Метод Эйлера

Метод Эйлера

     Рассмотрим нормальную систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

      7( 0 dy 41

      72 0  --- = a 411 0y 41 0 + 4 0a 412 0y 42 0+ 4 ... 0a 41n 0y 4n 0,

      72 0  dx

      72

      72 0  dy 42

      7* 0 --- = a 421 0y 41 0 + 4 0a 422 0y 42 0+ 4 ... 0a 42n 0y 4n 0,

      72 0  dx                                              (2.100)

Рекомендуемые материалы

      72 0  ................................

      72 0  dy 4n

      72 0  --- = a 4n1 0y 41 0 + 4 0a 4n2 0y 42 0+ 4 ... 0a 4nn 0y 4n 0.

      79 0  dx

     Будем искать решение системы в виде

             4kx 0             4kx 0                4kx

     y 41 0= 7 a 41 77 0e  ,    y 42 0= 7 a 42 77 0e  ,...,   y 4n 0= 7 a 4n 77 0e  ,        (2.101)

где 7a 41 0, 7a 42 0,..., 7a 4n 0, k - постоянные. Подставляя (2.101) в (2.100), сокращая на e 5kx 0 , после элементарных преобразований получим

5 0L+

            7( 0  (a 411 0-k) 7a 41 7 0+ a 412 7 a 42 0 + 4... 0+ a 41n 0 7a 4n 0 = 0 4,

            72 0  a 421 7a 41 7 0+ (a 422 0-k) 7 a 42 0 + 4... 0+ a 42n 0 7a 4n 0 = 0 4,

            7* 0  .....................................

             72 0                                            (2.102)

            79 0  a 4n1 7a 41 7 0+ a 4n2 7 a 42 0 + 4... 0+ (a 4nn 0-k) 7a 4n 0 = 0 4.

   Как известно,  чтобы система линейных однородных алгебраических уравнений (2.102) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю

                  72 0  a 411 0- k 7 0  a 412 7 0 ...   a 41n 7  2

                  72 0  a 421 0     a 422 0-k 4... 0   a 42n 7  2

                  72 0  .......................  72 0= 0.     (2.103)

                  72 0  a 4n1 0     a 4n2 7 0 4... 0  a 4nn 0- k 7 2

     Раскрывая этот определитель, получим алгебраическое уравнение n-ой степени относительно k.  Уравнение  (2.103)  называется характеристическим или вековым уравнением , а его корни – корнями характеристического уравнения или собственными значениями . Если все корни  (i=1,2,...,n) этого уравнения действительные и различные числа (ограничимся только этим  случаем),  то  последовательно  подставляя их в систему (2.102),  найдем соответствующие этим  корням  нетривиальные  решения    (i = 1,2, ..., n - номер корня) системы и затем n частных решений системы дифференциальных уравнений (2.101) в виде

                                        (2.104)

Здесь первый индекс указывает номер неизвестной функции,  а второй - номер корня. Полученные таким образом n частных решений  линейной  однородной системы (2.100)

образуют фундаментальную систему решений этой системы.

     Следовательно, общее решение однородной системы дифференци-

альных уравнений (2.100) запишется в виде

или

                           ……………………………………………….

     где     - произвольные постоянные.

     Пример . Решить методом Эйлера систему

                                                                                          (2.105)

     Принимаем

                                          .                               (2.106)

     Подставляя (2.106)  в  (2.105),  получим систему

                                                                          (2.107).

     Характеристическое уравнение системы будет

                                                        Следовательно,

   или   .    Корни уравнения ,    - действительны и различны. Подставляя   в (2.107), получим

                                                                                       (2.108).

     Система (2.108) совместная, но неопределенная. Полагая  получим . Тогда

                                              .                               (2.109)

     Подставляем теперь в систему (2.108)  .

Ещё посмотрите лекцию "Прием и передача сообщений между отдельными процессами" по этой теме.

                                                                                     (2.110)

     Решение этой системы принимаем в виде . При этом

                                                                              (2.111)

     Общее решение однородной системы (2.105) будет иметь вид

                      . 

                                      ( 2.112)