Методы дифференциальной геометрии в задачах механики, страница 3

ЕЕ ьй Р независимой переменной,ага ф~~ ЕЕ1~ ~1Л угол между ними (рис. 1.2). По М й2 предположению ~ОР ! = (ОР ~-Сапй, О поэтому треугольник РОР рав- и нобедренный, и угол между веитои Я ЕЮ 4) рами г, и + равен — и— ПриМ вЂ” О угол ~0 в силу не- Рис. 1.2 прерывности Е-(Е) также стремится к нулю и Е(ггг — -Т'ЕЕ ). Значит, если ~. (Е)~ -~тлЕ, то векторы Г(Е) и Е"'('Е) взаимно ортогонэльны и производная от единичного вектора аЕЕ) также есть вектор, перпендикулярный к а(Е) . Вычислим модуль производной единичного вектора гЕЕ).

Основание треугольника РОР, равно гае ~ -г(е,(зги а -Гаггг ~, откуда ав . ав (ае 1 аэгггаагг ЕВ ! э гЕД "ЕЕгп ! — 1-ггггг - ЕЕггг — ° Обозначим Е1ггг— аг а1оЕ1 аг а МЕ! аг а !аЕ! ае а!аг( через ог . Тогда 1а'(Е)г-и', При ЕиЕа этот предел, вообще а'Ы говоря, не равен производной — от угла У по переменному Е, так как для вектора, который йе остается параллельным неподвижной плоскости, вообще не существует такого угла У, который бы определил его положение.

3 частном случае, когда годогрэф е лежит в плоскости, га'(Е )~= ЕЕггг †- †- а~ . О механической точки аВ Ев аг-а аЕ ЕЕ зрения го в этом случае есть угловая скорость поворота единично'о вектора а (Е) в точке Пример 1. Получим разложение вектора скорости точки, движу~цейся по некоторой траектории, на две составляющие. Если Е'(Е)— аллус-вектор точки в момент ьремени Е , то уравнение ее трэекто- 12 рии имеет вид Г -ГЯ. Запишем вектор г-(Г (е как произведение его модуля (Г (=(ГЯ) ~ на единичный вектор е направления радиуса- вектора Г .

Взяв производную от обеих частей найдем Г'-(Г ! е' -~Г (е', или й-(еГ)е -(Г(е ((Г ~' 4~~ ~~Г') „(еГ )) с~Е (Г Б полученном разложении вектора скорости йа две составлякщне пер- Ф вый вектор ( е, Г )е направлен по вектору Г и носит название продольной или радиальной состазлщпхей. Если вектор Г постоянен по модулю, радиальная составляющая равна нулю и поэтому производная Г или равна нулю, или перпещкикулярна и Г . Второй зевтор (Г (е перпендикулярен к вектору Г и называется поперечной или трзнсверсзльной составляющей.

Если вектор не меняется по направлению, трансверсельная составляющая равна нулю и поэтому проиэвод- ( ная Г или равна нулю, или коллинеарна Г $1.2. Т э не. Фо лы не. Мехзнический смысл ения ивизны и Пусть теперь à — траектория точки Р , которая движется с единичной скоростью, т.е. эа единицу времени проходит по )' дугу, длина которой равна единице, При таком условии время движения г численно совпадает с длиной пройденного пути 1 . Эту длину будем рассматривать как независимый аргумент. Вектор мгновенной скороети зг точки направлен по касательной к кривой Г в сторону движе- , вд у я яед,и "-'гЮ . Е не прямая, то веятор Г меняет свое направление в пространстве.

Точка испытывает ускорение, равное с(Ц. Пусть точкам Рд иРд т-х7 У соответствуют значения параметра 1з и,~ ~-Л . ТогДа ~Г(1,)(= ~.У2' ! . НЯ Т -Йт~ !' ~ — -х )' Р, и а л( Л-о ~л1~ где л У вЂ” угол между векторами СИл) и т По"б1), ~ — кРивизна Рис. 1,3 кривой в точке 1з . Пусть л Ф О.

