Алгоритмическое и программное обеспечение расчета нестационарных непрерывно-дискретных систем управления ЛА спектральным методом, страница 7

Анализ выражений для относительных среднеквадрагичвских ошибок вычисления характеристик выходных сигналов систем при детерминированных и случайных воздействиях показывает, что если относительная 'среднвкзадратическая ошибка ЛНПФ стремится к ну|и| (увеличивается размер ве усеченной магрици), то погрешность вычисления характеристик выходного сигнала также с~решится к ну,ю. уменьшить погрешность вычисления характеристик выходного сигнала южно и пРи фиксированном Размере усвчвцннх ЯПЮ исслвдуеюй системы управления, воли учесть внутрвнвю структуру матриц ЯНПФ звеньев, г.в.

хаРактер затухания злементов искомых матриц по строкам, сто.ибцам и диагоналям, Такой учет южвт позволить построить алгоритьы вычисления усеченной матрицы ДПФ системы по усеченным матрицам ДП|ш звеньев с болыпвй точностью, г.в. с меньшей погрешностью. Подобным образом южно повысить ~очность вычисления усеченных НСХ и характеристик выходного сигнала системы. чшения схо юсги после вательносгей и ов 3 4. Мего (3.48) Задача уменьшения погрешности, возникающей в алгоритмах спектрального ма~ода анализа нестационарных непрв,ыьно-дискретных систем из-зв усечения НСХ сигналов и Н1Ж, тесно связана с общей проблеюй улучшения сходиюстй последовательностей и рядов [18| .

В общем виде задача улучшения сходимосги последовательностей ставится следующим образом: 1) по заданной сходящейся последовательности У„(и о,1,...), У| — 8 нужно построить новую, но сходящуюся к гому же пределу последова- тельность (3.50) 2) сходнмость новой последовательности в каковь-либо смысле "лучше" сходнюсти,М„Я . Улучшение сходимосги ряда Г а~ равносильно улучшению сходии мости последовательности его частичных сумм Л„-2; а~,п=0А..., 'Ьо и сходимость последовательности у„(п 0 ~,Л,... ) равносильна сходнмосги ряда аУа+ Гф~ ~а )+ фд ~г ) + ° ° Исторически задача улучшения сходнмости рядов и последовательностей связана с определением сумм расходяпщхся рядов и пределов расходящихся последовательностей. Среди методов суммирования расходящихся рядов выделяю~ регулярные методы, т.е.

такие методы, которые сходящиеся ряд~ суммируют к обычному пределу, а расходящимся рядам ставят в соответствие "обобщенный предел". Особую роль среди ме~одов суммирования расходящихся рядов играют линейные преобразования о„-Е а„ (3.49) ~п о среди которых отметим преобразования Файера, Валле - Пуссена, Бернштейна - Рогозинского, каждое из которых имеет множитель суммирования г~ (~!) сса Л' а г- —,а - — ',а -саа— ~исаа"Ф ~ " ссссо (~„,с а)~~~~ а~~l а Рагуда яру+~ и преобразует последовательность частичных сумм ряда Фурье тъ ~„(г)-ЕС,~.Ф !п-0,~,,) а ~ в последовательность г~дигономегрнческих многочленов б„й-)-Е а„;С;Р;(г) (п-о,~ ...). (3.51) таО При этом если последовательность (3.50) не сходится кх(е,) в точке Тр, то последовательность (3.51) буде~ сходиться к х(Я равномврно, и,может оказаться, что последовательность (3.51) сходится к искомой Функции л'(Г) более быстро, чем последовательность (3.60).

Заметим, что преобразования, применяемые длн суммирования Расходящихся рядов и отыскания пределов расходящихся последовательностей, в частности преобразование (3 .51), относятся к преобразованию (3.48), обеспечивающещ "улучшение"-сходнмости, но конструировались они для целей, нескоЛько отличных от целей "улучшения" сходимости сходящихся рядов. (3.53) или в виде бесконечного ряда Я *=,у + — + ° ° ° + + С ~г (З.55) и ''' ц" Остановимся более подробно на методе улучшения схопимости последовательностей, для которых погрешность приближения ~„= У-Ь к пределу 5„' близка к показательной бункпии или линейной комбинации таких Функций.

Если последовательность, Я„близка к показательной .ункции, то она препставима в виде ~183 Я =Я+/Я И с ). (3.56) 1. Деличин~! $ можно выразить точно через о~жянты послядова тельности 3'„при Е„= О ~~+ ~ -Л (3 .57) ~п+< ~~и ~п-~ Следовательно, продол последовательности (3.50) находится точно, по трем значениям Я„, если она сама есть геометрическая прогрессия. Если б„эО, то составляют новую последовательность ~п+~~п-~ ~й Ас+,-~~л ~п-~ (0.58) 70 3 настоящее время в теории вычислительных методов разработаны методы, решающие сформулированную выше задачу об улучшении сходи- расти ряпов и последовательностей [183 .

