Практический курс физики. Основы квантовой физики, страница 9

На пути электрона с длиной волны де Бройляoλ = 1,5 A находится потенциальный барьер высотой U0 = 40 эВ.Определить длину волны де Бройля после прохождения барьера.Решение. Движение электронов в направлении х разбиваем надве области. В области I х < 0 U (x)= 0, поэтому электрон движется каксвободная частица. Уравнение Шредингера в области I имеет видψ1′′ + k12 ⋅ ψ1 = 0 ,oгдеk1 = 2mE h 2 = 2π λ1 , λ = 1,5 A . Отсюда найдем энергиюэлектрона2(4π 2 h 26,62 ⋅ 10 −34 )h2=== 66,9эВ .E=2mλ21 2mλ21 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 ⋅ (1,5 ⋅ 10 −10 )2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19Для области II х > 0 U (x) = U0 уравнение Шредингера имеет видψ′2′ + k22ψ 2 = 0, где k2 = 2m( E − U 0 ) h 2 = 2π λ 2 .

Отсюда найдемh2πhλ2 ===2 m( E − U 0 )2 m( E − U 0 )=6,62 ⋅ 10−34o2 ⋅ 9,1 ⋅ 10−31 (66,9 − 40) ⋅ 1,6 ⋅ 10−19= 2,37 A .Задача 2.17. Поток моноэнергетических электронов с энергией Е= 149 эВ падает на высокий прямоугольный потенциальный барьербесконечной ширины высоты U0 = 150 эВ (см. рис 2.6). Рассчитатьотносительную вероятность нахождения электрона на расстояниях:ооооx1 = 1А, x1 = 1А, x2 = 5 А, x3 = 10 А от границы барьера.Решение. Оценим относительную вероятность обнаружениячастицы в области II при указанных в условиях задачи значениях х.рассчитываетсяпоформулеОтносительнаявероятность−2 k 2 х222| ψ 2 | a2 = e, где k2 = 2m(U 0 − E ) h .53При заданной разности U0 – Е = 1 эВ = 1,6 ⋅10-19 Дж иm = 9,1⋅10-31 кг получим:оx1 = 1А; e − 2 k2 х1 = e −1, 028 = 0,358оx2 = 5 А; e − 2 k2 х2 = e −5, 2 = 0,005оx3 = 10 А; e −2 k2 х3 = e −10, 28 = 3,43 ⋅ 10 −5.С увеличением х вероятность обнаружения частицы в области IIэкспоненциально убывает.2.3.Задачи для самостоятельного решения2.18.

Вычислить длину волны де Бройля электрона, движущегосясо скоростью v = 7,4 ⋅ 108 см/с .2.19. Найти отношения длин волн де Бройля электрона ипротона, прошедших ускоряющую разность потенциалов U = 1000B .2.20. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциаловoU 0 = 200 B имеет длину волны де Бройля λ = 0,0202 A . Найти массучастицы, если известно, что ее заряд численно равен заряду электрона.2.21. Вычислить длины волн де Бройля электрона λ1 , протона λ 2и атома урана 238 U λ 3 , имеющих кинетическую энергию T = 100 эВ.2.22.

Какую энергию ΔE необходимо дополнительно сообщитьoэлектрону, чтобы его длина волны де Бройля уменьшилась от λ1 = 1,0 Aoдо λ 2 = 0,5 A .2.23. На грань кристалла никеля падает пучок электронов.Кристалл поворачивают так, что угол скольжения меняется. Когда этотугол равен θ = 64° , наблюдается максимальное отражение электронов,соответствующее максимуму первого порядка. Приняв расстояниеoмежду атомными плоскостями d = 2 A , определить скоростьэлектронов.2.24. При увеличении энергии электрона на ΔE = 200 эВ егодлина волны де Бройля изменилась в η = 2 раза.

Найтипервоначальную длину волны электрона.2.25. Найти длину волны де Бройля молекул водорода,движущихся с наиболее вероятной скоростью в газе при температуреТ = 20°С.542.26. Протон с длиной волны λ 2 = 1,7пм упруго рассеялся подуглом 90° на первоначально покоившейся частице, масса которой в n =4 больше массы протона. Определить длину волны λ1 рассеянногопротона.2.27. Поток моноэнергетических электронов падает нормально надиафрагму с узкой щелью шириной b = 2 мкм .

