Алгоритмическое и программное обеспечение расчета нестационарных непрерывно-дискретных систем управления ЛА спектральным методом, страница 6

Отметим также, что система (2.70) является частным случаем Функций Ж~ленкина - Крестенсона (2.58) при Х .Ь- и, следоватэльно, для нее справедливы все свойства этих базисных Функций, Не е ывные о тоно ованные т игономе ические нк определенные на нестационарном отрезке ~ОА ) , задаются 4ормулаищ — при ~'=О' С~ Й,ю) (2.7Х) Я 8Ж соз ~ т" прн 8' 4д...

л ~'и' ф.(1;с) ~ — ип — „Г при 1' ~Я...,, (2.72)- ск етные о тоно ми рванине г гономет ческие н и, определенные на нестапионарном отрезке(О,~ 1, задаются формулами (2.73) ~; Ы,~) йх 014Р...,3-Чм Л~грзе ... (~,(~ ~) = Х ~~у~ — (~+(); г 1,Х, ...,~ ' 1 Я,~...,.й 1~ ~=~А "° л ~д' Ь7 Как видно из определений, системы базисных Функций (2.7З) и (2.74) определены на любом числе ~актовых моментов,Ь , болыпем или равном двум. Все рассмотренные в этой главе базисные 4ункции как непрерывные, так и дискретные получены путем преобразования их стационарных аналогов на нестационарный отрезок (О,~ ) .

Приведенные определения и рассмотренные свойства этих базисов позволяют разработать алгоритмическое обеспечение спектрального метода расчета несгационарных непрерывно-дискретных систем управления в этих базисах, а так:хо создать программное обеспечение для их собственной реализации . Г л а в а Ш. МЕТОЖ ЧИСЗПННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ СИСТЕМЫ ЭЛБЙНТАРНЫХ АЛГОРИТМОВ СПЕКТРАЛЬНОГО МЕТОДА АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕПРЕРЖО-ДИСКРЕ'ЛЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Практическая реализация спектральных алгоритмов связана з разработкой программ, охватывающих все элементарные операции спектрального метода расчета нвстационарных непрерывно-дискретных систем: вычисления непрерывных и дискретных базисных Функций; вычисления непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных НСХ и НСП для произвольных Функций; вычисления ДНПФ элементарных звеньев и основных типовых соединений: последовательного, параллельного и с обратной связью; вычисления НСХ и НСП выходных сигналов системы; обращения НСХ и НСП в область времени.

Алгоритмы, удобные для программной реализации базисных Функций, рассмотрены в гл, П. Поэтому остановимся здесь только на рассмотрении численных алгоритмов остальных элементарных операций спектрального метода; демонстрируя методику их получения в том или ином базисе. 3.1. Численные алго итмы п яюго п еоб азования Для решения задачи вычисления НСХ непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных в общем случае многомерных Функций времени используются как аналитические, так и численные методы.

Используя аналитические методы, для типовых сигналов можно составить таблицы соответствующих им НСХ по разлчным базисным системам .:,Кций,й,рассмотренным в гл. П. Такие таблицы можно найти в работах ~1-43 . Однако во многих случаях найти НСХ по Формулам прямого преобразования (1.11), (1.16) - (1,19) аналитически не представляется возможным из-за сложности вычисления таких интегралов и сумм или из-за того, что непрерывная Функция задана своей дискретной выборкой. В этих сЛучаях необходимо использовать численные методы вычисления НСХ. Для дискретных Функций Формулы прямого преобразования (1.11), (1.34), (1..37) сами по себе являются удобными численными алгоритмами.

Для непрерывных и непрерывно-дискретных Фуни~ий НСХ находятся с использованием численных методов вычисления интегралов (183. Остановимся здесь только на спепиализированны. численных алгоритмах вычисления усеченных НСХ, удобных для. реализации спектрального метода. При этом рассьютрим эти алгоритмы только для одномерных непрерывных Функций. 56 ~а~ 8б+г+и-2 /г(8б-~)йб12г,-Л) 1; о ~ д и'й,~-г,® ..

