Вычет в изолированной особой точке. Доказать теорему Коши о вычетах

Вычет в изолированной особой точке. Доказать теорему Коши о вычетах

Пусть функция  - аналитическая в некоторой проколотой окрестности точки . Если существует комплексное число A, доопределяя которым функцию в самой точке, удается сделать функцию аналитической в окрестности точки  (включая точку ), то точка  называется правильной точкой функции . Если такого числа не существует, то точка  называется изолированной особой точкой  (однозначного характера).

Если  - правильная точка функции , то .

Общая теорема о вычетах.

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области . Вычислим интеграл . Разложим функцию  в ряд Лорана в окрестности точки и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат =.

=.

Тогда =.