1612725571-7e5d9541e6304e08fcb0d799898e3002 (Кузнецов, Шапиро - Курс лекций), страница 3

Рассмотрим группу вращений куба O, рис. 2.1. Элементами симметриибудут оси. Оси четвертого и второго порядка (a),(b) проходят, соответственно, через102.2. Инвариантная подгруппа. Фактор-группа. Прямое произведение(a)(b)11(c)Рис. 2.1. Элементы симметрии группы куба: оси четвертого (a), второго (b) и третьегопорядка (c).середины противоположных граней и ребер. Ось третьего порядка можно увидеть, если соединить между собой три вершины, соседние с какой-нибудь одной вершиной A.Получится равносторонний треугольник, центр которого соединяет с вершиной A осьтретьего порядка (c).Имеется три преобразования, оставляющих данную вершину на месте: единичноепреобразование 1 и повороты C3 , C23 на 120Æ и 240Æ вокруг оси третьего порядка. Этипреобразования образуют подгруппу H.

Группа куба разбивается на левые смежныеклассы gH. В каждом классе после одного из поворотов вокруг оси третьего порядкавершина A переводится в какую-нибудь другую вершину (либо остается на месте). Значит различных классов 8 по числу вершин, откуда |O : H| = 8. Тогда из (2.1) получаем,что всего в группе 3 8 = 24 преобразования, |O| = 24.2.2.Инвариантная подгруппа. Фактор-группа. ПрямоепроизведениеОпределение 2.2 . Подгруппа H группы G называется инвариантной, если преобразования подобия не выводят из нее: H = gHg−1 , 8g 2 G, и обозначается H ⊳ G.Из определения видно, что Hg = gH, то есть для инвариантной подгруппы правые и левые смежные классы совпадают. Давайте рассматривать смежные классы какэлементы нового множества. Определим произведение таких элементов: Hg1 Hg2 H (g1g2 ). Тогда снова получится группа F, потому что в ней очевидно есть ассоциативность, существует единичный элемент H 1 и для каждого Hg найдется обратныйэлемент (Hg)−1 = H g−1 .

Порядок группы F равен индексу |G : H|, она называетсяфактор-группой и обозначается F = G/H.Пример 2.2 . В группе треугольника D3 имеется подгруппа H = C3 = {1, r, r2}, состоящая из поворотов вокруг оси третьего порядка. Проверим, инвариантна ли H. Степениr, очевидно, не выводят из подгруппы: rk rn r2k снова степень r. Из чисто геометрических соображений тоже видно, что последовательность поворотов вокруг оси третьегопорядка тоже поворот вокруг той же оси. Если степень r умножить на p справа и слева,снова получится степень r: prn p = ppr2n = r2n . Если представить себе, что треугольниклежит на столе, а его верхняя поверхность закрашена красной краской, то понятно, что122 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУППТаблица 2.1.

Все конечные группы до порядка 12.Порядок123456789101112ГруппыC1C2C3C4 , D2 C2 C2C5C6 C2 C3 , D3C7C8 , C2 C4 , D4 , C2 C2 C2 , QC9 , C3 C3C10 C2 C5 , D5C11C12 C3 C4 , C2 C6 C2 C2 C3 , D6C2 D3 , A 4 , Wесли перевернуть треугольник красной стороной вниз, вращать на углы, кратные 120Æ ,а потом снова перевернуть красной стороной вверх, результат будет такой же, как послеповорота вокруг C3 на угол кратный 120Æ .Правые смежные классы можно найти по таблице умножения 1.1, разбитой насекторы.

Три смежных класса совпадают с подгруппой: H 1 = H r = H r2 = H, атри других: H p = H pr = H pr2 совпадают между собой. Естественно обозначитьH = E, потому что это единичный элемент фактор-группы. Другой ее элемент обозначим P = Hp, тогда P2 = Hp Hp = Hp2 = H = E. Получилась циклическая группа второгопорядка C2 = D3 /C3 . Можно было бы и не проверять определяющее соотношение, потому что других групп порядка 2 нет.

Фактор-группа, как и вообще фактор-множествов математике, означает, что мы огрубляем описание, рассматриваем группу с точностью до какой-нибудь инвариантной подгруппы. В данном примере нас не интересуютвращения r и получилась фактор-группа, состоящая из двух элементов: “красная поверхность сверху” и “красная поверхность снизу”.Из геометрических соображений можно также увидеть, что подгруппа C2 = {1, p} 2D3 не является инвариантной. Обозначим красным цветом ту вершину, которую оставляют на месте преобразования подгруппы.

Если повернуть треугольник вокруг оси третьего порядка, перевернуть, а потом повернуть вокруг оси третьего порядка назад, красная вершина не вернется в исходное состояние.Определение 2.3 . Прямым произведением групп H = G F называется множество парgi fk , gi 2 G, fk 2 F, операция между которыми определена формулой(g1 f1 ) (g2 f2 ) (g1 g2 ) (f1 f2 ).Из определения видно, что элементы каждой группы G и F перемножаются независимо, а знак “ ” играет роль разделителя. Порядок прямого произведения равенпроизведению порядков: |G F| = |G| |F|.Несколько примеров групп одинакового порядка, но разной структуры приведеныв таблице 2.1.

