Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычет в бесконечно удаленной точке. Доказать теорему о сумме вычетов
Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычет в бесконечно удаленной точке. Доказать теорему о сумме вычетов. В том случае, когда точка - существенно особая точка, вычет в ней вычисляется единственным способом – непосредственным разложением функции в ряд Лорана и вычислением коэффициента при –1 степени.
Пример.
Здесь - существенно особая точка. Разложение в ряд Лорана в окрестности :
.
Вычетом функции в бесконечно удаленной точке называется коэффициент , (взятый со знаком минус коэффициент при –1 ой степени в разложении в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки).
Общая теорема о вычетах.
Пусть функция - аналитическая в области и на ее границе – кусочно-гладком контуре g за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих внутри области . Рекомендуемые материалы-52% Определенный интеграл -52% Определенный интеграл -52% Определенный интеграл -52% Определенный интеграл -44% Динамика материальной точки + Динамика вращательного движения -42% Расчет на прочность. Общий случай напряженного состояния Тогда |
|
Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области . Вычислим интеграл . Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат =.
=.
Тогда =.
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Специфика геоэкономического и геополитического положения России.
Теорема. Сумма вычетов функции по всей расширенной плоскости равна нулю.
Доказательство. Выберем контур так, чтобы все особые точки функции лежали внутри контура. Тогда при обходе контура в положительном направлении надо учитывать
особые точки, попавшие внутрь контура, т.е. все особые точки конечной плоскости. По общей теореме о вычетах . С другой стороны, при обходе контура в отрицательном направлении мы должны учитывать только бесконечно удаленную точку и интеграл получится тем же, но со знаком «минус» (свойство интеграла). Поэтому -. Складывая эти интегралы, получим
.
Следствие. Сумма вычетов функции по всей конечной плоскости равна вычету функции в бесконечно удаленной точке, взятому со знаком «минус».
Доказательство. По предыдущей теореме . Отсюда .