Доказать теоремы Ролля и Ферма

Доказать теоремы Ролля и Ферма.

Пусть дана функция .

1. Определена и непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале .

3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения.

Тогда существует точка , принадлежащая отрезку .

Доказательство: Т.к. функция  непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.

, ,

, .

Рекомендуемые материалы

Случаи:

Люди также интересуются этой лекцией: АРГУНОВ Иван Петрович.

1. ,  - любое из интервала

2.  в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке отрезка .

Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале  в любой точке, то по теореме Ферма существует .

Т. Ферма:

Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.

Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть  . ; ; Т.к. .