Методы дифференциальной геометрии в задачах механики, страница 10

Зтот критерий нзложимости поверхностей означает инваризнтность первой квадратичной формы при изгибании поверхности. Отсюда следует неизменность при изгибании поверхности и всех величин, определяемьк с помощью только гауссовых коэффициентов первого порядка (и их производных). В честности (см. (2.23) и (2.25)), при изгибании остаются неизменными углы между кривыии на поверхности и площади соответствующих частей поверхности. Совокупность всех характеристик (свойств) поверхности, котове не изменяются при ее изгибании, образуют так наэываеыую внутреннююю геометрию поверхности.

Все остальные свойства, которые зависят от расположения поверхности в пространстве (например, нормальная кривизна поверхности), образуют внеинюю геометрию поверхности. Из сказанного видно, что изучение внутренней геометрии поверхностей в некотором смысле эквивалентно изучению геометрии на плоскости„ т.е. плзниметрии. Это неудивительна, тзи как перввя квадратичная форма поверхности строится исходя из замены (з первом приближении) поверхности в окрестности точки ее касательной плос- костью. Для того чтобы аналогия между внутренней геометрией поверх- ности и планиметрией была полной, надо найти на поверхности специальные кривые линии, играющие на плоскости роль прямых, причем в двух аспектах: 1) как линий, в каждой точке которых кривизна равна нулю; 2) как линий, определяющих кратчайшее расстояние между двумя точкачи.

Оказывается, что на любой поверхности возможно И~И~ ' Р летзоряют обоим этим свойствам, Для введения точного математического определения геодезических линий поверхности сначала рассмотрим поверхность з с нараметризацией (2.1), обыкновенную то ау М- (а,и ) на ней и произвольную кривую линию т" на поверхности, проходяиппо через точку М . Спроектируем )" в мелок окрестности точки М на касательную плоскость к поверхности и также построим нормальную пяоскость, проведенную в направлении касательной к )" (рис.

2.8). В результате получим кривую г, е ю хеиэмэ ~лев~ пжей кривой ) на поверхности 8, и кривую )д, являющуюся в уже знакомцы нвм по рис. 2.5 из 5 2.3 но зльным сечением в поверхности з в направлении Г (единичный касательный вектор кривой )" ). Рис. 2.8 Пусть к - главная норывль к кривой,,д = ~Г,Р 1 - ее бинормвль, тогда 7, Р,,з - триедр Фрэне кривой ~" в точке М, а й— единичный нормальный вектор поверхности 3 в этой же точке.

Введем единичный вектор Ь = ~т , й 1, лежалий в касательной плоскости и нззываеыый едини~аым твнгенцивльным нормальньм вектором к кривой у' на поверхности Л . Тройка векторов Г , й ,Ь называется основньм тюиэд)хл( кривой ~ на поверхности о . Ясно, что базис т,г7 ,Ь является правым орточормированнми базисом и получается из базиса т , й „6 поворотом на угол Ы ( рис. 2.8) вокруг вектора Т .

Базисы совпадают,только если ('г,Р )=спэйс = 1. Пусть 1 - натуральный парзмегр кривой ~", а точкой, обозначается диф(еренцировзние по нему. Тогда векторы г , й , Ь можно разложит по базису. НоэКапдеиты разложений определим, умножив сиалярно эти разложения на г, й , Ь и учтя то обстоятельство, что базис т, м , Ь - ортонормироввнный. Стсюда получаем так называемые деривапиончые уравнения. г =рг-б'Ь, р=)'2', й)=-('?,й, ), и= (,ь )-- (йь ), (2.55) Ь = б г -м й, б - (г, 7 ) - — (Ь, г. ), где коэффициенты разложений называются: т — но зльная ивизна 4 кривой у на поверхности з , .Р,. — гео езическое к ение кривой )" на поверхности В, Ю~ — гео езическея ивизна кривой )" на поверхности э .

Дериввционные уравнения кривой на поверхности являются анэло- гои формул Фрэне (см. гл. 1) для произвсльню~ пространственных кривых. Отметим, что нориахьная кривизна ~ кривой у" на поверхности Я совпадает с нормальной кривизной поверхности, определяемой фор- мулой (2.34). В самом деле,г-А;Й,П'=~~й ) поэтому р. -(Т,й,)- — ()ЭГ'~~э)/~Я()~. Подставляя сюда(2.28) и (2.4), полу- чаем (2.34) . Из первой формулы Фрэне имеем Т =я 7, где и - кривизна кривой г в тОчке М . Подставляя это вырзиение й определение гео- дезической кривизны ф~ = -(ог,Р ) и используя г = -~й,т ), ине- ем таиую связь мекду обычной кривизной (, и геодезической кривиз- ной У: к 1(гбао) (Гг е ) (2.56) где использованы формулы 2' = , 7 Г Я , Отсюда получаем два очень вшхных следствия.

Во-первых, геодезическая кривизна, з от- личие от нормэльной кривизны и геодезического кручения, опреде- ляется лишь первой квадратичной формой поверхности (чисто формэль- но это следует из того, что в определения (2Л5) величин р и ж„ входит т7 , а в определение для дг лишь сзм вектор Е , означающий зависимость от ~' ,Г,, но не от г „, Р'...Х„' ). Поэтому геодезическая кривизна д; есть характеристика внутренней (а не внешней, как (г и ф ) геометрии поверхности.

