Обратное преобразование Лапласа
Обратное преобразование Лапласа
При практическом применении преобразования Лапласа всегда приходится решать обратную задачу - построение оригинала по его изображению. Общий метод построения оригинала f(t) по заданному изображению F(p) базируется на теореме обращения ( формуле Меллина ):
(3.22)
где интегрирование проводится по любой бесконечной прямой 7 0Re p = 7g 0, лежащей в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла Лапласа [7,8]. Непосредственно формулой (3.22) для нахождения оригинала по известному изображению пользуютя редко. При нахождении оригинала по его изображению обычно применяют таблицы соответствия между оригиналами и их изображениями [5] и свойства преобразования Лапласа.
В самом распространенном случае, когда изображение F(p) является дробно - рациональной функцией вида
,
где A(p) и B(p) - многочлены, причем степень многочлена B(p) больше степени многочлена A(p), оригинал может быть найден разложением дроби A(p) /B(p) на простейшие.
Пример. Дано изображение
Рекомендуемые материалы
Найти оригинал f(t) = F(p).
Разложим заданную дробь на простейшие:
Приводя к общему знаменателю, получим
.
При p = 0 1 = -8A,
При p = 2 5 = 16B,
следовательно, A = -1/8, B = 5/16.
Приравнивая далее коэффициенты, например, при 
и 
в левой и правой частях равенства, получим
Поэтому
Применяя теорему линейности, окончательно найдем
Пример. Найти оригинал по его изображению
Разложение данной дроби на простейшие имеет вид
После приведения к общему знаменателю получим
При p = 0 1 = -3A, откуда A = - 1/3;
при p = 3 1 = 9C, откуда C = 1/9.
Приравнивая далее коэффициенты при 
в правой и левой частях равенства, получим уравнение 0 = B + C, из которого следует B = - 1/9.
Итак,
Если знаменатель рациональной дроби B(p) имеет простые не-
нулевые корни 
, то есть если
то оригинал функции F(p) может быть найден по формуле
(3.23)
Пример. Найти оригинал по его изображению
Здесь, 
Корни знаменателя 
. Следовательно,
Поэтому
Если один из простых корней знаменателя B(p) равен нулю, то есть B(p) можно представить в виде 
, где 
, то оригинал находится по формуле
(3.24)
Здесь суммирование распространяется на все ненулевые корни
многочлена 
Пример. Найти оригинал по его изображению
.
Здесь
Корни знаменателя 
. Поэтому
10 Оказание первой медицинской помощи - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Применяя формулу (3.24), находим
Если знаменатель рациональной дроби представляет собой квадратный трехчлен, корни которого комплексные, удобно представить его в виде суммы квадратов слагаемых и применить теорему смещения изображения.
Пример. Найти оригинал по его изображению
