Популярные услуги

Определение выпуклости многоугольника

2021-03-09СтудИзба

Определение выпуклости многоугольника.

Алгоритм Кируса–Бэка предполагает наличие выпуклого многоугольника, используемого в качестве окна.

Однако на практике весьма часто возникает задача отсечения многоугольником, а информация о том, является он выпуклым или нет изначально не задается. В таком случае, прежде чем начать процедуру отсечения необходимо определить какой задан многоугольник – выпуклый или нет.

Дадим некотрые определения выпуклости многоугольника

Выпуклым считается многоугольник, для которого выполняется одно из ниже перечисленных условий:

1) в выпуклом многоугольнике все вершины располагаются по одну сторону от линии, несущей любое ребро (по внутреннюю сторону относительно данного ребра);

2) все внутренние углы многоугольника меньше 180о;

3) все диагонали, связывающие вершины многоугольника, лежат внутри этого многоугольника;

4) все углы многоугольника обходятся в одном направлении (Рис. 3.3‑1).

Рекомендуемые материалы

Для выработки аналитического представление последнего критерия выпуклости, используем векторное произведение.

Векторное произведение W двух векторов a и  b (Рис. 3.3‑2 а) определяется как:


где:

- ax,ay,az и  bx,by,bz являются проекциями на оси координат X,Y,Z, соответственно, векторов – сомножителей a и b,

- i, j, k – единичные векторы по координатным осям X, Y, Z.


Рис. 3.31


Рис. 3.32

Если рассматривать двумерное представление многоугольника как представление его в координатной плоскости XY трехмерной системе координат X,Y,Z (Рис. 3.3‑2 b), то выражение для формирования векторного произведения векторов U  и V  , где   векторы  U  и V  являются  соседними ребрами, образующими угол многоугольника, можно записать в виде определитель:

Вектор векторного произведения перпендикулярен плоскости, в которой находятся вектора-сомножители. Направление вектора произведения определяется по правилу буравчика или по правилу винта с правой нарезкой.

Для случая, представленного на Рис. 3.3‑2 b), вектор W,  соответствующий векторному произведению векторов V,U, будет иметь ту же направленность, что и направленность  координатной оси Z.

Учитывая то, что проекции на ось Z векторов –сомножителей в этом случае равны нулю, векторное произведение можно представить в виде:

            (3.3-1)

Единичный вектор k всегда положительный, следовательно, знак вектора w    векторного произведения будет определяться только знаком определителя D в выше приведенном выражении. Отметим, что на основании свойства векторного произведения, при перестановке местами  векторов-сомножителей U и V  знак вектора w  будет меняться на противоположный.

 Отсюда следует, что, если в качестве векторов V и U  рассматривать два соседних ребра многоугольника, то порядок перечисления векторов в векторном произведении можно поставить в соответствие c обходом рассматриваемого угла многоугольника или ребер, образующих этот угол. Это позволяет использовать в качестве критерия определения  выпуклости многоугольника правило:

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 4 - Искусство.

если  для всех пар ребер многоугольника выполняется условие:


Если знаки векторных произведений для отдельных углов не совпадают, то многоугольник не выпуклый.

Так как ребра многоугольник задаются в виде координат их концевых точек, то для определения знака векторного произведения удобнее использовать определитель:

Легко показать, что этот определитель эквивалентен определителю в выражении (3.3-1).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
456
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее