Практический курс физики. Основы квантовой физики, страница 10

Определить коэффициент A.2.65. Электрон находится в возбужденном состоянии,r⎛r ⎞ − 2 r1⎟⎟ ⋅ е ,описываемом радиальной волновой функцией: R (r ) = A⎜⎜1 −2r⎝1⎠58где r1 - радиус первой боровской орбиты. Найти нормировочныйкоэффициент А.2.66. Электрон находится в возбужденном состоянии,r⎛r ⎞ − 2 r1⎟⎟ ⋅ е ,описываемом радиальной волновой функцией: R ( r ) = A⎜⎜1 −2r⎝1⎠где r1 - радиус первой боровской орбиты.

Найти значение r, прикотором плотность распределения вероятности w(r) имеетмаксимальное значение.2.67. Частица массой m находится в одномерной прямоугольнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти энергиючастицы E в стационарном состоянии, описываемом волновойфункцией, пропорциональной sin kx , где k - заданная постоянная, x расстояние от одного края ямы.2.68.

Частица массой m находится в одномерной прямоугольнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти: 1) массучастицы, если ширина ямы l и разности энергий третьего и второгоΔE ; 2) квантовое число nэнергетических уровней равнаэнергетического уровня частицы, если интервалы энергии до соседнихс ним верхнего и нижнего уровней относятся как η : 1 , где η = 1,4 .2.69. Частица находится в основном состоянии в одномернойпрямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенкамишириной l.

Найти вероятность W обнаружения частицы в областиl 3 < x < 2l 3 .2.70. Частица массой m находится в основном состоянии водномерной прямоугольной потенциальной ямес бесконечновысокими стенками. Максимальное значение линейной плотностивероятности нахождения частицы равно wmax. Найти ширину ямы l иэнергию частицы в этом состоянии.2.71. Электрону в потенциальной яме шириной l отвечаетволновое число k = πn l , n = 1, 2, 3...

. Используя связь энергииэлектрона E с волновым числом k получить выражение длясобственных значений энергии En .2.72. Частица находится в потенциальной яме с бесконечновысокими стенками. Найти отношение разности соседнихэнергетических уровней к энергии частицы в трех случаях: 1) n = 3;2) n = 10; 3) n → ∞ . Пояснить физический смысл полученныхрезультатов.2.73. Электрон находится в прямоугольной потенциальной яме сбесконечно высокими стенками шириной l = 0,5 нм. Найти (в эВ)наименьшую разность ΔEmin энергетических уровней электронов.592.74. Собственная функция, описывающая состояние частицы,имеет вид ψ n ( x ) = C sin (nπx l ) . Используя условия нормировки,определить постоянную С.2.75. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокойпотенциальнойямыможнозаписатьввидеikx−ikx2ψ ( x ) = C1e + C 2 e , где k = 2mE h .

Используя граничные условияи условия нормировки определить 1) коэффициенты C1 и C 22) собственные значения энергии En 3) выражение для собственнойнормированной ψ -функции.2.76. В одномерной потенциальной яме шириной l находитсяэлектрон. Вычислить вероятность W обнаружения электрона на первомэнергетическом уровне в интервале l/4, равноудаленном от стенок ямы.2.77. Вычислить отношение вероятностей W1 W2 нахожденияэлектрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале l/4,равноудаленном от стенок ямы.2.78.

Электрон находится в прямоугольной потенциальной яме сбесконечно высокими стенками шириной l . Определить среднеезначение координаты электрона (0 < x < l ) .2.79. Зная решениеуравнения Шредингера для низкогопотенциальногобарьераψ1 ( x ) = A1eik1x + B1e − ik1x , ψ 2 ( x ) = A2e − k2 xопределить из условия непрерывности ψ -функций и их производныхна границе барьера отношение амплитуд B1 A1 и A2 A1 .2.80.

Зная отношение амплитуд B1 A1 = (k1 − k2 ) (k1 + k2 ) дляволны, отраженной от барьера и A2 A1 = 2k1 (k1 + k2 ) для проходящейволны, найти выражения для коэффициентаотражения R икоэффициента прохождения D.o2.81. На пути электрона с длиной волны де Бройля λ1 = 1Aнаходится потенциальный барьер высотой U 0 = 120 эB . Определитьдлину волны де Бройля λ 2 после прохождения барьера.2.82. Электрон с энергией E = 100 эВ падает на потенциальныйбарьер высотой U 0 = 64 эВ . Определить вероятность W того, чтоэлектрон отразиться отIU(x)IIбарьера.2.83.Определитькоэффициент преломленияволн де Бройля на границеTпотенциальнойступени(рис. 2.10).

КинетическаяU060x0Рис. 2.10.энергия протонов T = 16 эВ , а высота потенциальной ступени U 0 = 9 эВ .2.84. Коэффициент отражения протона от потенциальногобарьера R = 2,5 ⋅ 10−5 . Определить, какой процент составляет высотабарьера U 0 от кинетической энергии Т подающих на барьер протонов.2.85.Вывестиформулусвязывающегокоэффициентпреломления n на граница низкого потенциального барьера икоэффициент отражения R от него.2.86. Электрон с энергией E = 10 эВ падает на прямоугольныйпотенциальный барьер.

