Практический курс физики. Основы квантовой физики, страница 7
Описание файла
PDF-файл из архива "Практический курс физики. Основы квантовой физики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "физика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 7 страницы из PDF
Найти длинуволны λ рентгеновских лучей, рассеянных в направлениях: а) θ1 = π/2,б) θ2 = π.1.103. Рентгеновские лучи с длиной волны λ0 = 20 пмиспытывают комптоновское рассеяние под углом θ = 90°. Найтиизменение Δλ длины волны рентгеновских лучей при рассеянии, атакже энергию Т и импульс электрона отдачи.1.104. В результате эффекта Комптона фотон при соударении сэлектроном был рассеян на угол θ = 90°.
Энергия рассеянного фотонаε′ф = 0,4 МэВ. Определить энергию εф фотона до рассеяния.1.105. Определить максимальное изменение длины волны прикомптоновском рассеянии: 1) на свободных электронах; 2) насвободных протонах. Массы покоя электронаи протона-31-27соответственно равны: mе0 = 9,11⋅10 кг, mр0 = 1,67⋅10 кг.352.Основы квантовой механики2.1.Основные понятия и законыВолны де БройляВ классической механике свободное движение материальнойrточки характеризуется энергией Е и импульсом p . Движение плоскоймонохроматическойволны характеризуется частотой ω и волновымrвектором k . В квантовой механике оба эти описания являютсяразличными аспектами одного и того же объекта, и связь междувеличинами для свободной частицы устанавливается соотношениямиде Бройляr r 2πrhр = h⋅k, k = , h = ,(2.1)λ2πгде h - постоянная Планка,E = h ⋅ ω = hν ,(2.2)rДля частицы, обладающей импульсом р = p , соотношение (2.1)rдает длину плоской волны λ = 2π / k , , которая называется длинойволны де Бройля для частицы:h 2πhλ= =.(2.3)ppВ релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима соскоростью света в вакуумеrm0 vrrp = mv =v21− 2c(2.4)v2h 1− 2hc .λ= =pm0vСледуя идеям де Бройля движение свободной частицы вдоль осиrх, обладающей энергией Е и импульсом р можно описать уравнениемплоской монохроматической волныΨ( x, t ) = А ⋅ егде А – амплитуда.36−i (ω⋅t −k ⋅ x )= А⋅ е−i( E⋅t − p⋅x )h.(2.5)Скорость распространения дебройлевской волны может бытьнайдена, как скорость перемещения постоянной фазы Et - px = const,т.е.
фазовая скорость будетdx E c 2vфаз = = =(2.6)dt p vСкорость движенияскоростью волн де Бройлячастицыхарактеризуетсягрупповой(2.7)dω.dkСвязь длины волны де Бройля с кинетической энергией Тчастицыа) если v << c2πλ=,2m0Tб) в релятивистском случае2πhсλ=,T (T + 2E0 )vгр = v =где E0 = m0c 2 - энергия покоя частицы.Соотношение неопределенностейПоскольку электрон или любая другая частица обладаетсвойствами волны, то одновременное точное определенииеекоординаты и импульса невозможно. Произведение неопределенностикоординаты на неопределенность соответствующей компонентыимпульса не может быть меньше постоянной Планка:(2.8)Δx ⋅ Δp x ≥ hΔ y ⋅ Δp y ≥ hΔ z ⋅ Δp z ≥ hΔx, Δy , Δz - интервалы координат, в которых локализована частица.Эти соотношения называются соотношениями неопределенностейГейзенберга.Под неопределенностью ΔА физической величины Аподразумевается среднее квадратичное отклонение, вычисляемое поформуле(2.9)ΔA = 〈 ( A − 〈 A〉 ) 2 〉 = 〈 A 2 〉 − 〈 A〉 2 .37Соотношения неопределенностей также справедливы для другихсопряженных пар физических величин (энергия E и время t , моментимпульса L и угловая координата ϕ).Если система, например, находится в нестационарном состояниив течении времени Δt , то энергию системы можно измерить лишь сточностью, не превышающей h Δt , т.е.ΔE ⋅ Δt ≥ h .(2.10)Волновая функция и уравнение ШредингераОсновным уравнением нерелятивистской квантовой механики,описывающим поведение микрочастиц в потенциальном силовом полеявляется уравнение Шредингера.Полное нестационарное (временное) уравнение Шредингераимеет вид.dΨ ( r , t )h2(2.11)ih=−ΔΨ ( r , t ) + U ( r , t )Ψ ( r , t ) ,dt2mгде Ψ(r,t) - полная волновая функция, m - масса частиц, U(r,t) потенциальная энергия, Δ - оператор Лапласа, который в декартовыхкоординатах имеет вид∂2∂2∂2Δ= 2 + 2 + 2.∂x∂y∂zОдномерное нестационарное уравнение Шредингера имеет видdΨ ( x , t )h2 ∂2(2.12)ih=−Ψ ( x , t ) + U ( x, t ) Ψ ( x, t ) ,dt2m ∂x 2где i = − 1 - мнимая единица.