Когда порядок группы равен 4 (а также 6 или 9), имеется две неизоморфные группы. Имеется пять неизоморфных групп порядка 8. Из таблицы такжевидно, что операции построения фактор-группы и прямого произведения нельзя считать взаимно-обратными. Если найти прямое произведение групп C2 C3 = C6 , а неD3 .2.3. Классы сопряженных элементов13Рис. 2.2. Выпуклые правильные многогранники (платоновы тела): тетраэдр, октаэдр,куб (гексаэдр), додекаэдр и икосаэдр.В таблице приняты следующие обозначения: Q — группа кватернионов,1 порождаемая двумя элементами P, Q с соотношениямиP4 = 1,P 2 = Q2 ,QPQ = P,W — группа, порождаемая двумя элементами P, Q с соотношениямиP4 = 1,P 2 = Q3 ,QPQ = P.Даже из малого фрагмента n 6 12 видно, как резко растет число неизоморфныхгрупп с величиной порядка, когда порядок — составное число.

Полной классификацииконечных групп пока не существует. Однако более частные задачи классификации решены. Для примера приведем без доказательств две классификационные теоремы: однусравнительно простую и одну очень сложную.Пример 2.3 . Конечные подгруппы собственных вращений трехмерного пространстваисчерпываются списком:Cn , Dn , T, O, Y.В списке имеется две серии Cn , Dn с произвольным n.

Остальные три группы — группысимметрии правильных многогранников: T — тетраэдра, O — октаэдра, Y — икосаэдра.Такие группы называются спорадическими, потому что они не входят ни в какие серии.Правильных многогранников всего 5, все они изображены на рис. 2.2. Если соединитьцентры граней куба получится октаэдр, поэтому куб и октаэдр называются дуальнымимногогранниками. Икосаэдр дуален додекаэдру, а тетраэдр дуален сам себе.

Дуальныемногогранники имеют одинаковую симметрию, поэтому в списке только 3 группы многогранников T, O, Y. Элементарное доказательство можно найти, например, в [18] илив Приложении, стр. 108.Пример 2.4 . Группа, которая не содержит инвариантной подгруппы, называется простой. Полный список простых конечных групп состоит из 17 серий и 26 спорадических групп. Задача классификации решена коллективными международными усилиямитолько в 1981 году. Введение в эту тему можно найти в книге [23], но и там нет доказательства теоремы, потому что оно занимает несколько тыс.

страниц. Порядок самойбольшой спорадической простой группы — “чудовища” Фишера примерно равен 1054 .2.3.Классы сопряженных элементовЗдесь мы введем еще одно разбиение группы на классы.1 ГруппыQ и W не могут быть реализованы как группы симметрии геометрических тел.142 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУППCnψCnψψψC2g−ψ(a)−ψσv(b)Рис. 2.3.

Сопряженные элементы точечной группы: (a) повороты на один и тот же уголотносительно разных осей; (b) повороты на угол ψ и −ψ вокруг одной и той же оси.Определение 2.4 . Элементы a, bg 2 G, такой что2G называются сопряженными, если найдетсяa = g b g−1 .(2.2)Отношение сопряженности обладает всеми тремя свойствами отношения эквивалентности:1.

a ∼ aрефлексивность;2. a ∼ b, b ∼ c ⇒ a ∼ cтранзитивность;3. a ∼ b ⇒ b ∼ aсимметричность.Значит отношение сопряженности разбивает всю группу на классы — классы сопряженных элементов. Классы сопряженных элементов, как и правые смежные классы,либо не пересекаются, либо совпадают.Из определения видно, что регулярный способ поиска классов сопряженных элементов довольно сложен. Надо выбрать b и подставлять в формулу (2.2) все возможныеg, пока не переберем всю группу.

Однако для точечной группы имеется более простойспособ, основанный на наглядных геометрических представлениях. Если посмотреть наформулу (2.2) внимательно, видно, что преобразования a ∼ b подобны, когда это одно ито же преобразование, выполненное в двух разных системах координат. Преобразованиеg−1 переводит b в новую систему, а g возвращает в старую.

Значит повороты на один итот же угол вокруг двух разных осей сопряжены, если в группе есть преобразование g,переводящее одну ось в другую, как показано на рис. 2.3 (a). Если речь идет о поворотах на одинаковые углы ψ, −ψ, но в разные стороны, то преобразований g может бытьвсего два: ось второго порядка C2 , перпендикулярная данной оси Cn , или зеркальнаяплоскость σv , проходящая через ось, рис. 2.3 (b). Ось Cn в этих двух случаях называетсядвухсторонней.Пример 2.5 .