Методы дифференциальной геометрии в задачах механики, страница 7

Используя понятия первой квадратичной формы н ее гауссовых коэффициентов первого порядиа, можно находить длины кривых на поверхности и углы между ними, плоцадь поверхности или ее части. Рассмотрим на поверхности Я гладкую кривую /- г(и(г( ь! з))-гтдт), е яФ,у ). (2.18) и пусть отсчет длины дуги 1 1(Я на ней производится в направления увеличения параметра т , т.е. Г Й) > 0 (ютрихом будем обоз/ начать дифференцироьание по параметру 1 кривой ) ) . )(эи установлено в гл. 1, 1 Й)- ) Г'(г)! . Дифференцируя (2.18) по ямеем ~ЗЛЮ! =~~и':рк'(~ с'и' Рг а'к'~Ы~'~ .

Поэтому для скорости движения по кгивой ~" получаем г'И-ю'КТгБР ~" (2.19) тг, . ~ми ~ и -) ~тг.юга ю~ы~. (2.20) Если пя хриьой у" ьвести натуральный парзметр 1, той"~п.д~ (см. гл, , 1 1.1). Поэтому из определения (2.15) получаем ф() -Едн~+2ИиН 53~~. (2.21) т.е. геоиет-:л сии; с ~ысл ге~вой кв — атичной Рю ыы заключается в тои, ьт' э: а ра з ';сира.у длины бссиснеси о иалой луги при счезек и пз нозсрхтю.",". з нглряэлсниэ р„а'и +г;, ~э~ .

В связи с этии первую квадратичную форму поверхности называют такие ее линейню элементом и говорят, что она задает метйик)( поверхности. Пусть теперь на поверхности (2.1) заданы две кривые: у):г-г~и,У,)ММ -фМ, ~, (м,~),), ,1:г-г(и~(г )цЮ)-г М, аале (,, д,1, пересекающиеся в точке М ( ил, и ), причем м - а,((, )-и (( ) ~о"М(бм) 6(ггю),4 -г'(маг;).Тогда под углом между кр~ выми ), и )л на поверхности 8 будэм понимать угол между касательными к этим кривым в точке Мэ . Отметиы, что тэк как обе кривые (2.22) лежат на поверхности (2.1), то их касательные векторыт,"-~Й~~~ ~, ° ~ ' кьр и гл ~й~~й,/~ в точке М, лежат в касательной плоскости к ао ! / Ф поверхности Л в точке Мв . Следова.ельно, г' г' и, гГ, гг~ гг = у;, аг гк Ф~' (все производные вычисляются в точке М,).

Тогда угол ~Р мекку этими векторами, т.е. )~ол мес11 к~изыми у~ и )З в точке их пересечения Мэ,будет определяться из формулы Я' Г~') Еи,'иг' '17и кг'+с"'и')+~г,"Ф~ ~ (2 23) гл5 г" ~1 ((6~'( Еи,'1г~'и,'е,'йи,' Еи~'гГиф С К' о где все производные (в том числе и в формулах для гэуссовых коэф- фициентов первого поряпка Е',Г, ~ поверхности б ) вычислятгся в точке Мл ° Рассмотрим в качестве кривых ~ , ~~ координатные линии и = и„, к = Ф~, проходящие через данную точку М, поверхности. Тогда б,"и, ~, -х, а и,'= 1, г~~ = О, в~~и = О, о~' = 1. Поэтому из (2.23) получаем для угла мекду координатниии линиями в данной точке: св (Р Я~д ~ .

Координатная сеть, коорди- натные линии которой а =союзу, сг гли~Е ортогонэльны в кшкдой точке, называется о огонэльной сетьо. Следовательно, для ортого- нальности координатной сети необходимо и достаточно, чтобы~"эР в каждой точке поверхности. Ыожно доказать суяествоввние ортого- нальной сети на любой гладкой поверхности. Замечение. Знание первой квадратичной формы поверхности (точ- нее, знание касательных векторов поверхности в любой ее точке) позволяет также решить запачи нахождения угла между поверхностями (как функции параметра кривой, по которой они пересекаются), угла между поверхностью и пересекающей ее кривой, расстояния от точ- ки (или кривой) до поверхности и т.д.

