Алгоритмическое и программное обеспечение расчета нестационарных непрерывно-дискретных систем управления ЛА спектральным методом, страница 3

С помощью 4орыул ЙШФ (1.81) и (1.84) Раскроем указанное произведение: с-) С и' вв,в+в-О Х Я Я,/А,З,Е)Э,(ф,а,Й,И=1,РЙ,ЙЦ Я,4,Е)2. ~ ЕЯ(~;ВЬ~И,1,8))' ят.р ' ' ' РФ" ' ' ' с=о") ' ' ' т:от О.и)ь «р'(у.,~,ц~с~В~(' ~„~ ~). учитывая, что 7 -О '~~Лев-0 ттн тр)),в~)),н,в,)Я>,),н«)н ') йн;и) й~. будем иметь 4-) 2: Ю,(Ьф,1фз,'. (ф, 1,6,Д=2," Я(3.,$)ф "ЦА., д~~~;фткр) =Б„', Вычислим теперь произведение У'Й,Х) дЦ,К) . С поющью Формул (1.81) и (1.84) найдем .с-т сФвв Ед'.))в,)в,в,)) ц,)у,в,Н,))-г.)вы«,) 5 д)),в)р')Н,),ванне„, Таким образом, высказанное предположение доказано ° Алгоритмы вычисления, рассмо~ренные здесь, являются общими, т,е.

они справедливы для любых базисных систем Функций. Недостатками этих алгоритмов является то, что они на учитывают свойства базисных систем функций. 1.3. Основные свойства НСХ и Н1)я) неп«врывнс-. сн евныи сивины>н и исввы Вначале рассмотрим свойства НСХ в общем случае многомерных непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных Функций. Затем свойства Н1И. В тех с)п)чаях, когда свойства являются общими длн непрерыэных и дискретных Функций, то при записи этих свойств символы длины непрерывного и дискретного отрезка будем опускать.

В основном все свойства будем рассматривать без вывода, Методижу доказательства их продемонстрируем только для некоторых свойств и лишь для дискретных сигналов и систем. Более полное и подробное Рассмотрение искомых свойств, но с использованием понятия ортонор)э)рованности на нестацнонарном отрезке с единичным весом можно найти в ~1,21. Свойство 1. Линейность НСХ. НСХ непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных ахун)щий, по определению, линейны,, т.е.

21 5 [ад'+Ыл,] -й.~ [хф]+5 5 [~д ] Ре'-,Рхх ' Р~ - Р~ Рт'- Р где а, Ь - постоянные числа, а х„х~ — в общем случае непрерывно- дискретные функции и аргументов. Свойство 2. Связь НСХ азных по в. л -мерная НСК в общем случае непрерывно-дискретной Кункции и аргументов, есть цкратная повторная НСХ искомой Функции, вычисленная в произвольном порядке. Например, для непрерывно-дискретной Функции двух аргументов .х(д,т') будем иметь 5.Р (~ ]=5С5. [и(В, )4=5 М 'Ж ~)]1; ~Г' ' ~ Р' ° ~ (1.96) [л®т)3 =5 [5,!х(Ото)Д; 5 Гх(дт)~=5 15 ~хФт)Ц.

ЧР' ~ Р"' ~р' Это свойство непосредственно следует из определений НСХ. Свойство 3. Связь ЬСХ з Ьт1яХ от щвкСвв времезв. Суоть звкявя Х(Е) и ИЕСХХ М(х), тогда Ф ХМ=Л Х Х-Л ХМ (1.96) Ф ФФ'Ф е Ф ~Ю" Ю гдв Л - ЯНХС, задаваемая соотношениями (1,62), (1.64). ойство 4. Интог ал (с мма) от п оизве ения н й в емени. (1.94) Пусть (1.98) ~ д;, (г) ~с~(т) сй длв непрерывных Функций; о Я д,"(~)и (~) для дискретных Функций 1зХХ и заданы НСХ Х,(а), Ядй)„ХМ й),ХЮ~(х), тогда Х А К Х~тХМ =ХМ Х (1 .97) Ф' ~Ф Ф Ф Ф Ф Ф Следующие пять свойств сФормулированы и доказаны только для дискретных Функций, так как для непрерывных ";ункций они полностью аналогичны.

