Методы дифференциальной геометрии в задачах механики

Ф '! ° ф ф ф ° ° ф ° ° ф ф й ° Ф в ° ~ у ° Р.Н. МОЛОДОЖНИКОВА В.Н. РУЗАНОВА А.Г. СОКОЛЬСКИЙ МЕТОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ МИНСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЧ СССР МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЬНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЛЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЖОНИК1ЩЗЕ Р.Н.МОЛОДОМНИКОВА, В„Н.РУЗАНОВА, А.Г.СОКОЛЬЕЙ МЕТОДЫ ДИФИРИЩИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ Учебное пособие Под ред.

д-ра 4из.-мат. нвук А.Г. Сокольского Утверкдено на заселении редсозета 28 июня 1982 г, МОСКВА 1983 УДК:514.7(075.8) Молодозникова Р.Н., Рузаноза В.Н., Сокольский А.Г. Методы дифференциальной геометрии з задачах механики: Учебное пособие/ Под ред. А Г. Сокольсюго. — М.: МАИ, - 54 с., ил. В пособии излагаются злеювты дврферевпиальиой геоютрик. Методами дифференциального и интегрального исчисления изучемтся кривые линви в поверхкссти с точки зрения вх внутреннего строения и полонения в пространстве. Взодкюм понятиям дастся юхаввческая ивтерпретацяя н указывевтса кх прялоаевия в юханике деформвруемого в ведеформвруеюго твердого тела.

Резбираптся тизичвые приюры ревеввя зе)~ч. Пособие предназначено для студентов факультета "Приклееная математика", изучзхмих курсы "Математический анализ" и "Теоретическая механика". Рецензенты: М.И. Шабунин, В.Г. Демин. Премия журнала ПЕВ БР1ЕБЕ1 лучшее учебное пособие © Московский авиационный институт, 1983 г. 51318 ~5) .'.! 754 Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта преподавания основ дифференциальной геометрии в курсе "Математического анализа" на фвдультэте прикладной математики МАМ.

Авторы ставили цель кратко и доступно излокить основы дифференцдавьной геометрии и указать возмовности применения элементов дифференциальной геометрии в задачах механики. В связи с этим в тексте всем вводлмьм понятиям лается ясная механическая интерпретация и имеется большое количество разобрзнных примеров. Задача авторов облегчвлась тем, что в чисто историческом плене сама дифференциальная геометрия появилвсь преимувественно при решении задач механики еще в работах Леонарда Эйлера и Гаспара Монка.

В то ке время авторам пришлось преодолеть ряд трудностей, связанных с иэлокением теоретического материала и вмьелением, на их взгляд, главного с точки зсенпя грилокения к механике (недеформируемого и деформируемого твердого тела). В связи с этим з тех местах, где математическая строгость рассуядений шла з ушерб их механической наглядности, ггторн отдавали предпочтение механической точие зрения. По учебному элену изучение основ дифференциальной геометрии грсдшествует изучению курса теоретической механики.

Поэтому при иэлокении приходилось опиваться не на конкретные знания студентов по меню,ике, а скорее на физическую интуиции читателей. Написание ) энного учебного пособия вызвано не стремлением авторов полонить методы дифференциальной геометрии з задачах метаньях, э келвьием псиочь студентам освоить математический аппарат, испольсуеигй яри решении приклавных задач мехвняки непосрак:ть ньо с курсе "Теоретическая механика". Дифференциальная геометрия изучает геометрические обрезы [кривые и позер:яссти в трехмерном евклидозом пространстве) методьми дифференциального исчисления, Таким об)азом, по предмету исследовано.

дифференциальная геометрия является естественник прололчением зньлитичесной геометрии. Применение анализа бесконечно ивльх диктует локальный подход к изучении рассматриваемых геомет- рических объектов. Зто означает, что для изучения глобальных характеристик зтих обьектов надо привлекать дополнительные сообрзяения, выходящие за рамки первоначального дифференциального подхода. Зачастую такие сведения мовно получить иэ решений механических задач, приводящих к основныи понятиям диф()еренциаяьной геометрии.

Денное учебное пособие состоит из двух глав, посвященнюс плоским и прострзнстввннн< крывши (гл. 1) и поверхностям (гл. Р). Обратимся теперь к самим понятиям кривой и поверхности, т.е. к математическим образам реальных геометрических и механических объектов. Первую удачную попытку строгого математического определения кривой линии предпринял К. Иордан, который рассматривал кривую как тИМщййип двииущейся по определенному закону материальной точки М . Считая для простоты двииение плоским, выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат ()ху, Зм характеризуя полоаение точки Иг -Ю9- М ее координатами х ну М которые зависят от момента ф((1 времени б е ( (, 9 ) . Зависимости координат точки М от а$ о Х ° х уИ) 1 (рис.

0.1) обозначим через х- д(Ц, у-(лД), причем Рис. 0.1 в силу условия непрерывности двииения (л(М и и(г) - непрерывные фпнкции 1 на промекутке (.с, д 1. Отвлечемся теперь от механического происхокдения понятия кривой кзк трзекторщи материальной точки, и будем рассматривать саму кривую линию, считая ~и(с„б~ произвольном параметром. Получим так называемые и ет ческие пения ио вновой вой, в сами уравнения будем называть параметрическим представлением данной кривой. Псииееп 1. Рассмотрим окрукность единящего ракщуса.

