1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (Кузнецов, Шапиро - Курс лекций), страница 5

. , n. Зададим это действиеправиломgψi (x) = ψi (g−1 x) = Dij (g)ψj(x).(3.5)Последовательное действие двух преобразований a и b описывается тем же правилом:a bψ(x) = aψ(b−1 x) aφ(x),aφ(x) = φ(a−1 x) = ψ b−1 (a−1 x) = ψ(b−1 a−1 x) = ψ (ab)−1x .Таким образом D(a b) = D(a) D(b) и представление построено.Если представление D(g), n = dim D, неприводимо, то по лемме Шура матрицаоператора Гамильтона скалярна, т.е. в подпространстве одного неприводимого представления на диагонали стоят одинаковые числа λ. Тогда группе симметрии отвечаетn-кратное вырождение.

Пусть теперь к гамильтониану добавили возмущение V, имеющее меньшую симметрию F, F < G. Тогда, вообще говоря, размерность неприводимыхпредставлений уменьшается и вырождение частично снимается. Отметим, что в рассуждениях мы нигде не пользовались малостью возмущения. Рассмотрим для наглядностипример не из квантовой механики, а из механики сплошных сред — малые колебанияупругой мембраны.3.2.

Снятие вырождения при понижении симметрии21Рис. 3.1. Мембрана с закрепленным краем и тремя грузиками.Пример 3.2 . Рассмотрим круглую мембрану радиуса a с закрепленным краем. Отклонение каждой точки u(x, y, t) от положения равновесия описывается двумернымволновым уравнением. Для монохроматических колебаний с частотой ω в полярныхкоординатах задача сводится к задаче на собственные значения1 ∂ ∂u1 ∂2 ur+ 2= k2 u,r ∂r ∂rr ∂ϕ2k2 =ω2,c2где c — скорость звука. Граничных условий — два: регулярность при r = 0 и обращение внуль отклонения на краю u(a, ϕ) = 0. Мы знаем, что такая задача упрощается методомразделения переменных и имеет решениеu(r, ϕ) = R(r)eimϕ.Радиальное уравнение на R(r) решается в функциях Бесселя, но нас сейчас будет интересовать только зависимость от угла, которая при m 6= 0 имеет двукратное вырождение.Двум значениям m соответствует одно и то же собственное значение k.Пусть теперь на мембрану поместили три одинаковых груза, расположенные в вершинах правильного треугольника, как показано на рис.

3.1. Уменьшится ли кратностьвырождения?Система грузов инвариантна относительно всех их перестановок, то есть относительно группы D3 . Сначала построим двумерное исходное представление, котороедействует на паре собственных функций с одинаковыми k. Единичный элемент представляем единичной матрицей!1 0.D(1) =0 1Чтобы найти представление r, подействуем этим преобразованием на пару наших функций согласно правилу (3.5) и найдем матрицу, которая действует точно так же:!!0eimϕeim(ϕ−2π/3)e−2πim/3r −imϕ = −im(ϕ−2π/3) =2πim/3ee0eоткуда!0e−2πim/3D(r) =.0e2πim/3Матрица D(p) меняет знак ϕ:!!eimϕe−imϕp −imϕ =,eeimϕ!!eimϕ,e−imϕ223 ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВтогда!0 1.D(p) =1 0Осталось вычислить след каждой матрицы и получить характер исходного представления22os(2πm/3) 0Теперь расположим его под таблицей 3.1 и, скалярно умножив на все строки с учетомвесов, найдем коэффициенты разложения исходного представления на неприводимые.Размерности неприводимых представлений дадут ожидаемую степень вырождения:D(g) = k1 D1 (g) k2 D2 (g) k3 D3 (g),!!2πm2πm11k1 = k2 =1 + 2 os, k3 =2 − 2 os.3333Заметим, что косинус в последних формулах равен 1, когда m кратно 3, или −1/2, когдаm не делится на 3.

Значит коэффициенты будут разными:k1 = k2 = 1, k3 = 0, m = 3n;k1 = k2 = 0, k3 = 1, m = 3n 1.Выводы: когда m делится на 3, вырождение снимается, и функции преобразуются поразным одномерным неприводимым представлениям. Когда m не делится на 3, функции преобразуются по двумерному неприводимому представлению, значит двукратноевырождение остается.Физическую причину этого можно понять, если перейти к новым функциям углаϕ:ψ+ (ϕ) = os mϕ, ψ− (ϕ) = sin mϕ.Функция ψ+ имеют нули в местах расположения грузов, когда m кратно 3. Значит наэту моду грузы не влияют, но они увеличивают частоту моды ψ− , поэтому вырождениеснимается именно при m = 3n.Для справки мы приведем таблицы характеров нескольких точечных групп: C2 ,D2 , D3 , D4 , T, O, Y.Обозначения: В первой строке каждой таблицы перечислены классы сопряженных элементов σi . Единичный элемент обозначен буквой E, Cn означает ось n-го порядка.

Числаперед символами элементов симметрии указывают число элементов в соответствующихклассах, ε = e2πi/3 . Когда группа представляет собой прямое произведение G = G1 G2 ,ее таблица характеров — прямое произведение таблиц характеров G1 и G2 (см., например, таблицы для C2 и D2 = C2 C2 ).

