1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (Кузнецов, Шапиро - Курс лекций), страница 4

В группе D3 разные степени r сопряжены между собой, поскольку r =pr2 p, r2 = prp. Все элементы, содержащие p, взаимно сопряжены, потому что pr =rpr2 , pr2 = r2 pr. Группа разбивается на три класса сопряженных элементов, как показано в таблице, где каждая строка соответствует одному классу.2.4. Представления151rr2pprpr2Из геометрических соображений тоже видно, что повороты r, r2 на 120Æ сопряжены, потому что имеется ось второго порядка C2 ?C3 . Повороты p, pr, pr2 на 180Æ вокругтрех медиан треугольника сопряжены, потому что в группе имеются преобразованияr, r2 , переводящие одну медиану в другую.2.4.ПредставленияВ приложениях привычнее не пользоваться композициями преобразований, а перемножать матрицы.

Чтобы это стало возможным, надо построить отображение элементовгруппы на матрицы, сохраняющее операцию.Определение 2.5 . Гомоморфизм h группы G в группу линейных преобразований линейного пространства Rn или Cn называется матричным представлением группы G.Мы будем говорить просто представление, потому что не интересуемся другими(нематричными) реализациями группы. Число n называется размерностью представления. Будем обозначать представления D(g), где D — матрица, отвечающая элементугруппы g, а размерность обозначим n = dim D(g).Представление называется точным, если h — изоморфизм.

Можно все элементыгруппы отобразить в число 1, рассматривая его как матрицу 1 1. Такое представлениеназывается единичным и очевидно не является точным.Примером точного представления конечной группы G, |G| = n может служить регулярное представление размерности n, которое мы сейчас опишем. Сначала пронумеруем все элементы группы от 1 до n и представим себе единичную матрицу E размеромn n. Каждая строка таблицы умножения группы, отвечающая элементу k осуществляет подстановку.

Так, третья строка таблицы 1.1 отвечает подстановке!1 2 3 4 5 6.3 1 2 5 6 4Теперь подействуем такой подстановкой на строки матрицы E, получится матрица00BB0BB1BBB0B00100000010000000001000100100CCC0CC.0CCC1A0Если эта матрица действует на любую матрицу, стоящую справа от нее, то она циклически переставляет первые три строки и последние три строки. Если выписать все 6матриц, полученных таким способом, получится представление группы, которое называется регулярным.162 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУППДва представления D(1) (g), D(2)(g) называются эквивалентными, если существуеттакая матрица V, не зависящая от g, чтоD(1) (g) = VD(2) (g)V −1 .Можно сказать, что эквивалентные представления — это одно и то же представление,записанное в разных базисах. Поэтому мы будем изучать представления с точностью доэквивалентности. Обозначаются эквивалентные представления знаком “∼”.По двум представлениям можно построить третье суммарной размерности!D(1) (g)0,D(g) = D(1) (g) D(2) (g) =(2)0D (g)которое называется прямой суммой представлений, dim D = dim D(1) + dim D(2) .Можно поставить и обратную задачу: существует ли такой базис, в котором всематрицы представления приводятся к блочно-диагональному виду:!D(1) (g)0?D(g) ∼(2)0D (g)Если такой базис выбрать можно, представление называется приводимым.

Если такого базиса не существует, представление называется неприводимым . Задача теориипредставлений — найти все неприводимые представления данной группы.Приведем без доказательства 8 свойств представлений. Доказательства приведеныв Приложении на стр. 103.1. Всякое представление конечной группы эквивалентно унитарному (т.е.

состоящемуиз унитарных матриц).2. Число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов сопряженных элементов.3. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы.4. Представление фактор-группы является представлением самой группы.5.

Все неприводимые представления абелевой группы одномерны.6. Матрица, перестановочная со всеми матрицами неприводимого представления, пропорциональна единичной (скалярная матрица).7. Если матрица A связывает два неприводимых представления D(1) (g)A = AD(2) (g),то A – нулевая матрица, либо D(1) ∼ D(2) и их размерности совпадают.8. Соотношение ортогональности неприводимых представленийX h (α) i (β)|G|Dij (g) Dkl (g) =δαβ δik δjl ,nαg2Gnα = dim D(α) .(2.3)Свойства 2,3 позволяют в простейших случаях найти размерности неприводимыхпредставлений. Свойства 4,5 помогают строить представления. Свойства 6,7, известныекак леммы Шура, нужны для доказательства свойства 8.2.4. Представления17Пример 2.6 . Размерности неприводимых представлений группы D3 находятся с помощью второго и третьего свойств: 6 = 12 + 12 + 22 .

Построим двумерное представление.В качестве образа единичного элемента возьмем единичную матрицу ( 10 01 ). Элемент rотобразим в матрицу поворота на 120Æ :!p!3− 12os 2π/3 sin 2π/32r→=.− sin 2π/3 os 2π/3− 23 − 12pВ качестве образа p выберем матрицу, меняющую координаты x, y местами!0 1p→.1 0Остальные элементы легко представить, перемножая матрицы порождающих группуэлементов.

