектор у можно преобразовать обратно в вектор z простейшего вида. Рассмотрим вектор y случайных переменных размеров пх1, распределённый по нормальному закону с ковариационной матрицей S. Для преобразования его в вектор z сначала вычтем из него вектор средних y=Е(у). При замене у на вектор v=у–y ковариационная матрица вектора v остаётся той же C(v)=C(у)=S, а математическое ожидание становится нулевым вектором Е(v)=Е(у–y)=y–y=0. При этом вектор v остаётся распределённым нормально.

Далее можно подобрать такую ортогональную матрицу M=[m₁, m₂, …, m_n] размеров nхn, что вектор x=Mv=M(у–y) по теореме Фишера [Линник (1962) стр.57] тоже распределён нормально. Его ковариационная матрица имеет вид

S_x=C(x)=MSM^T=L,                                                 (4.3.1)

где L=диаг(l₁, l₂, ..., l_n) - диагональная невырожденная матрица.

На основе уравнения Sm_i=l_im_i собственных значений-векторов матрицы S получаем, что l₁, l₂, ..., l_n – собственные значения матрицы S и все они, положительные числа. Это следует из того, что m_i^TSm_i=l_im_i^Tm_i>0, откуда и получаем все l_i>0 [Rao, Rao (1998) стр.181].

Таким образом, в силу (4.2.7) и (4.3.1), функцию плотности вероятности распределения вектора x можно записать в виде

f(x₁, x₂, …, x_п)=ехр[–(x₁²/l₁+x₂²/l₂+…+ x_n²/l_n)/2],    (4.3.2)

так как det(S_x)=l₁l₂...l_n и квадратичная форма х^TS_x^–1х=x₁²/l₁+x₂²/l₂+…+ x_n²/l_n. Из этого выражения видно, что вектор x состоит из независимых случайных переменных x₁, x₂, ..., x_n. При этом, так как Е(x)=MЕ(v)=0 и C(x)=D(x)=L, то каждая из этих переменных имеет среднее и дисперсию соответственно

Рекомендуемые материалы

E(x_i)=0 и D(x_i)=l_i.                                        (4.3.3)

Если ввести еще одно элементарное обратимое преобразование вектора х в вектор z=L^–1/2x, то для него вектор средних значений и ковариационная матрица принимают соответственно вид

Е(z)=L^–1/2Е(x)=0 и S_z=D(z)=L^–1/2LL^–1/2=I_п,                                   (4.3.4)

так как LL^–1/2=L^–1/2L. Функция плотности вероятности вектора z имеет вид (4.3.2), где все l_i=1, то есть,

f(z₁, z₂, …, z_п)=ехр[–(z₁²+z₂²+…+ z_n²)/2]

=exp(–z₁²/2)exp(–z₂²/2)…exp(–z_n²/2)       (4.3.5)

=exp(–z^Tz/2).                                                                       (4.3.6)

Разложение на множители функции совместной плотности вероятности в виде (4.3.5) означает, что случайные переменные z₁, z₂, …, z_n являются независимыми и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1), так что E[z]=0 и D[z]=I_n. При этом вектор z является простейшим нормальным вектором.

Записывая выполненные преобразования в матричном виде, имеем

у=v+y=M^–1х+y=M^–1L^1/2z+y=M^ТL^1/2z+y,

так как матрица M ортогональная и M^–1=M^Т. Отсюда, по аналогии с выражением (4.1.3) для одной случайной переменной, преобразование вектора случайных переменных можно записать так

у=M^ТL^1/2z+y.

При этом его математическое ожидание

E[у]=E[M^ТL^1/2z+y]=M^ТL^1/2E[z]+y=y

и ковариационная матрица, в силу (4.3.1), получается в виде

С[у]=С[M^ТL^1/2z+y]=С[M^ТL^1/2z]=M^ТL^1/2I_nL^1/2M=S.

С другой стороны, представление ковариационной матрицы в виде S=MDM^Т, где D - диагональная матрица, является её спектральным разложением. Пусть S^1/2=MD^1/2M^Т, тогда, при M^ТM=I_n, произведение S^1/2S^1/2=MD^1/2M^ТMD^1/2M^Т=MDM^Т=S, так как D=D^1/2D^1/2.

Ранее отмечалось, что матрица S положительно определенная, если и только если существует невырожденная матрица А такая, что S=АА^T. Таким образом эта матрица может быть А=M^ТL^1/2 или А=MD^1/2M^Т. В любом из этих случаев получаем

АА^T=M^ТL^1/2L^1/2M=S           и АА^T=M^ТL^1/2MM^ТL^1/2M=S.         (4.3.7)

Таким образом, выбор матрицы А может быть неединственным.

Обозначение y~N_n(y, S) будет использоваться также, чтобы показать, что вектор y имеет функцию плотности вероятности, представленную выражением (4.2.7).

Пример 4.3.1. Пусть z₁, z₂, …, z_n - независимые случайные переменные, имеющие распределение N(0, 1). Функция плотности вероятности вектора z^T= [z₁, z₂, …, z_n] равна произведению одномерных функций плотности вероятности, как дано выражением (4.3.5), так что в силу (4.3.6), функция плотности вероятности вектора z имеет нулевой вектор средних и ковариационную матрицу S=I_n, то есть, z~N_n(0, I_n).

□

Лекция "Накануне" также может быть Вам полезна.

В результате получаем вывод, что, если y~N_n(y, S) и у=S^1/2z+y, то z=S^–1/2(y–y) и z~N_n(0, I_n). Распределение вектора z - простейший и наиболее фундаментальный пример многомерного нормального распределения. Как любая нормально распределенная переменная (у) получается по формуле (4.1.3) умножением имеющей стандартное нормальное распределение переменной z на s и прибавления y, так и любой вектор у нормально распределенных случайных переменных получается в результате произведения матрицы S^1/2 на простейший нормальный вектор z и прибавления вектора y. Умножением на S^1/2 достигается изменение значений элементов вектора z, а добавлением y - смещение среднего распределения N_n(0, I_n) на y и превращения этого распределения в N_n(y, S).

Пример 4.3.2. Рассмотрим функцию плотности вероятности двух случайных переменных х и у

f(х, у)=

где s_x>0, s_y>0 и |r|<1. Тогда f(х, у) имеет вид (4.2.5) с

m^T=(x, y) и S=.

Функция f(х, у) является функцией плотности вероятности двумерного нормального распределения.