Чтобы обойти окруяность за единицу времени, точка М долина двигаться со скоростью 2Х (при равномерном двикении). Следовательно, за время ~ точка М пройдет дугу длиной лхг . Позтоиу ее кооряинаты в иомент времени ( задаются фо)мулами х-гмбх(,Р -лг'ияд1, Ес '(О, 11. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями окрукности. Отметим, что иорпвновьми кривыми могут быть и кривые, которые не соответствуют навин интуитивны представлениям о кривой.

Так, например, Дк. Пезно указал кордвнову кривую, которая проходит через все томи квадрата, причем некоторые точки кривая проходит неоднократно. Чтобы иэбеквть трудностей, связанных с изучением кривьк, подобных кривой Пеано, вщлелим среди всех иордановых кривых класс так называемых простых кривых. Пусть коордянаты точек М определяются уравнениями Х=Р(В. У-УУ~), ~и[С,„б», (0.1) где (гД), ф7~) - непрерывные функции. йглкество точек [М» тогда называется и стой плоской ивой, если различным значениям параметра б соответствуют различные точки М на плоскости Пху.

Примером простоЯ плоской кривой моиег слукить график непрерывной на отрезке [ с, д ] функции у=,фл) . Згот график воино рассматривать как траекторию точки М, двикущейся по законуд"-с, ,~(1), сс [с,~ю». Ясно, что различимы значениям парвметрв ~ соответствуют различные точки грв[мка. Кюгдой точке простой плоской кривой поставлено в соответствие определенное значение параметра: М- ~, причем зто соответствие является взаимно-однозначньзю и непрерывньм.

Точки простой кривой упорядочены, т.е. точка М, 1, предзестует точке Мл-бл, если б, ~„. Поэтому на простой кривой мозно ввести направление ее обхода. Будем называть полокитаиьныи то направление, которое соответствует увеличению параметра г . В этом случае говорят, что простая кривая парзметризована с помощью параметра 1, а уравмения (0.1) называют ее параметрическими уравнениями. Ясно, что простая кривая не мокет иметь точек сзмопересечения.

Пусть теперь существует такая система сегментов [С,. „т'1] что: 1) ЯЕь,Лг] - [.с,д ]; 2) общими топками двух сегментов могут бйть лищь их концы; 3) кзлдвя точка сегмента [ с„е ] привадлевит хотя бы одному сегиенту [ 1;,, (, ] . Пусть п1м Ы [ 1; „ (; ] уравнения д - ~д(1], у (К()) задают простую плоскую кривую. Тогда мноиество точек М- ~ , коориинаты которых задаются уравнениями (0.1), называется парзметрически заданной крквоЯ. Такмм обрезом, любую параметрическую кривую р- мокно рассматривать как обьединение конечного или бесконечного числа простых кривых, причем точки М,- 1, и М, - (л , отвечзлщие различимы значениям и 1, параметра ~, считаются различными, даве если нв плоскости они и имеют одинаковые координаты. Отметим, что в силу принятых вьззе определений параметричеоки заданная кривая монет иметь точки овмопересечения и деке узаотки овмонэлегания.

С иараметричеоким заданием кривых часто приходится иметь дело в механике, исследуя траекторию двивущейоя материалвной точки. Полокение точен завиоит от времени ( . Следовательно, и ее координаты зависят от времени 1 как от параметра, Определив координаты как фикции параметра (, тем семьею получим параметрические уравнения траектории. Рассмотрим для примера одну замечательную кривую механичеокого происхокдения. ППимеП2.

Рассмотрим круг радиуса Ч, катящийся без сколькеняя по неподвнкной прямой. Траектория точки М, лелвщей на окрукности радиуса Р, называется циккощвой (рис. 0 2). Рио. 0.2 Так как околькение отсугствуег, то (рл~ ~-дг./)(М=)Р(, л- Й1/)- )Ял)-я( -Й5(М-ЯЙ-лгиЦ,у-ЯС)-)КС~ 2-кгаэ( й~~-соьЕ ), Этн соотношения и являются параметрическими уравнениями циклоиды. В силу периодичности двввения достаточно рассматривать значения параметра 1 (за который здесь принят угол Л~СМ поворота окруквооти , где Х есть ~очка ее касания в некотором полокении с ооью Сэ) на отрезке (О,гэг) . Если бы точка М лекала внутри или вне круга, то ее траекторией являлась бы соответотвенно укороченная илн удлиненная циклоида, ивзивзеивв такие трохоидой или цепной линией.

Уравнения кривой удобно записывать в векторном виде. Точке М с координатами л ,у мокно поставить з соответствие ее радиусвектор г-,т( г' (рис. 0.1). Подставляя сюда змеото .т и у зыракения (0.1), получаем векто ио-пв виет яузское эвиенне кривой: Р ГН) 4(Н)т' ~Мl(Ц~, г э ~~С,/33 . (0.2) ,1озтому парвметрически эавэнную кривую мокко трактовать как годо.раф вектор-4ункции гч й) (траектория конца рвдиусв-векторэг (г) точки М 1 ). Пусть функции )сЮ, (уЯ вЂ” непрерывно дифференцируемы.

Тогда соответствухщая кривая называется дифференцируемой. Точка М '- 6 " дифференцируемой вуюизой называется особой, если 7т'(д = О, т.е. С р(Е')7. (у'(~"7] -О . В качестве примера особой точки мозно привести точки О, +г,Рд,+е2т,... на цихлоиде ~(пример 2). Неособая точка называется обыкновенной. Хотя бы одна из производных (л' или й' в этой точке ие обращается й нуль, т.е. (г' +~и' >б. Непрерывно дифреренцируемая кривая без особых точек называется глзуой. Кривая, предстазяенная кзк обьединение конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой. Одну и ту ке кривую мокно параметризовать различньаи способами.