*' 8 1а(8) — ~(- и). е-и ~у ' ' ' (И+а-ОЯь~~-~~(а-п)~ц~ ~ ю~ (и-~),', '(3.22) Аналогичным образом можно получить соотношение, связывающее. конечное количество ординат матрицы ЛНПФ соединения усилительного звена со звеном чистого запаздывания (1.75). Объединяя это соотношение с (3 .22) и нормируя ФЙ,6) , окончательно найдем: / ( П~+Г)(3~у~~)~Я+ъ)Я+г'-О Ф„'И,|,~,д- —,~ „, .

Ф (ь~, '-~,~Д. 1 аб-()п(2ИЯ) у ' ' '~ (~'-п)Г(6 ~(г) д ~ Ф7,"р ~஠— ~ ~(-и-~)- — ' в (Ь, '-~,г,~). Зтот алгоритм связывает пять ординат матрицы Фй ~) . Если в 13.25) положим Г,'=о,г~=О, то получим алгоритм, связывающий между собой четыре ординаты матрицы ДШФ усилительного звена с коэ4- бшциентом передачи й(У).

Ясли в (3,23) положим ЙФ)=К, 'г, О, а и О, то получим алгоритм, связывающий между собой четыре ординаты матрицы 5КПФ интегрирующего звена п -го порядка. Если в (3.23) положим йЯ=~,т'~ о, а п~О, то получим алгоритм, связывающий межпу собой четыре ординаты матрицы ЛНПФ ди~~Яеренцпрующего звена ч -го порядка второго Рода .

Если в ~3.23) положим аФ) Г , ~г=о а т,~ое~о,~~, то получим алгоритм, связывающий между собой пять оРдинат матрицы ЛБПФ звена чистого сдвига. Практическое применение рекуррентного алгоритма (3.23) основано на знании элементов первого столбца матрицы ДНПФ. Лля интегри-.

рующего звена они легко находятся', а применение к ним алгоритма (3 .23 ). приводит к слечующему результату: Г(26ЩЕ! Ы+г') ~ л Р (Р,г',г,~)- р~ ' ' ' Гйб 2~) ~.'(б ЖГ(Гб ~)~ А' ~ А'-~ (гб-д(гб.гг) 1 (й (3.24) (~~+;-ф~~+~') с'+г,о Ь,о~ 61 Аналогично южно найти и алгоритм для вычисления матриц ДКПФ других элементарных и типовых звеньев. Ре внтные алго итию вычисления основных элемента ных л л и тип ~и звеньев в базисе ь 0„1);О,1)) .

Рассматривать будем сразу типовые звенья, котормв представляют собой после~Рвательное соединение суммирующего звена и -го порядка и разностного звена 11 -го порядка второго рода с усилительным звеном с козффнпвентом передачи а(1) . ДНПФ, соответствующую таким типовым звеньям, южно записать относительно ненормированных полиноюв Кравчука (2.27) в виде С-1 Ь) ЧЦ,,~„1.)-Е~ У,1) (ЦЦЦ,.1,1) ~1 (Д,,1), (3.:5) воли учесть определение оператора А1 Я,1) , задаваеюе 4ормулой (2.32), а также что „,1 1 1. М (~ Ьр ) Е...