Определить высоту барьера U 0 , при которойпоказатель преломления волн де Бройля n численно равенкоэффициенту отражения R.2.87. Кинетическая энергия электрона в два раза превышаетвысоту потенциального барьера. Определить коэффициент отраженияR и коэффициент прохождения D электронов для барьера.2.88.

Коэффициент прохождения электронов через низкийпотенциальный барьер равен коэффициенту отражения D = R.Определить, во сколько раз кинетическая энергия Т электронов большевысоты потенциального барьера U 0 .2.89.Вывестиформулу,связывающуюкоэффициентпрохождения D электронов через потенциальный барьер икоэффициент преломления n волн де Бройля.2.90. Коэффициент прохождения протонов через потенциальныйбарьер D = 0,8. Чему равен показатель преломления n волн де Бройляна границе барьера?2.91.

Вычислить коэффициент прохождения D электронов сэнергией E = 100 эВ через потенциальныйбарьер с высотойU 0 = 99,75 эВ .2.92. Для областей I и II высокого потенциального барьера (см.рис.2.6)волновыефункцииимеютвидik1x− ik1x− kxψ1 ( x ) = A1e + B1e , ψ 2 ( x ) = A2e .Используя непрерывность ψ функций и их первых производных на границе барьера, найтиотношения амплитуд A2 A1 .2.93. Электрон проходит через прямоугольный потенциальныйбарьер шириной d = 0,5 нм. Высота барьера больше энергии электронана 1%. Вычислить коэффициент прозрачности D для случаев1) E = 10 эВ ; 2) E = 100 эВ .2.94.

Ширина прямоугольного барьера. d = 0,2 нм. РазностьэнергийU 0 − E = 1 эВ . Во сколько раз изменится вероятность61прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастетв 10 раз?2.95. При какой ширине d прямоугольного потенциальногобарьера коэффициент прозрачности для электронов D = 0,01. Разностьэнергий U 0 − E = 10 эВ .2.96. Электрон с энергией Е движется в положительномнаправлении оси х. При каком значении U 0 − E , выраженном в эВкоэффициент прозрачности D = 0,001, если ширина барьера d = 0,1 нм?2.97.

Электрон с энергией E = 9 эВ движется в положительномнаправлении оси х. Оценить вероятность W того, что электрон пройдетчерез потенциальный барьер, если его высота U 0 = 10 эВ и ширинаd = 0,2 нм.2.98. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширинуd = 0,1 нм. При какой разности энергий U 0 − E вероятностьпрохождения электрона через барьер W = 0,99.623.

Основы квантовой физики атомов3.1.Основные понятия и законыТеория Бора для атома водорода и водородоподобных ионовПервый постулат Бора: существуют некоторые стационарныесостояния атома водорода, находясь в которых он не излучает энергии.Этим стационарным состояниям соответствуют вполне определенные(стационарные) орбиты, по которым движется электрон.Второй постулат Бора: при переходе атома из одногостационарного состояния в другое испускается или поглощается квантэнергии. Излучение происходит при переходе электрона в атоме изсостояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией(3.1)Еn - Еm = ΔЕ = hν.Третий постулат Бора: в стационарном состоянии атома, когдаэлектрон находится на с орбите с энергией En, момент импульсаэлектрона принимает дискретные значения, удовлетворяющиеусловию:(3.2)Ln = mvr = nh , где n = 1,2,3,…Здесь m – масса электрона, v - скорость электрона, r - радиус егоорбиты, n - главное квантовое число (номер энергетического уровня),h - постоянная Планка.Целое число n равно количеству длин волн де Бройля дляэлектронов, укладывающихся на длине стационарной орбиты, т.е.отношению длины окружности к длине волны де Бройля.(3.3)2πr 2πrmv mvr=== n.hλhВторой закон Ньютона для электрона в атоме или ионе с Z ≥ 1+(He Z=2, Li++ Z=3) имеет вид(3.4)Ze 2mvn2,F==rn4πε 0 rn2Из (3.2) и (3.4) получим энергию электрона, находящегося на n-ойборовской орбите:4(3.5)mZ 2 e 1En = − 2 2 ⋅ 2 .8ε 0 h nСкорость электрона, находящегося на n-ой боровской орбите:63Ze 1vn =⋅ .2ε 0 h n(3.6)ε0h2(3.7)2Радиус орбитыrn =2⋅ n2.πmZ eОбобщенная сериальная формула Бальмера-Ридберга⎛ 111⎞= Z 2 Rλ ⎜ 2 − 2 ⎟⎟⎜nλ⎝ f ni ⎠(3.8)⎞⎛11ν = Z 2 Rν ⎜ 2 − 2 ⎟ ,⎟⎜n⎝ f ni ⎠где Rλ = 1,097 ⋅ 107 м −1 , Rν = Rλ c = 3,288 ⋅ 1015 с −1 - постоянные Ридберга, ni– номер энергетического уровня, с которого электрон переходит вспектре испускания, nf - номер энергетического уровня, на которыйэлектрон переходит в спектре испускания (nf < ni).В атоме водорода переход на энергетический уровень n = 1 –соответствует серии Лаймана, n = 2 - серии Бальмера, n = 3 - серииПашена, n = 4 - серии Бреккета (рис.