В случае, когда силовое поле, вкотором движется частица, стационарно, то есть функция U не зависитот времени и имеет смысл потенциальной энергии, решение этого(2.12) уравнения можно записать в видеE−i th(2.13)Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) ⋅ e= ψ ( x ) ⋅ e − iω t .Для значительного числа явлений в микромире важно находитьстационарное решение, не содержащее зависимости от времени.
Длястационарных состояний одномерное уравнение Шредингера имеетвидd 2 ψ ( x ) 2m(2.14)+ 2 ( E − U ( x))ψ( x) = 0.dx 2hгде Е – полная энергия, U (x) - потенциальная энергия частицы, m масса частицы. Решение этого уравнения - пси-функция вида38ψ ( x ) = A ⋅ e − ikx ,(2.15)2m( E − U ( x)) .h2Это решение прямого физического смысла не имеет. Следуетиметь ввиду, что волновая функция должна удовлетворятьстандартным условиям: однозначность, конечность, непрерывностьвместе с первой производной. Она удовлетворяет условиюнормировки.где k =2∞∫−∞ ψ( x) dx = 1(2.16)Если выполнить интегрирование по всем возможнымместоположениям частицы, то вероятность превратится в вероятностьдостоверного события, поэтому волновая функция нормирована наединицу.Подынтегральное выражение имеет физический смысл.
Этоплотность вероятности стационарного состояния, которая равна2(2.17)w( x ) = ψ ( x ) = ψ ( x ) ψ * ( x ) ,где ψ* ( x) - комплексно сопряженное значение ψ -функции. Дляодномерного случая вероятность обнаружить частицу в интервале [x;x+dx] определяется формулойdW = w( x )dx(2.18)Для одномерного случая вероятность обнаружить частицу винтервале [a; b] определяется формулойbW ([a; b]) = ∫ | ψ ( x) |2 d x.(2.19)aСредние значения физических величинЕсли известна волновая функция, описывающая состояниечастицы в определенный момент времени, то среднее значение(математическое ожидание) физической величина А, характеризующееповедение частицы, выражается формулойA = ∫ ψ* A ψ dV .(2.20)VДля одномерного случая, если х меняется от 0 до l.lA = ∫ ψ* A ψ dx.(2.21)039Например, среднее значение координаты х микрочастицыl2x = ∫ x ψ dx .0Аналогично, среднее значение х3l2x3 = ∫ x3 ψ dx .02.2.Примеры решения задачЗадача 2.1.
Найти длину волны де Бройля для 1) электрона,летящего со скоростью v = 106 м/с; 2) α -частицей, движущейся соскоростью, равной наиболее вероятной скорости при температуре 0°С(273 К); 3) шарика массой 106 кг, движущегося со скоростью 1 м/с? Вкаком из этих случаев необходимо учитывать волновые свойствачастиц?Решение. Для определения длины волны воспользуемся формулой деhБройля.
λ =p1.Оценим λ e для электрона.o6,62 ⋅ 10 −34−10.λe ==7,3⋅10м=7,3А9,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 1062. Определим λ α для α -частицы (ядра атома гелия, 4 нуклонаmα = 4 ⋅ 1,67 ⋅ 10 −27 кг )hλα =mα vнвнайдем из формулы для наиболее вероятной скорости скорость2 RT2kT=.движения α -частицы: vнв =μmαПодставив это значение, найдем6,62 ⋅ 10−34hλα === 0,93Å .2mαT2 ⋅ 1,38 ⋅ 10−23 ⋅ 1,67 ⋅ 10−27 ⋅ 2,73 ⋅ 1023. Для шарика массой 10-3 кгh 6,62 ⋅ 10−34λш === 6,62 ⋅ 10−21 Å.−3mv10Волновые свойства частиц можно обнаружить в опытах подифракции.