Е 1 (1,,~, ~ „); т*а (П-41.1 1, о 1гд " Е д,"6(1- КИ,~., )-7, ж(', М. ЬЗ Подставляя теперь в' (3.2б) вместо 1 Й,1,1) его выражение, определенное рекуррентной 4орщчюй (2.33), получаем И ' РЯ-1)('- )(. О а(Ь,~~и- — '., «Ьр-йй-о.ьр~юй,над. ° Ф 4 4Ф +ИФ Е РЦ)а(ОК(й,Ы) — -Ь(а-11Д-(~Ь)МЦгфД~ 1-"0 А " (С 1)о /' ' О .+,)"""", '"" ~ [.а«"'" >'"') <З.М) мь,~,п~ Г-и>! учитывая, что г -~ ~ (Р 1) ~ (~ 1) ~ (~ 1~~ ~ (1 1) (3.27) (3,26) запишем в виде Ф И~, 1й.,Ц = ((2 Ь-1)(г'-И)-пофМГ й, |'-1,1., 1.)+~(1;Ь-1) МСЬ+в, ~'-1,Ц~ ~М ' ' ',о(Х-1)(1-п)~ ~~ ' ' ' И Гп! ыпр1.4пд~ 1а(1)(1.п) ° убей-ц-~ьд-уй-~мй,ы,и) (-д .

з ~ —,11 ~з.ю) и ' ' ' И ' '' 1 ~(~11)~ (-пМ И4о,п) ~ Ф(о,п ~) Ф(и.г;и) ~ Мl(щ,п~~)... И/(гп (,и) й(т ~,п+О... ~ Ф(О,О) КГ ~ Ф(т,О) Ю(~+(,О) .. (3.39) то усеченная матрица , используемая в численных расчетах Ф, , имеет конструкцию, показанную в верхнем левом углу матрицы Ф Заметим, что если матрица Ф' конечная по одному или сразу по двум из направлений Уг и в', то, считая Ф'Й„г) прий~ми ~ »И равным О, всегда ее можно представить в виде бесконечной матрицы. Представим Ф, в виде бесконечной матрицы: И~(0,0) ...В(О,п) О, .Ф(т,О)... Ф'(м,п) О... 0 ...

0 0 (3.40) Тогда с учетом введенных обозначений н спеланных замечаний сТормулы для вычисления ДНПФ, параллельного (1.82), последовательного соединения (1.83) и соединения с обратной связью ~1.84) принимают вид И~~=Ф„Ф~,,' Ф,' =Ч~,Ф,;Ф„=~Е+К~,„Ф~ ~ Ф',„. (3.41) В результате вычисления по этим формулам получаются также усеченные матрицы, элементы которых для последовательного соединения и соединения с обратной связью отличаются от точных.

66 ИхЮ~~0 =~~цЯс~~; Их~ПИ-Е~хС~~~; О ЙО 5Х 1- ЦХ(т,,ДдЯ = ~ Ыт )Х(г„Г,)~ЫГ,;ИНХП„~,К =ЕГ /Х(С„Е,)/; М „(Я =~И~,Е~х(г„(,,Ь;4!хп„~,)П-Е ~Чх(а,,г,)1 (,. е ~~=0 Рассмотрим влияние усечения матриц на точность вычисления характеристик систем и сигналов по некоторым основным алгоритмам анализа систем управления при детерминированных и случайных воздействиях, выведенным в гл. 1. Отметим, что усеченные матрицы, используемые в Расчетах„ в общем случае являются прямоугольными. Перемножаевже, складываемые матрицы должны усекаться так, чтобы эти операции имели смысл для получения конечных результатов.

Ясли исходную матрицу ДБПФ непрерывно-дискретной системы представить бесконечной матрицей, имеющей конструкцию вида Х.-% О.; х(~). -Я(г). Х„. (3.46) %" ю"'| ' ' Здесь матрица Ф, имеет структуру (3.16). Матрицы-столбцы О„и Х„ имеют соответственно размерности (и+1)з1,М+~)а~, а матрицас~рока базисных функций 4(т) имеет размерность (~(гп+ О Можно показать, что оценка относительной среднеивадратичвсной ошибки в вычислении НСХ выходного сигнала выражается формулой ~® И ~~~ "~ (3 а') 1!Х 1! Подобные формулы найдены и длн оценки статистических характеристик выходного сигнала системы, находящейся под воздействием случайного сигнала.