Приближённые аналитические методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Приближённые аналитические методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений
Методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют получить решение для относительно ограниченного круга задач. Поэтому в научных и инженерных расчётах широко используются приближённые методы. Их можно разделить на два класса: приближённые аналитические и численные методы. При использовании аналитических методов решения получаются в виде приближённых формул. В численных методах результаты представляются таблицей чисел. Из численных методов широко используются шаговые методы типа Рунге-Кутта, методы конечных разностей, метод конечных элементов и многие другие [14,15]. В настоящем пособии рассмотрены наиболее распространенные приближённые аналитические методы решения краевых задач: метод степенных рядов, Бубнова [16], наименьших квадратов, коллокаций. Метод степенных рядов является приближённым, но позволяет получить результат с любой степенью точности. Этот метод обсужден отдельно в параграфах 2.4.2, 2.4.3, 2.4.4.
Пусть требуется решить краевую задачу для уравнения
y''= f(x,y,y'), x 7е 0[a,b]. (2.121)
7йцу
с граничными условиями
y(a)= y 4a 0, y(b)= y 4b 0. (2.122)
Будем искать решение задачи в виде
Рекомендуемые материалы
5n
y(x)= U 4o 0(x)+ 7 S 0 C 4i 0U 4i 0(x), (2.123)
4i=1
где C 4i 0- постоянные, подлежащие определению; U 4o 0(x), U 41 0(x),...,
U 4n 0(x) - подбираемые функции, которые должны удовлетворять следу-
ющим требованиям:
1. Функции U 4i 0(x), i= 1,2,...,n должны быть линейно независимы на интервале (a,b).
2. Функции U 4i 0(x), i=0,1,2,...,n, должны быть непрерывно дифференцируемы на (a,b) хотя бы до порядка, равного порядку уравнения.
3. Функция y(x), определяемая выражением (2.123), должна удовлетворять граничным условиям (2.122) решаемой задачи. Это условие будет выполнено, если
U 4o 0(a)= 4 0y 4a 0, U 4o 0(b)= 4 0y 4b 0.
U 4i 0(a)= 4 0U 4i 0(b)= 4 00, i= 1,2,...,n. (2.124)
Если граничные условия (2.123) однородны, то решение достаточно искать в виде
5n
y(x)= 7S 0 C 4i 0U 4i 0(x).
4i=1
4. Функции U 4i 0(x) (называемые обычно координатными или аппроксимирующими) в совокупности должны качественно правильно отражать физический процесс, описываемый дифференциальным уравнением.
Лекция "Подготовка НСПУ к работе" также может быть Вам полезна.
Предположим, что функции U 4i 0(x), i= 0,1,2,...,n подобраны. Осталось найти константы C 4i 0 так, чтобы искомая функция y(x) была близка на [a,b] к точному решению краевой задачи. Для этого перепишем уравнение (2.121) в виде
y''- f(x,y,y')= 0. (2.125)
Если в левую часть уравнения (2.125) подставить точное решение уравнения (2.121), то она тождественно будет равна нулю. Если вместо точного решения подставить приближенное решение (2.123), то в левой части уравнения (2.125) получим некоторую функцию r(x,C 4i 0) 7- 0 0 на (a,b) 4, 0 i= 1,2,...,n. Эта функция называется не вязкой и может рассматриваться как некоторая мера ошибки.
В приближённых методах решения краевой задачи (2.121), (2.122) константы C 4i 0, (i=1,2,...,n) подбираются таким образом, чтобы невязка оказалась в том или ином смысле малой. Различные приближённые методы отличаются тем, что в каждом из них устанавливается свой критерий малости невязки. Общим для рассматриваемых методов является то, что их применение приводит к системе алгебраических уравнений относительно C 4i 0
7f 0(C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0)= 0, i=1,2,...,n. (2.126)
Если система (2.126) совместна, то найденные из неё константы C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0 после подстановки в (2.123) определяют приближённое решение y(x) краевой задачи (2.121), (2.122). Чем больше число координатных функций в решении (2.123), тем точнее может быть приближенное решение задачи. Однако с ростом n существенно возрастает трудоёмкость вычислений.
