Метод вариации произвольных постоянных
Метод вариации произвольных постоянных
Этот метод применим к решению систем неоднородных линейных уравнений. Ограничимся для простоты нормальной системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами
(2.113)
Пусть общее решение однородной системы уравнений имеет вид
(2.114)
где 
, 
- произвольные постоянные, а 
, 
, 
, 
- частные решения однородной системы, соответствующие различным корням характеристического уравнения.
В соответствии с методом вариации частное решение неоднородной системы отыскивается в форме, аналогичной по структуре общему решению однородной системы, но произвольные постоянные в (2.114) заменяются неизвестными функциями, то есть принимается
Рекомендуемые материалы
.
(2.215)
Подстановка (2.115) в (2.113) приводит к следующей системе двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций 
, 
:
7( 0 C 41 0'(x)y 411 0 + C 42 0'(x)y 412 0 = f 41 0(x),
7* 0 (2.116)
79 0 C 41 5' 0(x)y 421 0 + C 42 5' 0(x)y 422 0 = 4 0f 42 0(x).
Разрешая систему (2.116), получим два дифференциальных уравнения первого порядка
f 41 0y 422 0- 4 0f 42 0y 412 0 f 42 0y 411 0- 4 0f 41 0y 421
C 41 5' 0(x) = 4 ------------- 0-- ; C 42 5' 0(x) = 4 ------------- 0--. (2.117)
y 411 0y 422 0 - y 412 0y 421 0 y 411 0y 422 0 - y 412 0y 421
Интегрируя эти уравнения, находим функции C 41 0(x), C 42 0(x) и подставляем их в (2.115). Общее решение системы (2.113) запишется в виде
y 41 0 = 4 0y 41o 0 + y 41*,
y 42 0= 4 0y 42o 0+ 4 0y 42*.
Пример. Решить систему
7( 0 y 5' 0 = -4y 41 0+ y 42 0 + x,
7* 0 51 0 (2.118)
79 0 y 5' 0 = -2y 41 0 - y 42 0 + 3x. 2
Общее решение однородной системы, как было показано выше (2.112), имеет вид
y 41o 0 = C 41 0y 411 0 + C 42 0y 412 0 = C 41 0e 5-2x 0 + C 42 0e 5-3x 0,
(2.119)
y 42o 0 = C 41 0y 421 0 + C 42 0y 422 0 = 2C 41 0e 5-2x 0 + C 42 0e 5-3x 0.
Принимаем частное решение системы (2.118) в виде
y 41* 0 = C 41 0(x)e 5-2x 0 + C 42 0(x)e 5-3x 0,
(2.120)
y 42* 0 = 2C 41 0(x)e 5-2x 0 + C 42 0(x)e 5-3x 0.
Подставляя (2.120) в систему (2.118), получим после элементарных преобразований
7( 0 C 5' 0(x)e 5-2x 0 + C 5' 0(x)e 5-3x 0= x ,
7* 5 1 2
79 0 2C 5' 0(x)e 5-2x 0 + C 5' 0(x)e 5-3x 0 = 3x.
51 2
Решение этой системы приводит к уравнениям
72 0 x 5 0 e 5-3x 72 0 72 0 e 5-2x 0 x 72
72 2 0 7 2 2
72 03x 5 0 e 5-3x 72 0 72 0 2e 5-2x 0 3x 72
C 5' 0(x) = ------------- =2xe 52x 0; C 5' 0(x) = ------------- =-xe 53x 0.
51 0 72 0 e 5-2x 0 e 5-3x 72 0 5 0 52 0 72 0 e 5-2x 0 e 5-3x 72
72 2 0 7 2 2
72 02e 5-2x 0 e 5-3x 72 0 72 02e 5-2x 0 e 5-3x 72
Интегрируя эти уравнения, получим
7( 0 1 7 )
C 41 0(x) = 2 73 0xe 52x 0dx = e 52x 0 72 0x- -- 7 2 0,
79 0 2 7 0
e 53x 7( 5 1 7 )
C 42 0(x) = - 73 0xe 53x 0dx = 5 0 --- 72 5 - 0- x 72 0.
3 5 79 03 5 7 0
Поэтому
1 1 5 7( 5 1 7 ) 0 2x 7
y 41* 0 = C 41 0(x)e 5-2x 0 + C 42 0(x)e 5-3x 0 = x- -- + - 72 5 - 0- x 72 0 = --- - -- ,
2 3 5 79 03 5 7 0 0 3 18
7( 0 1 7 ) 0 1 5 7( 5 1 7 ) 0 5x 8
y 42* 0 = 2C 41 0(x)e 5-2x 0 + C 42 0(x)e 5-3x 0 = 2 72 0x- -- 7 2 0 + - 72 5 - 0- x 72 0 = --- - -.
79 0 2 7 0 0 3 5 79 03 5 7 0 0 3 9
Лекция "Сравнительный анализ международных и отечественных схем классификации" также может быть Вам полезна.
Общее решение системы запишется в виде
2x 7
y 41 0 = 4 0y 41o 0 + y 41* 0 = C 41 0e 5-2x 0 + C 42 0e 5-3x 0 + --- - -- ,
3 18
5x 8
y 42 0= 4 0y 42o 0+ 4 0y 42* 0 = 2C 41 0e 5-2x 0 + C 42 0e 5-3x 0 + --- - - 4.
