Практический курс физики. Основы квантовой физики, страница 2

Первичным актом здесь являетсяпоглощение фотона и ионизация с испусканием электрона. Законсохранения энергии при внешнем фотоэффекте выражаетсяуравнением Эйнштейна.(1.23)hν = АВ+ Тmах ,где Тmах максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона, АВ –работа выхода.Для процесса фотоионизации атома или молекулыT = hν − Ei(1.24)где Т - кинетическая энергия фотоэлектрона, Еi – энергия ионизации.8Работа выхода имеет смысл наименьшей энергии, требуемой дляудаления электрона из металла в вакуум.Если энергия фотона hν << m0e ·с2≈ 0,5 МэВ, то2m0e⋅vmax(1.25)Tmax =,2где vmax – максимальная скорость фотоэлектронов, m0e – масса покояэлектрона.В противном случае следует пользоваться релятивистскимвыражением для кинетической энергии фотоэлектронов.⎛⎞1Tmax = m0e c 2 ⎜− 1⎟,(1.26)⎜ 1 − β2⎟max⎝⎠где βmax = vmax/c.

Если AB << hν, то hv ≈ Tmax .Внешний фотоэффект возможен только в том случае, когдаэнергия фотона больше или, в крайнем случае, равна AВ, т.е.(1.27)hν ≥ AB.Откуда необходимое условие возможности фотоэффекта для длиныволны падающего света записывается в виде(1.28)λ ≤ h⋅c/AB.Наибольшая длина волны, при которой эффект еще наблюдается,называется красной границей фотоэффекта и равна(1.29)λкр = h⋅c/AB.Зависимость фототока I от напряжения между катодом и анодомв установке для изучения фотоэффекта приведена на рис.

1.2.Фототок насыщенияII Н = e ⋅ N& e ,(1.30)гдеN& eчислоIнфотоэлектронов, вырываемыхIн – ток насыщенияиз катода за единицу времени.UЗ – задерживающееНапряжениезадержкинапряжениеUЗ – это тормозящая разностьпотенциалов,необходимая,Uчтобы остановить выбитые UЗэлектроныРис. 1.2.eU З = Tmax(1.31)Законы Столетова для внешнего фотоэффекта:1.Количество электронов, выбиваемых с поверхности катода вединицувремени,а,следовательно,итокнасыщенияпропорциональны интенсивности падающего излучения9N& e ~ Ee(1.32)I H ~ Ee(1.33)2.Максимальная скорость выбитых электронов возрастает сувеличением частоты падающего излучения в соответствии ссоотношениемTmax ~ hν(1.34)Эффект КомптонаЭффект Комптона - упругое рассеяние монохроматическогоэлектромагнитногоизлучениянасвободныхэлектронах,сопровождающееся увеличением длины волны.

Он наблюдается дляфотонов рентгеновского и γ - излучений.Формула Комптона, определяющая изменение длины волнырассеянного излучения, имеет вид:(1.35)λ′ - λ = 2λС⋅sin2θ/2,где λ и λ′ - соответственно, длины волн до и после рассеяния; θ - уголрассеяния; λС - так называемая комптоновская длина волны электрона,равная λС = 2,4⋅10-12 м.rpфrp′фrp ′eθϕРис.1.3.Эффект Комптона представлен на диаграмме рис. 1.3,иллюстрирующей закон сохранения импульса при упругом рассеяниифотонов на свободныхэлектронах.

До столкновения электронrпокоится. Его импульс ре = 0. После столкновения электрон отдачиrr rимеет импульс pe′ ; pф и pф′ - импульсы налетающего и рассеянногофотонов; θ - угол рассеяния фотона; ϕ - угол, под которым летитэлектрон отдачи относительно направления падающего фотона (уголотдачи).В рентгеновском диапазоне длин волн и для γ - излученияэнергия фотонов соизмерима с собственной энергией электрона ε0е =m0е⋅с2 = 0,5 МэВ.

Так как при рассеянии фотонов такой высокойэнергии электрон может приобрести значительную кинетическую10энергию, при рассмотрении теории эффекта Комптона необходимоиспользовать законы релятивистской механики.Если εф и ε′ф энергия фотона, ε0е = m0е⋅с2 и ε′е = me c 2 - энергияэлектрона, соответственно, до и после столкновения, то исходнаясистема уравнений теории упругого столкновения фотона сосвободным электроном включает закон сохранения энергии(1.36)εф + ε0е = ε′ф + ε′e, или hω + m0ec2 = hω′ + mec2,где me = m0e 1 − v2 c2 ,и закон сохранения импульса (рис.1.3)rrrrrv(1.37)pф = рф′ + ре′, или hk = hk ′ + mv ,rrгде hk = hω c , hk ′ = hω′ c .Для частицы с нулевой массой покоя (фотона) энергия и импульссвязаны соотношением Е = ср.

Тогда закон сохранения энергии приметвид22(1.38)cpф + m0ec2 = cpф′ + (cpф′ ) + (m0ec2 ) .Из закона сохранения импульса (1.37) по теореме косинусовполучимr rрe2 = рф′2 + рф2 − 2 рф рф′ = рф′2 + рф2 − 2 рф рф′ cosθВозводя в квадрат закон сохранения энергии в виде:cpф − cpф′ + m0ec2 =(cp′ ) + (m c )(cp ) + (cp′ ) + (m c ) − 2c p2ф2 22ф0e2 22ф2ф0e, получим2pф′ + 2m0ec3 ( pф − pф′ ) = (cpф′ ) + (m0ec2 )2После подстановки значения рe′2 из предыдущего равенства исокращения останется соотношение:(1.39)m0ec( рф − рф′ )= рф рф′ (1 − cos θ)Разделив левую и правую части на m0ecрф рф′ , получимтогда1 11(1 − cosθ)−=рф′ рф m0echhрф′ = ; рф = ,λ′λλ′ − λ =h(1 − cosθ) ,m0ec(1.40)(1.41)(1.42)11или λ′ − λ =2h ⎛ 2 θ ⎞ h= λc = 2,4 ⋅10−12 м - комптоновская длина⎜ sin ⎟;m0ec ⎝2 ⎠ m0ecволны.Если требуется найти скорость электрона отдачи, следуетдобавить еще одно независимое уравнение.