Решение всех зтйх задач ос- новано на идее замены (в первом приблшкении) поверхности ее каса- тельной плоскостью в соответствухщей точке с последующим примене- 34 нием известных формул аналитической геометрии для прямых линий и плоскостей. Пример 5 . Найдем периметр и внутренние углы криволинейного треугольника, образованного линиями и- + а с~~ф и з = 1 на поверхности, имеюлей первую квадратичную форму уЯ =Ыи +(ил а')1и. Гауссовы коэффициенты первого порядка для данной поверхности в произ- ьт вольной точке и,и таковы: Е = 1, Г= О, б'=из+аз. В плоскости па- ( ) реметров и, ь прообраз рассматрива- и емого треугольника имеет вид, изоб- а/з а/а рвленный на рис.

2.1. Кривые на двн- Рнс. 2. 1 ной поверхности, соответствующие сторонам треугольника 01 , ф, 03 , обозначим через /~ . ~~, /з, а лх длины - через Е,, Е., 1л, угол меяду кривьаюи /т и/3 точке их пересечения М~л обозначим через (Р~л и т.д. Параметрические уравнения кривых );,/л , ~р и значения производных по параметрам следующие: т): и,-~,, (о-/, ~, ~-% о/г),и,'-(, и;~-о, )ф . 'ил д1а /е гф ~л ~л е 1 д,/] дг Мл~ Ф~'-/, )щ: а,--а~,'А;- г„~, ~ аМ, и'-- 1~, '-<. Длины сторон треугольника на данной поверхности найдем по формуле (2.20]: о~э ~,-)ь,.~,~Ф)щч)ччт'л~ —;!э, гнь —,а.

О Ю Таким образом, искомое значение периметра,0 =/, е'/л т (э — Д. В точке М,л — точке пересечения кривых )",, /л -имеейу и- —, э"-// - —, /-хи ч~ -Р и -а э -/ Г-(Ю-— щ И / ! р Га л ~ г у г ° г, ° у ПодставлЯЯ эти значениЯ в (2.23), полУчаем дг5 (Д,л = 2/3. Аналогичным образом получаем гпту Яэ = 2/3. В точке /(гв имеем а = г. = О, 1,- /л =Ц и,' -иэ -0 ~~ - (/л -~ Е-/С а .

Следователь- г но, слэм = 1 и Щл= О. Теперь получим формулу для вычисления площади поверхности. Преиде всего, дадим определение площади поверхности, Б плоскости (и,э ) построим координатную сетку иэ линий, параллельных осям координат л отстоящих друг от друга на расстоянии о (рис. 2.2). Тогда поверхность Яс р (пространство Охук ) разобьется з нь части координатными линиями (рис.

2.3). Рессмотрим в плоскости Ояко точку с координатами (и;, к )и1, которая является верщи- 35 ной квадрата 1( со сторонами Ю, образованного соседними линиями координатной сетки. На поверхности втой точке соответствует точка /Ч(- (и;, и; ), в которой касательные векторы,",', и г', к поверхности являются по определению кэсательиьыи векторами к соотяцтствухщим координатньци и — и» - линиям. Рис. 2.2 Рис 2,1 Заменим образ квадрата (,; при отображении (2.1) на иарзллелограмм со сторонами г„'д' и т;,8 .

Можно доказать, что площади обеих фигур отличаются на бесконечно малые более высокого порядка, чем Р . Параллелограмм расположен в касательной плоскости к поверхности о в точке М; - (и(,ь,' ). Его площадь определяется ' Нб.=!~т„3ГЯ„,-Р1.„,~=,~~ У-) )7)„,6'. Функпди 1е, 1'» непрерывны, следовательно, существует предел 6-йтл 2:лб; -Ц)к' ')1иА»'. (2.24) о-с Суммирование производится по всем вершинам полных квадратов в плоскости Ои», которые попадают в область (.. Ясно, что предел интегральных сре (2.24) не зависит от способа разбиения области (..

