Понятие о линейном пространстве. Единственность нулевого и противоположного элементов
Понятие о линейном пространстве. Единственность нулевого и противоположного элементов.
Определение. Арифметическим вектором называятся упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается , числа называются компонентами арифметического вектора.
Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: для любых и и любого числа
Определение. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством рифметических векторов Rn.
Вектор называется нулевым вектором, а вектор — противопо
противоположным вектором для вектора .
Для любых , , из Rn и любых чисел α , β справедливо:
1. , сложение коммутативно;
2. ,сложение ассоциативно;
Рекомендуемые материалы
3.
4.
5. , умножение на число ассоциативно;
6. ;
7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.
Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрических векторов на плоскости, записанных в координатной форме
Линейные подпространства в Rn, размерность подпространства, базис в подпространстве
Ещё посмотрите лекцию "3 Культура и человек" по этой теме.
Определение. Множество L векторов из Rn , такое, что для любых и из L и любого числа a справедливо , называется линейным подпространством в Rn.
Пример. Множество L арифметических векторов из Rn, у которых последние компоненты — нулевые, образует линейное подпространство в Rn:
Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейно зависимы; обозначаем dimL=k.
Определение. Любая линейно независимая система из k векторов k-мерного линейного подпространства L образует базис линейного подпространства L.
Это означает, что если dimL=k и арифметические векторы из L линейно независимы, то для любого существует единственный набор чисел таких, что