Свойство 6. НСХ азности (п оизвопной) и нкь и в омону..пусть задана НСХ (Р - 1)-й разности 5~Р Й~)] искомой дискретной ",ункции ХД) при ненулевых начальных условиях(~д„=р дф/~;р=ру хх-Г) Р еХ . системе Функций (Я)(Ь,1,~)), тогда НСХ Р-й разйости связана с НСХ ( Р— 1)-й разности соотношением с-~ ~9,"хЩ~ Е Р Я,г',~,й) о [о'"х'~т)] -Р'Х„"д Я,1). РЦаХ) ' Х'*.И" ' ' ' Рй,С, .~~ 'Р м ° в где ~(Ь, г', Р,,~) 2 р(1,() р (2г,(.,0)э (г',~,()~(01.,Й) (1,110) - трехмерная НСХ множительного звона. 3 матричной 4юрме соотношение (1.1092 можно записать в символическом виде: Х и) -Х,и? е Х, (~2, ~1.1112 где под знаком й будем понимать произведение одномерных НСХ через трехмерную НСХ множительного звена . Операции произведения НСХ в спектральной области присуШи те же свойства, что и обычному умножению дункций во временной области, а именно: дистрибутивность Х,И)е~Х,(И.Х, а)1 =~Х,(Ц иХ,(аЗ- ТХ,М~Х, и 23; ассоциативность Х;(г') ®Х,Ы) ®Х,Ы)-~Х,й)эХг(Ь)1 е Х, ®; Е1 .113) коммутативность Х,Ы)®Хг(Й=ХгЫ) ®ХюЫ).

~ 1.112) (1.1142 Свойство Б. НСХ с ммы интег ла) н и в емени. Пусть задана НСХ 1Р-1)-й суммы Ь~ ( ! ~- ...Е Х(иг)~ = Х, ( ', 2.) 11.1С52 Я>(а,А,Ер у2 Е~ г 0 777 4) Р» от искоюй дискретной функции д(Е) по системе функций ~ р (г ~ (~.,)~. Тогда НСХ Р -й суммы связана с НСХ (Р -1)-й суммы соотношением гр Х~Й,4-5' [2: ...2."х(э+с Р !Ь,г,А,ЦХ,,(к,2.); С1.10Б) р(~г,~,1~) г~,'о ~~=~ ' с'=~р~' ' р~' Для интеграла это свойство формулируется аналогично и записывается в виде ~Р / я,~~л-~, (Кыв„...5л~ги'~-г~'р;;,г~д„.,м "'"' Свойство 7. НСХ п оизве ения Г н й в емени. Подставим в (1.132 дискретную функцию х(() -х,(()лг й) . Тогда получим Х(2,~) =Е,ра,а,(()л, (()р" (2,~, М .

(1.1082 Подставляя в (1.1082 .г,(() ~ яг ((), выраженные через обратное преобразование ~1.20), находим .с-~ г-~ Х (6,4=2„Х' Х~(РЛ)Хг (г,~-2 ~ й, г',~,1.) г ' ~~1.1092 Р г-о ~'0 Р Р, РР'Р' 24 Запишем ДШФ стационарной системы в виде с-~ с-~ В'„Я,ь,1.,3-)- ~ Е Я(3.,~)~'Й,А,~)~1~,3.,тп)К(~-пч). (1.130) М" 1*0 гп»0 »» По свойству 8 это выражение можно представить в виде с-~ ~-~ с-к %(И,~,1.,И-ЯЕ ф3.,0$э'Я,3,0 8 [4М 2.' ~(г,2.,1-тп)РЩтп). (1.131) рр» ' ' ' И~о ' » ' ',ЬЯС,п) гп»о» »» Используя определения (1.129) и (1.116), выражение (1.Ц1) запишем в виде н~ йД1,~)-Е 1 Я,~ДИ ЯИ И. (1.132) о~. ''' ~ю Эта связь позволяет найти ДНПФ стационарной системы по ее одномерной НСХ (1.129).

