Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранджа.
Теорема. Пусть ф-ция F(x) определена в 
и имеет в производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть x – произвольное значение аргумента ф-ции из , тогда для произвольного значения P, p>0 
, расположенная между a и x, такие что справедлива следующая формула: 
. 
. Формула называется формулой Тейлора с центром в точке a; 
- остаточный член в формуле Тейлора в общем виде.
эта функция – многочлен степени n – многочлен Тейлора с центром в точке а.
Обозначим 
. Рассмотрим вспомогательную функцию 
.
, где 
Покажем, что на [a;x] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
1) непрерывность на [a;x];
2) дифференцируема на (a;x);
3) 
; 
; 
; 
Рекомендуемые материалы
Теорема. Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б. м. более высокого порядка малости, чем 
при 
. 
, .
Доказать: 
; 
=0; 
; 
n раз применяем пр. Б-Л.= 
Бесплатная лекция: "Лекция 3" также доступна.
Такую запись остаточного члена называют ост. Чл. В форме Пеано: .
Рассмотрим другие формы записи остаточного члена. 
, 
1) p=n+1, тогда 
- остаточный член в форме Лагранжа.
2) p=1 – в форме Коши: 
Число 
в формуле Лагранжа и формуле Коши разные, т. К. зависят от P. Остаточный член в форме Лагранжа и Коши представляют собой погрешность, которую мы получаем, заменяя функцию f(x) ее многочленом Тейлора. Если нас интересует порядок малости такой замены при , то он совпадает с порядком малости остаточного члена в форме Пеано.
Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.
Пусть функция имеет производную любого порядка в и эти производные ограничены одной и той же константой M. 
; 