Более подробные таблицы, охватывающие почтивсе точечные группы, приведены, например, в учебниках Ландау и Лифшица [2], Петрашень и Трифонова [3].3.2. Снятие вырождения при понижении симметрии23Таблица 3.2. Таблицы неприводимых характеров точечных группC2χ(1)χ(2)E11C21-1D4χ(1)χ(2)χ(3)χ(4)χ(5)E11112C241111-2Oχ(1)χ(2)χ(3)χ(4)χ(5)E112338C311-100D2χ(1)χ(2)χ(3)χ(4)2C411-1-103C24112-1-12C21-11-106C21-10-11E1111C21-11-1C2011-1-1C0021-1-11D3χ(1)χ(2)χ(3)2C201-1-1106C41-101-1Tχ(1)χ(2)χ(3)χ(4)Yχ(1)χ(2)χ(3)χ(4)χ(5)E1113E 15C2113-13-14051E1122C311-13C21-104C231ε2ε03C2111-14C31εε2020C31001-112C51p12C251p-10-101+ 52p1− 521− 52p1+ 52Лекция 4Колебания молекулОдно из приложений теории групп в физике — снятие вырождения при понижениисимметрии — мы уже обсуждали на стр.

20. Теперь мы познакомимся с другим приложением: расчетом кратности вырождения молекулярных колебаний. После теоретическогоматериала по непрерывным группам и алгебрам Ли мы изучим еще два приложения:правила отбора и инвариантные тензоры.4.1.Кратность вырожденияЭнергия малых колебаний n-атомной молекулы выражается через координатыxk , k = 1, . . . , 3n, отсчитанные от положения равновесия x = 0, как квадратичная формаE=3nXMk x_ 2kk=12+X Vkj xk xjk,j2(4.1),где k = 1, 2, 3 обозначают три координаты первого ядра, k = 4, 5, 6 — второго и т.д., Mk —масса ядра k (M1 = M2 = M3 , M4 = M5 = M6 , .

. . )∂U = 0,∂xk x=0∂2 U Vkj =,∂xk ∂xj x=0U(x1 , . . . , x3n ) — потенциальная энергия [24]. Уравнения движенияk = −Mk x3nX(4.2)Vkj xjj=1имеют решения в виде нормальных колебаний, когда все координаты меняются с одной итой же частотой xk = ak e−iωt . На амплитуды нормальных колебаний из (4.2) получаютсяалгебраические уравнения3nX2ω Mk ak =Vkj aj .(4.3)j=1pОт масс можно избавиться переходом к новым переменным bk = Mk ak , тогда (4.3)сведется кqзадаче на поиск собственных векторов и собственных значений матрицыBkj = Vkj / Mk Mj .

Значения ω2α , α = 1, . . . , K 6 3n находятся из характеристическогоуравненияdet (Bkj − ω2 δkj ) = 0.244.1. Кратность вырождения25Чем более симметрична молекула, тем меньше количество различных собственных частот K < 3n.Если молекула обладает некоторой точечной группой симметрии G, то и матрицаBkj порядка 3n не меняется при преобразованиях g 2 G. Эти преобразования тожеможно записать в виде матриц D(g) порядка 3n, тогдаB = D(g)BD−1(g).Матрицы D(g) образуют исходное представление группы симметрии молукулы.

Матрицы исходного представления содержат перестановки одинаковых атомов и геометрические преобразования: повороты, отражения и зеркальные повороты. Группа G являетсяподгруппой прямого произведения группы подстановок Pn и группы ортогональныхпреобразованийG < Pn O(3).(4.4)Представление D(g), вообще говоря, приводимо. Его можно разложить в прямуюсумму неприводимых представленийD(g) =k Dαα(α)(g),KXkα nα = 3n;nα = dim D(α) .(4.5)α=1Если перейти к нормальным координатам Qk = bk e−iωt , то энергия (4.1) запишется ввиде суммы по нормальным колебаниям:01nαK3n3n1 X _2 X 2X1 X _ 2Qi + ω2i Q2i = Qi +E=ωαQ2αpA .2 i=12 i=1α=1p=1Здесь нормальные координаты, относящиеся к одной собственной частоте ωα , мы обозначили вторым индексом p.

Суммирование квадратов нормальных координат во внутренней сумме последнего выражения ведется от p = 1 до кратности nα вырождениячастоты ωα . Кратность вырождения совпадает с размерностью неприводимого представления. Действительно, в подпространстве размерности nα , отвечающем собственнойчастоте ωα , матрица Bkj коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления, а значит, согласно лемме Шура, пропорциональна единичной Enα .Замечание 4.1 . Кратности вырождения, найденные таким способом, относятся к классической задаче о линейном осцилляторе со многими степенями свободы. В квантовоймеханике кратность вырождения gN уровня зависит от его энергии и растет с номеромN.Квантовомеханическую кратность вырождения можно найти по классической кратности.

Например, если классическая кратность вырождения nα = 3, то в квантовоймеханике энергия трехмерного изотропного осциллятора равна!Eα = hωα3N1 + N2 + N3 +,2где N1 , N2, N3 = 0, 1, . . . — колебательные квантовые числа. Энергия зависит только отих суммы N = N1 + N2 + N3 , значит кратность вырождения равна числу способов,которыми можно разбить число N на три слагаемых. Ответ этой комбинаторной задачивыражается через число сочетанийgN = C2N+2 =(N + 1)(N + 2)(N + 2)!=.N! 2!2(4.6)264 КОЛЕБАНИЯ МОЛЕКУЛЕго можно получить, если представить себе, что ящикразбит на 3 ячейки и мы пытаемся разместить в нем Nшаров. Всего возможно (N + 2)! перестановок из N шарови двух перегородок (всего из N + 2 объектов). На рисункеприведено одно из распределений (N1 = 3, N2 = 1, N3 =2, N = 6). Те распределения, которые получаются друг из друга перестановкой шаров,естественно, одинаковые.