Введем единичный вектор У-~У(1 ), по направлению совпапэщий с т'(1о)(рис. 1.31. Тогда 'е'( Я-~фл), ящдд~~* 35 Р, р~~ ~ ~ Р Р дикулярно вектору т. в этой точке, называется нормалью к кривой в точке Р . Бреди всех нормалей в точке Р, выпалим ту, которая проходит в направлении вектора Т , 71Х . Эту нормаль называют главной нормалью к кривой в точке. Вектор 7 , выпущенный из точки Р , нззывзется единичным вектором главной нормали. Будем с'итать, о ю 13 что вектор 7 опраиеляет положительное направление главной нормали.

Фрййей~е. Плоскость, проходящая через точку Р и перпендикулярная вектору Р, называется спрямлякщей плоскостью кривой в точке Р~. Построим единичный вектор „б -~ г ..~.пр,.р, д~~ ° Й ~~, ° нии вектора~Т, называется бинор<алью к кривой т" в этой точке. Выпущенный мв точки Рр вектор т называется единичным вектором бинормали. Он опрщкеляет положительное нзяравление бинормэли. Ощж~уенне. Плоскость, кроходящзя через точку Ро и перпендикулярная вектору „б, называется соприкасвкщейся. Сопрнкасахщаяся плоскость параллельна векторам г и Р . В случае л = О любая плоскость, проходящая через касательную в этой точке, называется соприкасапцейся плоскостью. Обозначим через ~1ф угол меиду соприкасахщимися плоскостями кривой в точках Р,' иР, через 1Л! - ялику дуги Р,Р ктмвой (рис, 1.4).

лб ьу' Й ц ~~ Р назовем прщиел, если он существует, отношения ~р при Р Р ° о Пусть кривизна Л отлична от нуля и'непрерывна в точке Р , тогда она отлична от нуля и в точках Р, близких к Р , Векторм ? и Р отличны от нуля и не параллельны. Поэтому в кажкой точке Р существует соприкасахщэяся плоскость.

Угол 3ф равен углу между зекторэми „е~Е ) и е (~~ч-лЛ, значит,фф~=йдф~-~ьф и б - ~~б йо ) . Визой. Из кмтдой точки Р, лежащей на кривой/", удовлетворяющей указанным условиям, можно выпустить три единичных вектора г, у, ц, определяццции прямоугольную систему коориинат с центрои в точке Р,: - единичный вектор касательной; 1Р'(ь,)~ У- Г ~~-- — Гф- — г ф - единичный вектор главной нор- ~~11аН ,з-[г, У ~ — единичный вектор бинормалл.

Вамечзние. Направление г зависит от параметра в тои смысле, что замена ~ на -1 изменяет направление г на противоположное. Направление У не связано с параметрическим представлением кривой, так кзк дифференцировэние г(11 производится дважды и вектор Р1Л У-тч7 И не изменяется при замене 1 на-1 или на 1+1„ ~г ЙН где 1, * слпя'. Если л = О, то вектор У не определен. В дальнейшем будем считать, что 4 Ф О.

Тройка единичных взаимно перпендикулярных векторов 7 , У при каждом значении аргумента 1 образует ортонормированный базис, естественным образом связанный с геометрическими свойствами кривой в окрестности точки гт(1/ . Базис г', У ,„д называется триэдром йрене, или основныи репером в точке. Три луча, исходящие из точки кривой и имеющие направления векторов Г, У ,,в , являются ребрами трехгранного угла. Этот трехгранный угол называется естественным трехгранником. Приием точку Рцу эа начало координзш, а оси естественного трехгранника — за оси координат. Введенная система координат называется сопровоидэхщей системой координат. Ее координатными осями служат касательная, главная норызль и бинорыаль.

Координатными плоскостями в этой системе координат служат нормальная, спрямляющая л соприкасзшщаися плоскости. Триэдр жестко связан с точкой на у" и движется по кривой вместе с точкой. Опишем движение триздра при перемещении его вершины по кривой. Будем откладывать векторы триздра Фрэне от фиксированной точки О пространства. Тогда при изменении аргумента 1 триэдр будет двигаться как твердое тело, имеющее неподвижную точку О.

Найдем скорости точек вращающегося твердого тела с неподвижной точкой О. йзвестно, что всякое движение твердого тела около неподвижнол точки О можно рассматривать кзк посяедовательность поворотов на бесконечно малые углы вокруг осей, соответствующих каждым двум бесконечно близким положениям тела. Поэтому рассмотрим твердое тело, врзщзпцееся вокруг неподвижной оси, проходящей через точку С, с постоянной угловой скоростью ю . Всякая точкаМ 0 х р В 1 будет двигаться по окруцяости радиуса Р-[РИ [ (рис.