Применение их в каждом конкретном случае связано с выявлением характера сходимости исследуемой последовательности или целого семейства таких последовательностей. Отметим среди них интерполядьонные методы улучшения сходимости, которые относятся к линейным методам преобразования последовательностей типа (3 АЭ), смысл которых сводится к отысканию предельного значения последовательности 8 интерполированием избранных значений последовательности 5„. ~~'- О,~....,А,) . Если интерполирование проводится по системе о,ункций й~рЮ=~ ~ МГп)= ~/п; ..., а~;(и) ~(т~',..., (3 52) то преобразование (ЗАЭ) принимает вид ° -Х вЂ”,' ' 'г, А ~,) -1 ~+ )~ ~.о ~'/(1-/'),~ Р'/ ' Это преобразование может ускорить сходимость последовательности Я„, если она представима в !орме с; с, с, Г~[п) Я„=~+ — „+ — ~ ~." + — ~ ~ ~'„(и) — О ~~~--) (З.54) г преобразование (3.58) называют преобразованием эйткена или Б -преобразованием.

Заметим, если Рассматривать вместо последовательности (3 .56) ряд а, а, - ° +а„+ ° ° (3.59) то для б; получим и пи~ а„а„„ (3.60) ~ и ~тъ+~ В теории улу кект схощиюсти последовательностей и рядов доказана теорема (18) , обеспечивающая сходимость О„ 8 при выполнении условия Мп+ ( ~п ) (~п Ьп- ~ ) о(п ), ~По~ ~ ~П ~Л- ~ и теорема, обеспечивающая ускорение сходимости О„ Ж , так как ~„-.~ - О(у ™) , иногда как б„-З = а (у"~„) при 1у ~ н~ Следовательно, преобразование (3.58) ускоряет сходимость 8„ при 1~ 1с~ и позволяе~ ввести обобщенный предел для З'„ при 1д !И.

Обобщением преобразования Эйткипа (3.58) является преобразование Шенкса [18~. Рассмотренные выще алгоритмы, обеспечивающие ускорение сходи- мости последовательностей и рядов, могут быть применены для ускорения сходимости спектральных алгоритмов. Применение того или иного метода ускорения сходимости зависит в основном от базиса, по' которому проводится анализ управления. ПСХ.

ПСП выхо ых сигналов 3Л. Численные а и осси нспрвснино-сЕснссннсс снсненм ° н снлсния Рассмотрим теперь, как можно уменьщить погрещности, возникающие в спектральных алгоритмах из-за усечения Д1ПФ звеньев системы, ПСХ и '!СП выходных сигналов системы .

При этом будем предполагать, что 'все спектральные алгоритмы опроделоны относительно нестационарных диадно-упорядоченных функций уел~а (2.46), (2.51). Так как НСХ одпомерпк: ~ункций времени, определенные относительно Функций Уолша, дпадно затухают по закону, близкоМу к геометрической прогрессии,и, кроме того, то же самое можно сказать о характере затухания строк и столбцов матриц ЯКПФ звеньев системы и матриц НСП, то для,ч.:,с -.ьщення погреиносте11, возникаю~Чих в спектральных алгоритмах пз-за усаче~пи -соремножаемых матриц, можно воспользоваться пРооб',ж зогиписм К!ткана (3 .58) . 71 (3.61) Выведем алгоритм вычисления ДПй последовательного соединения двух непрерывных звеньев (1.183). Так как базисная система опреде- лена, то при выводе символы базисной системы будем опускать и, кро- ме того, вместо Нl(Й,~,1,~) будем писать ФЖ,~).

ДШФ последовательного соединения (1.183) можно представить в виде П+/ Я -~ Юф ФЯ,г) = Е ~~(ь,Р) Ф,'(Р,~)+Х ~~Я,Р)Ф,(к,~). ~=О ~ ' ' ' ~,т.~ Вторая сумма в правой части выражения (3 .61), при условии п~ >шах Я,з), есть ряд, элементы которого убывают диадно по закону геометрической прогрессии или близкому к нему. Это становит- ся очевидным, если учесть, что пРи фиксированных Ь,К элементы последовательностей ~Ф' (Р) Ф' ~Ь,Г"' .гА)~ и ~ ~Я И~(г~+м ~ гЯ (~=0,1,... ) убывают по закону, близкому к показательному с основаниями у и а, (~у 1~~ и!~,1(~). Следовательно, сумма ~~~ (Ь,г"'+~)а',(г""' ~,~) есть ряд, близкий к геометрической прогрессии с основанием у д~ .

Поэтому второе слагаемое выражения (3.61) можно с учетом преобра- зования Эйткина записать так: Л ч~~ ЙЯФ~Я8) = пч 7т+ 1 1~+4 1~+~ и ~~ ц(Ь.8 +~ ~) Юй +4-1д6М +И~КЙ +4 /,г) фар ф'()~,Я +~-1)ф~ф 'с~6-1,8)-~~Я,Г ~4-д) ~~(Я '~)~-1,7) Подставляя приближенное равенство (3.62) в выражение ~3.61) окончательно получаем: ~ИЛ Е ~м~ й,и) ц (и,г') ~=о 7~Ф/ РАЕМ Ф48 77чЯ %~Й ~ 'М~к~й ~-~,~) ~~Я,Я Р-/,г) Фг!Г +Р-~,т) чй~""~~ ~МЫ»' ~Ч) И~~(6,Е™+~-~,и)К',й"'~ Р-!~~1 Этот алгоритм позволяет учесть главную часть методической по- грешности (3.44) и том самым значительно повысить точность вычис- ления ФЙ,Дпо сравнению с алгоритмом .