Во-вторых , из условий л 1 г и 7 1 т вытекает, что геодезическая кривизна дг кривой на поверхности равна нулю тогда и только тогда, когда единичные векторы главной нормали кривой Т = Г /й и нормали поверхности гг коллинеарны. ~щ~щь~ ~ р ~~' р ~лй~уэй Й " й "" "Р"'" Р 'у- лю.

Кривые линии,)', все точки которых являются геодезическими точками, называются гео езическими линиями на поверхности б . Следовательно, иэ второго следствия формулы (2Л6) получаем теореиу: для того чтобы кривая )" была геодезической линией на поверхности о, необходимо и достаточно, чтобы ее главная нормаль э квздой точке была направлена по нормали к поверхности в этой точке. Отсюда ке следует и единственность геодезической линии, проходящей через точку М в данном направлении Е на поверхнос- ти Я, Пример 9. Если денная поверхнооть целикои содерхит прямую линию, то зта прямая является геодеэичеокой линией поверхности, твк квк крквиэкв прямой равна нулю ( си. (2.66)).

П))имер 1С! На сфере геодезическими линиями (помимо меридианов и экватора) будут все окрукности больюих кругов, получзхв(неся при печении сферы плоскостями, проходящими через ее центр. Поимею 11. Рассмотрим произвольный цилиндр (см. рио. 0.3). Ясно, что его обраэущие будут геодезическими линиями (твк квк они прямые, принавлекащие цилиндру). Непосредственный подсчет по формулам (2,56) и (0.5) показывает, что винтовые линии (0.5) на цилиндре являются геодезическими. Но в данном направлении монет пройти только одна геодезическая, оледовательно, геодезическими линиями на цилиндре являются только его образухв(ие и винтовые ли- ' нии на нем.

Геодезические линии поверхности имеют глубокий механический смысл. Рассмотрим двикение овободной материальной точки массы юг по гладкой поверхности Ф . Тогда, как известно из курса физики, уравнения двикения точки будут иметь вид ж — у-К (2.57) Э(' где г - радиус-вектор точки, удовлетворякций уравнению поверхности (2. 1), а Л~ - реакция опо)ы, которая направлена по норивли к поввухности, т.е, зила ЛГ коллинеарна единичному вектору нормали н . При двикенни материальной точки по поверхности ее траекто-. рией будет являться Пахан-то гладкая кривая. Введем на ней натуральный параметр 1 . Тогда ~К' — -1' +,ь — у М -')Л7!п а'~х ь'~ аг' где точкой по-преннему обозначается дифференцирование по натуральному параметру 1 . Подставляя эти вырэяения в (2 57), имеем )'~ ( ~г ~ )/т ~~ .

т (2.58) Теперь подставим внрэнение (2.56) в (2.56) и получим, что на всей траектории точки 6„ = О. Поэтому механический смысл геодезической линни поверхности заключается в том, что она является траекторией овобцюой материальной точхи, двикухейся по данной поверхногти по инерции. Возвращаясь к аналогии между внутренней геометрией поверхности и плениметрией (геометрия плоскости), обратимся к второму основополвгвющему свойству геодезических линий, называемому их у руд ~д~ И Рассмотрим на поверхности с множество кривых, соединяющих п ж'. кр р.

бзя другая кривая на поверхности, соединяющая точки М и М', имеет длину,не меньшую чем )" . Приведем без доказательства (см. Ь 7~81 ) теорему, выражающую экстремальное свойство геодезических: геодезическая на любом своем достаточно малом отрезке является кратчайшей. Зтв экстремальнаи теорема дает лишь необходимое, но не достаточное условие для поиска кратчзйшей линии, соединяющей точки М и М', а именно: кратчайшая кривая обязательно буде. геодезической линией, но не всякая геодезическея, соединяющая две точки, будет кратчзйшей. Ф. ППимерЯ. Пусть э — сфера. Тогда через две любые точки (не дизметрвльно противополонныс) Ка проховлт две дуги большого круга, являющиеся отрезками одной геодезической линии, Однако только )Ч- меньшая из этих двух дуг будет кратчайшей кривой между точкэми М и М".

Пример )3. Пусть с' — прямой круговой цилиндр, а у;, /л — две винтовые линии на нем, проходящие через денные точки М и М" (рис.2,9) Обе кривые )~ и «» — геодезические (см. пример П). Однако дуга кривой ~", - кратчзйшая, а дуга кривой ул, кзк видно иа рис. 2.9,ие язляется кратчэйшей, так кзк кривая )~л при движении из точки М в точку М" сделвяа более одного оборота вокруг цилиндра.

ЛИТЕРАТУРА 1. К у д р я в ц е в Л.Я. Нурс математического анализа. - И.: Высшая школа, 1981, т. 1,2. 2. Н и к о л ь с к и й С.Ы. Нурс математического знвлизв. - М.: Наука, 1973, т. 1. 3. Б у д а к Б,М., Ф о и и н С.В. Кратные интегралы и ряды. — И.: Наука, 1967. 4. С и и П н о в В.И. Нурс высшей математики,- М.: Нзука, 1965, ч. 1,2» 5. П о г о р е л о в А.В. Дифференциальная геометрия. - М.: Нзука, 1974.