1Л). Ее скорость К = — направлена по касательной к окружности в стороа'/ ас а( ну движения и имеет величину, равную 1и' ~- — -ыР -ю [реп зз. Ф1 Отложим от произвольной точки оси в указанном направлении отрезок, длина которого равна ы, Будем Й~ иметь вектор и~, который называет- Т ся вектором угловой скорости. Тогда величина векторного проиэведе- 4 ~ У"14% ния [а,~1 рвана [Р [, а направ- ! ление совпадает с направлением и', ! Скорость любой точки врэщалцегося тела выражается формулой Эйлера Г- [са,г 1 . Когда твердое теРис. 1.5 ло движется, имея одну закреплен- ную точку О, то в каидыц момент времени поле мгновенных линейных скоростей его точек такое же, как если бы тело вращалось вокруг некоторой ося с постоянной угловой скоростью, но направление этой оси и величина угловой скорости зависят от выбора момента времени.

Вектор ю = а (1 ) называется вектором мгновенной угловой скорости тела. Прямая, проходицая через точку О в направлении вектора й, называется мгновенной осью вращения тела. Эпитет "мгновенная" означает, что названный вектор харэктериэуег распределение скоростей точек тела лишь для отдельно взятого момента времени. Дця другого момента времени вектор й , вообще говоря, будет инни и по модулю и по направлению. Мгновенная ось вратения тела также изменяется со временем и представляет собой в данный момент времени прямую, проходшцую через неподвижную точку тела, причем скорости точек тела на оси равны нулю. Скользящий вектор а> на мгновенной оси вращения полностью характеризует мгновенное поле сиоростей его точек.

Рассмотрим вращение трлэдра Френе вокруг неиоквимной точки О. Вектор мгновенной угловой скорости триздра Фрэне называется вектором Дарбу. Обозначим его через а = Хй) . Для произвольного вектора й , жестко связанного с триэдром Френе, имеем †" =[а', и ~, а' т. . в частности, — - [ а, г 1 . Выясним расположение вектора Дарбу по а г отношении к триздру Френе. Раалоким вектор а' -ш,т а'.,р 'Ы„,б по базису г, Р,,э . Тогда т-'ф, г ~ = [, ~,7 иг Р аф э, г1 --ю...э й, 7 . Но т = х Р , пзэтомУ аl = О, аЗз = й . Обознач;ъ ы, через х и назовем кручением кривой ~" , данной точке.

Величина, обратная кручению кривой в точке, называется раииуссм вручения кривой в этой точке, / пи Подставляя вектор.1 агар в выражение — -~ф и ], получаем -1угт+1р,и~-мЯ, й ) х ~р, ~л), Подставляя вместо вектора й векторы Г и э, псиучаем соответственно — --Й +к,л — "'з - —.ж Г. 81 Ж Систему формул Р-17, Р--4г ..К,б,,ю--«Р называют формулэыи Фрэне. Из третьей формулы Френелю ~-~~Э 1-б' и (У,Р)=-с. Из коллинеарности векторов„л и 7 следует, что при движении пасла кривой в сторону возрастания 1 соприкасахщаяся плоскость кривой поворачивается около касательной к кривой.

Если Я Р) >О, т.е. ~Х 1 1г , тс вращение соприкасахщейся плоскости происходит в направлении от л к Р и тогда м О. Если ( Я , р )л О, т.е. Я 1 ~ 7 , то врмцение происходит от ь' кЯ и кручение м » О (рис. 1.41. Значит, знак Х половмтелен или отрицателен в зависимости от того, будет ли проекцдя 7 на направление ь' положительна или отрицательна. Отсюда кручение к - +б , где знак плюс выбирается в случае ~э 1 1 и= знак минус - в случае „а147. Вывод. Вектор Дарбу ц.' -,м г + А 3 раскладывается на сумму двух векторов,кг и ~7. Значит, мгновенное вращение трнздра Френе расклавывается на сумму двух вращательных движений 1рис.