Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Решение дифференциальных уравнений с помощью

степенных рядов.

            С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.

            Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:

            Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.

            Это решение можно представить степенным рядом:

            Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c_i.

Рекомендуемые материалы

Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)

            Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты c_i.

            Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.

            Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0.

Решение уравнения будем искать в виде

            Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Отсюда получаем:

                                   ………………

Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:

Окончательно получим:  

Итого:

            Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования.   

            Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.

1.12 Условия и особенности развития русского зодчества - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

            Если заданные начальные условия  y(0)=1,  y’(0)=0  подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что

            Далее запишем дифференциальное уравнение в виде  и будем последовательно дифференцировать его по х.

            После подстановки полученных значений получаем: