Вычет в изолированной особой точке. Доказать теорему Коши о вычетах
Вычет в изолированной особой точке. Доказать теорему Коши о вычетах
Пусть функция - аналитическая в некоторой проколотой окрестности точки . Если существует комплексное число A, доопределяя которым функцию в самой точке, удается сделать функцию аналитической в окрестности точки (включая точку ), то точка называется правильной точкой функции . Если такого числа не существует, то точка называется изолированной особой точкой (однозначного характера).
Если - правильная точка функции , то .
Общая теорема о вычетах.
Пусть функция - аналитическая в области и на ее границе – кусочно-гладком контуре g за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих внутри области . Лекция "23. Письма русского путешественника" также может быть Вам полезна. Тогда |
|
Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области . Вычислим интеграл . Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат =.
=.
Тогда =.