Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычет в бесконечно удаленной точке. Доказать теорему о сумме вычетов

Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычет в бесконечно удаленной точке. Доказать теорему о сумме вычетов. В том случае, когда точка - существенно особая точка, вычет в ней вычисляется единственным способом – непосредственным разложением функции в ряд Лорана и вычислением коэффициента при –1 степени.

Пример.  

Здесь  - существенно особая точка. Разложение в ряд Лорана в окрестности :

.

Вычетом функции в бесконечно удаленной точке  называется коэффициент , (взятый со знаком минус коэффициент при –1 ой степени в разложении в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки).

Общая теорема о вычетах.

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области . Вычислим интеграл . Разложим функцию  в ряд Лорана в окрестности точки и подставим в интеграл. По равномерной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, проведем почленное интегрирование и используем полученный ранее результат =.

=.

Тогда =.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Специфика геоэкономического и геополитического положения России.

Теорема. Сумма вычетов функции по всей расширенной плоскости равна нулю.

Доказательство. Выберем контур так, чтобы все особые точки функции лежали внутри контура. Тогда при обходе контура в положительном направлении надо учитывать

особые точки, попавшие внутрь контура, т.е. все особые точки конечной плоскости. По общей теореме о вычетах . С другой стороны, при обходе контура в отрицательном направлении мы должны учитывать только бесконечно удаленную точку и интеграл получится тем же, но со знаком «минус» (свойство интеграла). Поэтому -. Складывая эти интегралы, получим

.

Следствие. Сумма вычетов функции по всей конечной плоскости равна вычету функции в бесконечно удаленной точке, взятому со знаком «минус».

Доказательство. По предыдущей теореме . Отсюда .