Величина Ю, определяемая по формуле (2.24), и называется о ю нове ости 3 . Запишем формулу (2.24) через гауссовы коэффициенты первого порядка, использовав выражения (2.1)) для ~Л') . Получим 8 = Д~~д-~ ~ ~~ у с~ ~Г. (2.25) Подчеркнем, что площадь не зависит от выбора пареметрического представления поверхности о . П)оимееп б. Найдем площадь криволинейного треугольника, ограниченного линиями а = 'а », » = 1 и респолокенного на поверхл г л г ности с первой квадратичной формой у(г)=Ыи .(и . а ) Ы~" . (2.27) Анахогичввг образом получается и формулы для вычясления площади поверхности, заданной неявно уравнением г (з", у,х ) = О.

т 2.3. Г сервы ко энты го по а Рассмотрим регулярную поверхность Я с пареметризацией (2.1) и единичньег нориальньм вектором т~ (и,6') в обыкновенной точке м (и,и). Перейдем к изучению кривых на поверхности с точки зрения их расположения в пространстве. ))ля этого введем понятие йторой кзйййатичной 4ю)в(ы -(~г=,~п)- — ~г„,пж)~иг-'((г.„;г,) (г-„, гаиш~ и- - (~.,~.) ~~ г-~~ иг-ЕМ,(и,(~+~((~ г где величины (,, М,))( называются г ссовыми ко энтими вто>юогго порщва. Получим лля них более удобные лля вычислеиий выражения. Вектор аГ лежит в касательной плоскости, а й - ее нормаль (отметим Лля дальнейшего, что вектор ~(~г перпеияякулярен вектору В плоскости параметров и, э- прообраз (область Е ) рассматриваемого криволинейного треугольника (на данной поверхности) изображен на рис. 2.4. Гщуссовы коэф(икр~- виты первого порядка дия данной поверхности таковы: Е = 1, г = О, С- и'.а', По формуле (2.25) искомая пло- ( 1 щадь будет равна (в силу симметрии): ы е -о б-))Ьи'+а'Ыиг(и ~~~! 1й' -аЫг)йс Рис.

2.4 г и/а ф-й~~Р ахи "г~у ~их а' — (и'а') э — !п(л ~йг.гф-а ~~:~ (п(~~я~), г Пусть поверхность Я задана по методу Эйлера - нонка уравнением б =,~ (л,у ), (л,у )г(.. Половив (как и в т 2.1 при выводе формул (2.8)-(2.9)) л и,у.к, 2 = ~ (и,г ), получим тц 1Ф Ц 01 лэ ~~Я' ° лтl . О1 гф 1 ° ~Р ю' '~=.~,, Г=~,~,, ~-<«~у,'. (2.2б) Подставляя этй вырихеняя в (2.25) Лля ллонахи поверхности, г.Пр „— срг гг 37 й и поетому такие лмиит в касательнок клоскости). Следовательно, (Й', й ) О, а ухУ(у(Г,Н ) = (а'Г,й ) + (Й',оУй) = О. Поэтому вторую квадратичную фор~у (2.28) моино зеписагь в таком виде: ~ЫГ~(п ) Гу(Г л)у (Гииуи)уу(«+2(Гиип Аууу(уу+ фиуме )уь у' используя ооотноиения ч (Г„,Г 3,~~(Г - )~ )(Г„,Г )) - ~~а-'7~, получаем отседа такие формулы для вычйоления гауоеовых козффицил Ы хи« (Г„,Г„,Г„) «У ии )(я Г )) иуу г > "ии Уии Хии «» у» «уу " '"""' ~уи Р) гуу-у' 1Л«у ииии "ии Х» Уи Хи Еоли яоверхность задана в форме Эйлера - )(энка Х = / (Х,у' ), то о учетом параметризвции л»и, у г, х =,у' (и,~ ) форяулы (2.29) принимает более проотой вид: 6«Дх,(,ф (2.3О) Я уу у'у ьу/у* ' у у,'"'уу Для выяснения геометрического смыола второй квадратичная формы расомотрим на поверхности (2.1) кривую (, проходящую через точку М .