Обратную зависимость найдем, если в (1.132) положим ~' = О и учащем, что при ,О(О~,~) -ф~ (Ь,ряИ=Д вЂ” ' Р Яяа,Ц, (1.133) ». »» Т~~да ползучим в' ЦсШ-~-' ~ Р'й,~~ди 1~~), рр ° ~ ' ~ ~»драч ' ' ' » 4» ф» Ф откуда следует искомая связь %ИМ~ 4Х Е ~о ГР Ь,~,1) Ф (Ь,01,3).

(1.136) о ' ' ь» ~а" ' ' рр" Свойство 16. 1йтрицы ЛНПФ стационарной системы (длн дискретной системы с совпадающими тактовыми моментами на входе и выходе) перестановочны: (1.134) ~ К,-КИ, РР" РР' А~" РР" (1.136) 1.4. Спект альные алго итмы типовых звеньев непрерывно-дисккретных систем Типовые звенья непрерывно-дискретных систем могут быть представлены в виде последовательных и параллельных соединений, а также соединений с обратной связью, составленных из элементарных звеньев. Их ЯНПФ выражаются через Д1ПФ элементарных звеньев по правилам ф 1.5. К типовым звеньям непрерывно-дискретной системы относятся все тыловые непрерывные и дискретные звенья и собственно непрерывно- дискретные звенья типа Н-Н, Д-Д, Н-Д, Д-Н. Среди всего многообразия типовых непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных звеньев выделим здесь только следующие звенья.

28 е е ю ее ( азностное звено) и-го порядка представляет собой последовательное соединение и ди4$еренцирующих (разностных) звеньев, имеет ДНПФ (1.137) Интег и ее (с мми ю еа) звено и -го порядка представляет собой последовательное соединение и интегрирующих (суммирующих) звеньев, имеющих ДНПФ Ф Р (1.138) й' И Имп льсный элемент с конечным в еменем замыкания ключа.

Он преобразует свой входной непрерывный сигнал у(О) в амплитудно-модулированную последовательность импульсов, моменты появления которых на выходе звена есть моменты замыкания ипоча импульсного элемента с7 . Длительность импульсов равна времени замыкания T ключа импульсного эле~,энта.

Б пределах замыкания ключа импульсного элемента мгновенное значение импульсов меняется и равно входному непрерывному сигналу . Разностное уравнение и импульсная переходная функция звена имеют вид х(8) =-БАЮЛ д,' ~(~-~Э; 8 М(ц г)=-8(в-й~л,' ~!г-г,). (1.140) ДНПФ звена г И ю,жд =Х ~ „одв>~"(ьл,Ю~й.~,в)Ын И.ых> ,Ь/~" в, получается путем подстановки выражения для импульсной переходной Функции (1.140) в определение ДНПФ непрерывной системы (1Л5), Это звено надо рассматривать как непрерывное звено, трактуя выходной импульсный сигнал как оункцию непрерывного времени Ю . Эаметим также, что импульсный элемент можно рассматривать как усилительное звено с коэ(х7яциентом передачи а, М-Ед," ~(в-юс).

(1.142) Поэтому можно обобщить это звено таким образом, чтобы в пределах замыкания ключа импульсного элемента мгновенное значение импульсов ~ енялось пропорционально произведению вхопного сигнала ~(Ю на про- извольный коэф:,ициент передачи й(Ы) . ДНПФ (1.141) в этом случае пзг еннтся г. примет вид 29 Щ+7~ т льде,в-я ) рн,в)а(в~ р'(нов)дев>йв-~М~Еа,(аЯуррдвЩх.хауз) рр ' ' с где а,(ю) а(о)а,(в). (1.144) льсный элемент с'бесконечно малым в еменем замыкания ключа. Он преобразует свой входной непрерывный сигналуЮ в амплитудно-модулированную последовательность мгновенных импульсов. Разностное уравнение и импульсная переходная Функция ~акого звена имеют вид ХГЮ-УФЕЙВ-В,); 4(О,Ю=АВ-г) Едй-В,).

