1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (Кузнецов, Шапиро - Курс лекций)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра теоретической физикиЕ. А. Кузнецов, Д. А. ШапироМЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИЧасть II. Представления групп и их применение в физике. Функции ГринаКурс лекцийНовосибирск2014Оглавление1 Симметрии1.1. Группа симметрии . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Абстрактная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Группа треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Основные понятия теории групп2.1. Правые смежные классы. Индекс . . . . . . . . . .2.2. Инвариантная подгруппа. Фактор-группа. Прямое2.3. Классы сопряженных элементов . .

. . . . . . . .2.4. Представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4467....10101113153 Теория характеров3.1. Свойства характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Снятие вырождения при понижении симметрии . . . . .

. . . . . . . . . .1818204 Колебания молекул4.1. Кратность вырождения . . . . . . . . . . . . . .4.2. Характер исходного представления . . . . . . .4.3. Колебательное представление . . . . . . . . . .4.4. Собственные векторы и собственные значения....2424262729.....3131323636375 Группы и алгебры Ли5.1. Гладкое многообразие . . . .5.2. Группа Ли . . . . . . . . .

.5.3. Алгебра Ли . . . . . . . . . .5.4. Алгебра Ли группы Ли . . .5.5. Экспоненциальная формула.......................................................................... . . . . . . . .произведение. . . . . . . . .. . . . . . . . ......................................................................................................................................6 Группы ортогональных и унитарных матриц6.1. Примеры матричных алгебр Ли . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Гомоморфизм SU(2) → SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Представления группы вращений7.1. Неприводимые представления ASO(3) . .Оператор Казимира . . . . . . . . . . . . .Повышающий и понижающий операторыЛестница состояний . . . . .

. . . . . . . .Вычисление матричных элементов . . . .7.2. Базис неприводимого представления . . .7.3. Примеры неприводимых представлений .2.....................................................................................................................................3939424646464647484950ОГЛАВЛЕНИЕ38 Тензорное представление8.1. Прямое произведение представлений .8.2.

Разложение Клебша — Гордана . . . .8.3. Тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.4. Построение тензорного представления....53535556599 Правила отбора9.1. Симметризаторы Юнга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2. Инвариантные тензоры . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3. Правила отбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6060636510 Функция Грина10.1. Полуоднородная задача . . . . . . . . .10.2. Разложение оператора по проекторам10.3. Оператор Штурма — Лиувилля . . . .10.4. Дополнительная литература . . . . . .....6969707275.....76767878798012 Функция Грина второго рода12.1. Формула Грина для оператора Лапласа . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .12.2. Потенциалы простого и двойного слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3. Уравнение Гельмгольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8282828513 Нестационарные уравнения13.1. Параболические операторы . . . . . . .

. . . .Единственность . . . . . . . . . . . . . . . . . .Связь функций Грина первого и второго родаФормула Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . .13.2. Гиперболические операторы . . . . . . . . . . .Единственность . . . . . . . . . . . . . . . . . .Связь функций Грина первого и второго родаЗапаздывающая функция Грина . . . . . . . .................................................................................................................................88888989909292939414 Резольвента14.1. Дискретный и непрерывный спектр . . .

. .14.2. Резольвента дифференциального оператора .14.3. Построение резольвенты . . . . . . . . . . . .n=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................96. 96. 98. 99. 100. 10111 Обобщенная функция Грина11.1. Нулевые моды . . .

. . . . . . . . . .11.2. Уравнение Пуассона . . . . . . . . . .Единственность . . . . . . . . . . . .Фундаментальные решения . . . . .Функция Грина для задачи Дирихле..............................................................................................................................................................................................................................................................................A Свойства представлений103Литература110Предметный указатель112Лекция 1Симметрии1.1.Группа симметрииОпределение 1.1 .

Совокупность преобразований, совмещающих объект с самим собой,называется группой симметрии объекта.Если преобразования дискретные и их конечное число, группа называется конечной. Количество элементов в конечной группе G называется порядком группы и обозначается |G|. Объекты могут быть разной природы: геометрические тела, молекулы,дифференциальные уравнения, функции и т.п. Главное, чтобы они не менялись прикаких-либо преобразованиях. Преобразования бывают дискретными или непрерывными.Пример 1.1 . Перестановка переводит множество из n неразличимых объектов в себя.Подстановки из n объектов записываются как!1 2 ... n,i1 i2 . . . inгде i1 , i2 , .

