Доказать теоремы Ролля и Ферма
Доказать теоремы Ролля и Ферма.
Пусть дана функция .
1. Определена и непрерывна на отрезке .
2. Дифференцируема на интервале .
3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения.
Тогда существует точка , принадлежащая отрезку .
Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.
, ,
, .
Рекомендуемые материалы
Случаи:
Люди также интересуются этой лекцией: АРГУНОВ Иван Петрович.
1. , - любое из интервала
2. в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке отрезка .
Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале в любой точке, то по теореме Ферма существует .
Т. Ферма:
Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.
Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть . ; ; Т.к. .