Сформулировать теоремы о связи типа особой точки с видом лорановского разложения и некоторые доказать

Сформулировать теоремы о связи типа особой точки с видом лорановского разложения. И некоторые доказать.

Рядом Лорана называется ряд = +.

Второе слагаемое представляет собой степенной ряд и, как всякий степенной ряд, сходится в круге . Это слагаемое называется правильной частью ряда Лорана и является, как сумма степенного ряда аналитической функцией.

Первое слагаемое называется главной частью ряда Лорана. Делая в нем замену , запишем главную часть в виде . Относительно переменной t

это – степенной ряд, сходящийся в некотором круге . Возвращаясь к переменной z, получим, что главная часть сходится во внешности круга, радиуса r:

 . Ряд Лорана сходится в области, представляющей собой пересечение областей сходимости правильной и главной частей. Поэтому область сходимости ряда Лорана представляет собой круговое кольцо . Радиусы сходимости r, R определяются  для степенных рядов обычным образом, сходимость на границах кольца также исследуется, как в степенных рядах. Кольцо может быть вырождено, представлять собой окружность, если r = R или пустое множество, если r > R.

Теорема. Для того чтобы  была правильной точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы функции  была ограниченной в окрестности точки .

Доказательство. Необходимость. Если  - правильная точка функции , то, доопределяя ее в точке , сделаем функцию аналитической, следовательно, и непрерывной, (тогда ). Непрерывная функция является ограниченной в некоторой окрестности точки.

Достаточность. Пусть функция - аналитическая в проколотой окрестности точки   и ограничена в окрестности . 

Рекомендуемые материалы

Так как функция  аналитическая в круговом кольце , то по теореме Лорана ее можно разложить в этом кольце в сходящийся ряд Лорана . Справедливы неравенства Коши . Рассмотрим . . Следовательно, .Тогда ряд Лорана для функции  превращается в ряд Тейлора . Доопределим функцию в точке  .Тогда функция   станет аналитической в окрестности  как сумма степенного ряда. Поэтому точка  - правильная точка функции .

Следствие. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности правильной точки представляет собой ряд Тейлора и не содержит членов с отрицательными степенями.

Теорема. Для того  чтобы точка   была полюсом n-го порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы ее разложение в ряд Лорана по степеням  не содержало степеней ниже (-n) и содержало слагаемое .

Доказательство. Необходимость. Если точка   - полюс n-го порядка функции , то . Разложим аналитическую функцию  в ряд Тейлора по степеням  и подставим разложение. . .

Достаточность. Пусть . Тогда

, где  - аналитическая в  точке   функция (как сумма степенного ряда). Поэтому  - полюс n-го порядка функции .

Теорема. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки конечной плоскости  содержит бесконечное количество отрицательных степеней .

Доказательство. Если разложение в ряд Лорана в окрестности особой точки конечной плоскости  не содержит отрицательных степеней, то точка  - правильная (доказанная выше теорема) - противоречие. Если разложение в ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней, то точка  - полюс (.доказанная выше теорема) - противоречие. Остается только вариант наличия в разложении бесконечного числа слагаемых с отрицательными степенями.

Классификация особой точки   (конечной плоскости) функции  по ее разложению в ряд Лорана в окрестности этой точки.

Если разложение функции  в ряд Лорана в окрестности  (по степеням ):

1. Не содержит отрицательных степеней, то  - правильная точка .

2. Содержит конечное число отрицательных степеней, то  - полюс , причем наинизшая отрицательная степень определяет порядок полюса.

3. Содержит бесконечное количество членов с отрицательными степенями, то  - существенно особая точка .

Это следует из доказанных выше теорем.

Классификация бесконечно удаленной особой точки   функции  по ее разложению в ряд Лорана  в окрестности этой точки.

Разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области представляет собой ряд Лорана по степеням z:  , в котором главная часть, определяющая особенности функции, содержит положительные степени, а правильная часть – отрицательные степени.

Если разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области :

1 Не содержит положительных степеней, то  - правильная точка .

2 Содержит конечное число положительных степеней, то  - полюс , причем наивысшая положительная степень определяет порядок полюса.

3 Содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, то  - существенно особая точка .

Примеры.

Вместе с этой лекцией читают "13 - Бактериологический состав и радиоактивность".

1 . Это и есть разложение в ряд Лорана в окрестности точки , т.е. в области , поэтому  - полюс  второго порядка.

2 . Разложение по степеням : справедливо в области , т.е. в окрестности точки . Оно содержит бесконечное количество членов с положительными степенями, поэтому  - существенно особая точка .

3 . Запишем разложение в окрестности точки , т.е. в области .

. Разложение не содержит положительных степеней , поэтому точка  - правильная, точнее, нуль первого порядка.

4.    . Запишем разложение по степеням  в окрестности точки .

В разложении старшая положительная степень – первая, поэтому  - полюс первого порядка. Это же разложение справедливо в области , поэтому оно является разложением в окрестности точки . В нем бесконечное количество отрицательных степеней, поэтому точка  - существенно особая.