Получилось точное неприводимое двумерное унитарное представление.Упражнение 2.1 . Постройте все матрицы представления и проверьте соотношение ортогональности (2.3).Лекция 3Теория характеровЧтобы классифицировать представления с точностью до эквивалентности, надоввести инвариант преобразования подобия. Вводят след матрицы представления и называют его характеромχ(g) = tr D(g).3.1.Свойства характеровТеорема 3.1 . Характеры эквивалентных представлений D(1) (g) ∼ D(2) (g) совпадают.χ(g) = tr D(1) (g) = tr VD(2) (g)V −1 = tr V −1 VD(2) (g) = tr D(2) (g),поскольку матрицы под знаком следа можно циклически переставлять.Теорема 3.2 . Характер есть функция класса сопряженных элементов.Пусть a, b 2 σ принадлежат одному классу сопряженных элементов. Тогда имеетсяg 2 G: a = gbg−1:D(a) = D(gbg−1) = D(g)D(b)D(g−1) ⇒ χ(a) = tr D(g)D(b)D−1(g) = tr D(b) = χ(b).Теорема 3.3 .

Характеры неприводимых представлений ортогональны.Свернем соотношение ортогональности представлений (2.3) по двум парам индексов, то есть умножим на δij δkl и просуммируем по повторяющимся индексам. В левойчасти получатся характеры, а в правой — останется δik δik = δkk . Это след единичнойматрицы, который равен размерности неприводимого представления dim D(α) = nα :iXhχ(α) (g) χ(β) (g) = |G|δαβ .(3.1)g2GТеорема 3.4 . Коэффициенты разложения представления в прямую сумму неприводимых(3.2)D(g) = kα D(α) (g)αнаходятся по формулеDhkα =χ(α) (g)18iEχ(g)G.(3.3)3.1. Свойства характеров19Таблица 3.1. Неприводимые характеры группы D3 .χ(1)χ(2)χ(3)σ1 = {1} σ2 = {r, r2 } σ3 = {p, pr, pr2}11111-12-10Здесь знак означает прямую сумму, а kα — целочисленные коэффициенты разложения, показывающие сколько раз неприводимое представление D(α) (g) входит в исходное представление D(g).

Угловыми скобками обозначено усреднение по группе, т.е.суммирование по группе с последующим делением на ее порядок:. . . iG =h1 X....|G| g2GДля вывода формулы (3.3) возьмем след от левой и правой частей (3.2). Получитсяразложение характераXχ(g) =kα χ(α) (g),αпоскольку характер прямой суммы представлений равен обычной сумме характеров.Умножим обе части на [χ(β) (g)] и просуммируем по группе. Пользуясь ортогональностью (3.1), получим (3.3).Пример 3.1 . В группе D3 имеется два одномерных неприводимых представления иодно двумерное, построенное в примере 2.6 . Одно из одномерных представлений — единичное. Второе является представлением фактор-группы, найденной в примере 2.2 ,когда 1 сопоставляется всем степеням r, а −1 — элементам, содержащим p. Если найтихарактеры всех неприводимых представлений (для краткости говорят неприводимыехарактеры), получится таблица 3.1. По второму свойству достаточно вписать в таблицуслед только одного представителя каждого класса сопряженных элементов.В верхней части таблицы приведены классы сопряженных элементов.

Каждаястрока таблицы дает значения характера данного неприводимого представления на каждом классе. Самый первый элемент строки всегда равен размерности данного неприводимого представления. Столбцы таблицы ортогональны в обычном смысле, а строкиортогональны, если ввести скалярное произведение с весами, равными порядкам классов. В данном примере веса случайно совпадают с номерами классов.

Соотношение ортогональности (3.1) можно переписать с весами, если собрать одинаковые слагаемые иперейти к сумме по классам сопряженных элементовKXhipa χ(α) (σa ) χ(β) (σa ) = |G|δαβ ,(3.4)a=1где pa = |σa | — число элементов в классе σa , K — полное число классов сопряженныхэлементов в группе G.Замечание 3.1 . Можно представить себе характер исходного представления χ(σa ) каквектор с компонентами, равными его значениям на классах сопряженных элементов.Вектор исходного представленияи векторы неприводимых характеров можно нормироqвать, разделив компоненты на |G|:qχ~(α) (σa ) = χ(α) (σa )/ |G|.203 ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВТогда соотношение ортогональности (3.1) приобретет стандартный видKXhi~ (α) (σa ) χ~ (β) (σa ) = δαβ ,pa χa=1а формула (3.3) для коэффициентов разложения по неприводимым представлениямозначает, что коэффициент kα равен скалярному произведению, проекции вектора исходного представления на соответствующий базисный вектор χ~ (α) .

При вычислении скалярного произведения надо помнить, что каждое слагаемое следует брать с весом, равным порядку класса сопряженных элементовkα =KX~ (σa ).pa [ χ~ (α) (σa )] χa=13.2.Снятие вырождения при понижении симметрииМы уже упоминали про применение теории групп в молекулярной физике и кристаллографии. В классической механике теория групп также играет важную роль. Имеется теорема Нетер, которая по каждой непрерывной группе симметрии действия позволяет вычислить сохраняющуюся величину — интеграл движения.

Например, если действие не зависит от времени, то сохраняется энергия. Но главными применениями теории групп в физике стали результаты, полученные в 20х гг. в квантовой механике и в60х гг. XX века в теории элементарных частиц.В квантовой механике говорят, что G — группа симметрии гамильтониана H, есливсе матрицы какого-нибудь ее представления D(g) коммутируют с гамильтонианом:D(g)H = HD(g).Это означает, что если ψ — собственная функция оператора H с собственным значениемE, т.е.Hψ = Eψ,то и D(g)ψ, 8g 2 G — тоже собственная функция с тем же собственным значением E.Чтобы построить представление D(g), надо сначала определить действие элементагруппы на функциях, например, координат ψi (x), i = 1, 2, . .