(1.148) ФПФ звена Г,Й,|'Л,Я) Е ~НЯ~~Ъ,1,ВД~з(а,й,д~) (1.146) 0Р' ьо получается пу~ем подстановки выражения длн импульснфй переходной $ункпии (1.145) в опРеделение ДНПФ непрерывной системы (1ЛБ). Это звено надо Рассматривать как непрерывное звено, трактуя выходной импульсный сигнал как Функцию непрерывного времени О .

ДШФ (1.146) есть предельное выражение ЛНПФ (1.143) при условии, что ааГв)--Е т— дв 4(а-ва) Tс и стремлении Т, к нулю, Это типовое звено, ДПВ которого может быть выражена через ДШФ дискретного элемента (1.81) и импульсного экстраполятора второго рода (1.83) и представлена в матричном виде: ~ (М и ы,и ю.ЙЯ. (1.147) Ф' ' Фу' Ллл вывода соотношения (1.141) поступим следующим образом. Сравним определение ДПНФ дискретного элемента (1.81) с определением НСХ дискретного сигнала (1.13).

Из этих определений видно, что ДНПФ дискретного элемента есть НСХ дискретной Функции, которая построена из значений непрерывной базисной Функции ~фю',1,г), взятых в точках С а~0,~.~ Й 0(,...,~-~), т.е. ~),(Уу,г',1,1) Б(~р~'й',Ф, т, ) .), . (1.148) Используя обратйое преобразование (1.20), выразим Яэ~г',Е,~,) через Ю(Ь,а,С,~) , получим 30 с-~ Р(~,~,?ь) ~.Р,Я1',3.,0Д Я1,1).. (1 ° 149) Подставляя (1.149) в (1.146) и учитывая вид ДПВ импульсного эк- страполятора второго рода (1;83), находим к ю ,7 й ю М=Г И Ц ~АУ Ю Я г',~, т).

~Р' (*о ~~' ' ~Р' Матричная форма записа этого соотношения и дает искомый результат (1.147). Отметим также, что импульсный элемент с бесюнечно малым вре- менем зажкания ключа есть типовое Н-Н непрерывно-дискретное звено, Экст слито левого подушка в классе неп е систем. Он преобразует свой входной сигнал, представляющай собой по- следовательность мгновенных импульсов Р'(В)~(ВЖ6(В-В, ), в кусочно-постоянный сигнал, амплитуда ступенек юиоРого определя- ется значением функции р® в момент поязленая мгновенного имцуль- саО~ е Импульсная переходная функция таюго звена имее~ вид М(~,т) -ь'~ ~(~-а) ~(~-г) - <[~-т р) .

(1.150) Это звено надо Рассматривать как непрерывное звено, тректуя входной импульсный сигнал как функцию непрерывного времени Ю. Кроме того, это типовое звено,'ДЮФ которого мокет быть вшраяена через ДШФ интегрирующего звена (1.68) и запаздаавщего звена (1.75) (где 6~ Р ) и представлена в матричном виде: 'У,ИМ Р (~,Й)~Е ? (Ь 1) 3 ° (1.151) М' Ф для вывода соотношения (1.151) поступим следующим образом.

Второе слагаемое Ф-?;о) импульсной переходной функции (1.150), с уче~ом свойства 8 -Функции и свойства (1.97) для интеграла от произведения функций, представим в ниде <СВ-гр) -~ю(В- а)б(лр)сй*-ЕЯМС ~(В- сй л Сд(с-?-„РЯ, (1.152) 0 ~(, ~,<~ Подставляя теперь выракение (1.152) для ~Ю-г;о) в (1.150), а результат подстановки - в определение ДПФ непрерывной системы (1.55) и учитывая определения ДШФ интегрирующего звена (1.68) а запаздывающего звена (1.75), находим следуюец~ю связь: 9(6 |~у1)РЯФрбфХР(6 |~~~ 11)?(Р8~~) Матричная фоРма записи этого соотношения и дает исюмий ре- зультат (1.П1).