. . , in те же числа 1, 2, . . . , n, но в другом порядке. Определим произведениеподстановок, как их композицию: сначала переставляем объекты первой подстановкой,потом второй, например,1 2 33 2 1!!!1 2 31 2 3=.2 1 33 1 2Вторая подстановка переставляет первый и второй объекты, а первая меняет местами первый и третий объекты. В произведении получится циклическая перестановка.Все подстановки Pn из n объектов образуют конечную дискретную группу порядка|Pn | = n!. Иногда часть множества подстановок тоже составляют группу, например,четные подстановки из n объектов образуют группу An размерности |An | = n!/2, n > 2.Подмножество группы, которое само является группой называется подгруппой.Пример 1.2 . Группа симметрии молекулы состоит из конечного числа геометрическихпреобразований, под действием которых молекула переходит сама в себя.

Все такиепреобразования (элементы симметрии) оставляют на месте по крайней мере, однуточку, поэтому такие группы называют точечными.Пример точечной группы — группа треугольника — приведен на рис. 1.1 a. В данной группе два элемента симметрии: ось третьего порядка C3 и ось второго порядка C2 ,перпендикулярная ей. Из-за наличия оси третьего порядка появляется 3 оси второгопорядка.В общем случае в точечной группе могут быть только три вида элементов:41.1.

Группа симметрии5C3CnCnS4C2C2σvσhC2(a)(b)(c)Рис. 1.1. (a) Группа вращений правильного треугольника включает в себя ось третьегопорядка C3 и три оси второго порядка C2 . (b) Вертикальная зеркальная плоскость σvи горизонтальная σh . (c) “Молекула”, имеющая зеркально-поворотную ось четвертогопорядка S4 .1. Поворот Cn на угол 2π/n вокруг оси n-го порядка. Пример оси C3 мы уже виделина рис. 1.1 a.2. Отражение в плоскости, проходящей через ось σv или перпендикулярной оси σh .Индексы v, h означают вертикальную или горизонтальную плоскость, так что осьn-го порядка надо представлять себе вертикальной, рис.

1.1 b.3. Зеркальный поворот S2n = σh C2n , то есть поворот с отражением в горизонтальной плоскости. Чтобы после поворота на 2π молекула возвратилась в исходноесостояние, порядок зеркально-поворотной оси естественно должен быть четным.На рис. 1.1 c изображена «молекула» содержащая две пары одинаковых атомов,расположенных в параллельных плоскостях. Вертикальные плоскости, проходящие через ось и пары атомов, расположены под прямым углом. Поворот на π/2и отражение в горизонтальной плоскости σh является симметрией. Получаетсязеркально-поворотная ость порядка n = 4.В группах, описывающих симметрию бесконечных кристаллов (пространственных ) к поворотам и отражениям добавляются трансляции на постоянную решетки.Пространственные группы дискретные и бесконечные.Пример 1.3 .

Обыкновенное дифференциальное уравнениеdyy=fdxxинвариантно относительно преобразований растяжения x → λx, y → λy, λ > 0. Такоеуравнение, как известно, называется однородным и решается с помощью перехода к новой переменной z = y/x. Все растяжения с разными λ образуют группу R+ , котораяочевидно бесконечная и непрерывная.

Действительно, если мы прибавим к параметру λ бесконечно малое приращение, получится растяжение, которое тоже попадает вгруппу симметрии уравнения. Чтобы задать одно преобразование симметрии, требуется зафиксировать параметр λ. Количество параметров, необходимое для однозначногозадания преобразования непрерывной группы симметрии, называется размерностьюи обозначается dim . В нашем примере dim R+ = 1.61 СИММЕТРИИПример 1.4 . Уравнение Шредингера для частицы в центральном поле с операторомГамильтона^2^ = p+ U(r)H2mинвариантно относительно всех вращений трехмерного пространства.

Все вращения составляют непрерывную бесконечную группу, которую обозначают SO(3). Ортогональная матрица с определителем -1 описывает поворот с отражением (зеркальный илинесобственный поворот). Иногда вместо SO(3) пишут O+ (3), знаком + обозначая положительный определитель. Элементы группы — это ортогональные матрицы 3 3. Любой поворот можно задать, как поворот на некоторый угол ψ вокруг некоторой оси n.Если вдоль оси вращения выбрать ось z, матрица ортогонального преобразования запишется как01os ψ − sin ψ 0Bos ψ 0C sin ψA.001Определитель такой матрицы равен +1.