Например, определениекинетической энергии⎛ 1⎞⎟,Т = ε0е ⎜⎜−1(1.43)2⎟1−β⎝⎠2ε0e = m0ec , β = v c .гдеМожно найти скорость(T + 2ε0e )Tv=c.(1.44)T + ε0e1.2.Примеры решения задачЗадача 1.1. Какую мощность излучения имеет Солнце?Излучение Солнца считать близким к излучению абсолютно черноготела. Температура поверхности Солнца Т = 6000К. Радиус Солнца rс =6,95 ⋅108м.Решение. Мощность излучения dФe малого участка поверхностиdS абсолютно черного тела определяется соотношениемdФе = М е0 ⋅ dS ,где энергетическая светимость абсолютно черного тела М е0определяется законом Стефана-БольцманаМ е0 = σ ⋅ Т 4 , σ = 5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К4).Так как температура поверхности Солнца во всех точках одинакова, томощность излучения всей поверхности Солнца площадью S =4π⋅rc2 определяется соотношениемФе = σ⋅Т4⋅4π⋅rc2 = 4,46⋅1036 Вт.Задача 1.2. В каких областях спектра лежат длины волн,соответствующие максимуму спектральной плотности энергетическойсветимости, если источник света: а) спираль электрической лампочки(Т = 3000 К); б) поверхность Солнца (Т=6000К); в) атомная бомба, вкоторой в момент взрыва достигается температура Т=107К? Излучениесчитать близким к излучению абсолютно чёрного тела.12Решение: Согласно закону смещения Вина искомая длина волныbопределяется по формуле λ m = , b = 2,9⋅10-3 м⋅K.TПроизведя вычисления, получим:а) λm = 10-6 м = 1мкм – инфракрасная область;б) λm = 5⋅10-7 м = 0,5мкм - область видимого света;в) λm = 3⋅10-10 м = 0,3 нм - область рентгеновских лучей.Задача 1.3.

В спектре Солнца максимум спектральной плотностиэнергетической светимости приходится на длину волны λm = 0,5 мкм,радиус Солнца rС = 6,95⋅108 м. Приняв, что Солнце излучает какабсолютно черное тело, найти солнечную постоянную. Солнечнойпостоянной называется величина, равная поверхностной плотностипотока энергии излучения Солнца вне земной атмосферы на среднемрасстоянии от Земли до Солнца, r = 1,5⋅1011 м.Решение. По определению поверхностная плотность потокаизлучения, падающего на данную поверхность, то есть энергетическаяосвещенность Ее определяется по формулеEe=dФе/dS,где dФe - поток солнечной энергии излучения, падающий на элементсферической поверхности dS.В силу равномерности излучения Солнца по всем направлениямвеличина освещенности Ее будет во всех точках сферы радиуса rодинакова.Это позволяет определить необходимую мощность излученияСолнца Фе, приходящуюся на всю поверхность сферы rФе =Ее ⋅ S,2где S = 4πr , r - расстояние от Солнца до Земли.С другой стороны, эта мощность определяется согласно законусохранения энергии мощностью теплового излучения Солнца какабсолютно черного тела, имеющего форму сферы радиуса rС.Мощность теплового излучения Солнца ФеС - определяетсяпроизведением энергетической светимости М0еС и площадиповерхности СолнцаФеС = Ме⋅SС,2где SС = 4π rС , rС - радиус Солнца.Мощность излучения постояннаФеС = Фе.Откуда, с учетом выражения для мощности излучения найдем искомуювеличину Еe132⎛r ⎞Eе = M е ⎜ С ⎟ .⎜r ⎟⎝ ⎠Энергетическаясветимостьабсолютночерноготелаопределяется на основании закона Стефана-Больцмана (1.8)M e = σTc4 ,где Тc - температура поверхности Солнца, σ = 5,67⋅10-8 Вт/(м2⋅К4), атемпература излучения - по заданной длине волны, на которуюприходится максимум спектральной плотности энергетическойсветимости, из закона Tc = b/λm,, b = 2,9⋅10-3 м⋅К.Расчетная формула для искомой величины плотности потокаизлучения вблизи Земли в итоге такова24⎛ b ⎞ ⎛ rС ⎞Ee = σ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ = 1,4 кВт/м 2 .⎜ ⎟⎝ λm ⎠ ⎝ r ⎠Задача 1.4.

Электрическая печь потребляет мощность Р =500 Вт. Температура ее внутренней поверхности при открытомнебольшом отверстии диаметром d = 0,05 м равна T = 973 K. Какаячасть потребляемой мощности α излучается стенками?Решение. При установившемся тепловом режиме печи всяпотребляемая ею ежесекундно электрическая энергия Р излучаетсяотверстием и стенкамиР = Фе' + Фе" ,где Фе' , Фе" , - потоки излучения, испускаемые отверстием и стенками``соответственно. В задаче требуется найти α = Фe P .