Явление дифракции наблюдается, если длина волны40соизмерима с размерами препятствия. Обнаружить дифракцию дляволн, связанных с движением шарика невозможно, так как шарикявляется макроскопическим объектом и его движение описываетсязаконами классической механики.Задача 2.2. Доказать, что скорость движения нерелятивистскихмикрочастиц v равна групповой скорости vгр волн де Бройля.Решение. Групповая скорость волнdω d (hω) dEvгр ===.dk d (hk ) dpПоскольку E = p 2 2m ,тоdE d ( p 2 2m ) 2 pdp p=== = v = vгр .dpdp2mdp mЗадача 2.3. Используя понятие волны де Бройля применительнок электрону в атоме водорода, вывести постулат Бора о квантованиимомента импульса электрона.Решение.
Покажем, что в стационарной боровской орбитеукладывается целое число длин волн де Бройля2πrhn=, λ=.mvλПоэтому2πr ⋅ mvnhn=, отсюда mvr == nh .h2πЧто и требовалось доказать.Задача 2.4. Во время наблюдения дифракции электронов прирассеянии их от кристалла (опыты Девиссона и Джермера) уголскольжения электронного пучка θ = 30° . Постоянная кристаллическойрешетки d = 3 Å. Пренебрегая преломлением электронных волнопределить энергию электронов при которых наблюдаются два первыхмаксимума отражения.Решение. Угловое положение максимумов при дифракцииэлектронов (как и рентгеновских лучей) определяется с помощьюформулы Вульфа-Бреггов2d sin θ = nλ .Считая длиной волны де Бройля, λ = h m0v = h p, получимnhnh2d sin θ =. Отсюда p =.p2d sin θ41Кинетическая энергия нерелятивистского электрона связана с егоимпульсом соотношениемp2n2h2W==.2m0 8d 2 m0 sin 2 θПринимая n1= 1, n2 = 2, находим энергию212 (6,62 ⋅ 10−34 )= 16,7 эВ.W1 =28(3 ⋅ 10−10 ) 9,1 ⋅ 10−312,5 ⋅ 10−1 ⋅ 1,6 ⋅ 10−1922 (6,62 ⋅ 10−34 )2W2 =8(3 ⋅ 10) 9,1 ⋅10−10 2−31−12,5 ⋅ 10 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19= 66,9 эВ.Задача 2.5.
Определить длину волны де Бройля для движущегосяэлектрона, если известно, что масса m его на 1% больше массы покояm0.Решение.Электронрелятивистский,следовательно,hm0.Таккак, то находимλ=me ==m+0,01m=1,01m000222c ⋅ m − m0v1− 2cскорость электрона ve = с 1 − (m0 m) = 4,2 ⋅ 107 м/с ., а длина волныэлектрона равна λ = 1,7⋅10-11 м = 0,17 Å.2Задача 2.6. Параллельный поток моноэнергетических электроновпадает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью,ширина которой b = 0,1 мм. Определить скорость электрона, еслиизвестно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 50см,ширина центрального дифракционного максимума Δx = 80 мкм .Решение. Так как электроны обладают волновыми свойствами,воспользуемся формулой для дифракции на щели.
Согласно условиюзадачиэлектроны,Aпопадающие на первыйдифракционный максимум,Bотклоняются в пределахbxугла ϕ (рис 2.2).Егограницы–lминимумыпервогопорядка.ЛинейноеРис. 2.2.расстояние между ними Δx . Условие минимума при дифракции от щели bsin ϕ = kλ . Из ΔОАВнайдем tg ϕ = Δx 2l ≈ sin ϕ ≈ ϕ , так как ϕ мал. Следовательно, при k = 142Δx λhh, так как λ =. Отсюда получим= =2l b mvbmv2 hl2 ⋅ 6,62 ⋅10−34 ⋅ 0,5v=== 9 ⋅ 106 м/с .−5−31−4Δx m b 8 ⋅ 10 ⋅ 9,1 ⋅10 ⋅ 10Задача 2.7.