Найти скоростьэлектронов, если на экране, расположенном от щели на расстоянииl = 50 смширина центрального дифракционного максимумаΔx = 0,36 мм .2.28. Найти кинетическую энергию электронов Т, падающихнормально на диафрагму с двумя узкими щелями, если на экране,отстоящем от диафрагмы на l = 75 см расстояние между соседнимимаксимумами Δx = 7,5 мкм .

Расстояние между щелями d = 25 мкм.2.29. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает подуглом скольжения θ = 30° на естественную грань монокристаллаалюминия.Расстояниемеждусоседнимикристаллическимиплоскостями, параллельными этой грани монокристалла, d = 0,2 нм.При каком ускоряющем напряжении U0 наблюдается максимумзеркального отражения? Известно, что следующий максимумзеркального отражения возникает при увеличении ускоряющегонапряжения в η = 2,25 раза.2.30. Пучок электронов с кинетической энергией Т = 180 эВпадает нормально на поверхность монокристалла никеля.

Внаправлении, составляющем угол α = 55° нормалью к поверхности,наблюдается максимум отражения четвертого порядка. Найтимежплоскостное расстояние d, соответствующее этому отражению.2.31. Электрон движется по окружности радиуса R = 0,5 см воднородном магнитном поле с индукцией В = 8 мТл. Определитьдлину волны де Бройля для электрона.2.32. Определить длину волны де Бройля для электронанаходящегося на второй орбите атома водорода.2.33.

С какой кинетической энергией движется электрон, еслидлина волны де Бройля равна его комптоновской длине волны?2.34. Релятивистская частица с массой m движется скинетической энергией T. Найти длину волны де Бройля частицы.2.35. Вычислить волну де Бройля релятивистских электронов,подлетающих к катоду рентгеновской трубки, если длина волныкоротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равнаλ к = 10 пм .552.36. При каких значениях кинетической энергии электрона ипротона ошибка в вычислении длины волны де Бройля понерелятивистской формуле не превышает 1%?2.37.

Пучок электронов, ускоренный разностью потенциаловU 0 = 133B падает под углом θ = 45° на естественную граньмонокристалла серебра. При этом вертикально отраженный пучокобразует максимум третьего порядка. Межплоскостное расстояниеod = 2 A . Найти внутренний потенциал серебра. Внутренний потенциалкристалла U 0 = Aвых е .2.38. Какова энергия нейтрона Т, имеющего длину волныoλ = 2 A ? При какой температуре T1 его энергия при тепловомравновесии имела бы эту величину?2.39. Оценить кинетическую энергию, которой должны обладатьна выходе из ускорителя электроны, для того, чтобы они могли вэкспериментах по рассеянию эффективно использоваться дляисследования внутренней структуры объектов с линейными размерамиoпорядка 1) l ≈ 1A (атом), 2) λ = 10 −15 м (атомное ядро).

Во второмслучаесчитать,чтоэлектронрелятивистский,тоестьhc.λ=T (T + 2m0c 2 )2.40.Вопытахподифракцииэлектроновнаполикристаллической фольге найдено, что диаметр дифракционногокольца, соответствующего отражению первого порядка от плоскостей смежплоскостным расстоянием d, равен D = 3 см. Расстояние от фольгидо экрана l =15 см. Энергия электронов равна Т = 200 эВ. Найтивеличину d.2.41.

Пучок электронов с энергией Т проходит через тонкуюполикристаллическую золотую фольгу, а затем попадает нафотопластинку. Области почернения на пластинке имеют формуконцентрических колец с центрами на оси пучка. Рассчитать радиусыпервого и второго колец, если расстояние от фольги до пластинкиl = 10 см, d = a 2 , где постоянная решетки a = 2,88 ⋅ 10 −10 м .2.42. Оценить наименьшие ошибки с которыми можноопределить скорость электрона Δv1 , протона Δv2 и шарика Δv3массой m = 1 мг,если их координаты установлены снеопределенностью Δx = 1 мкм .2.43.

Оценить неопределенность скорости электрона Δ v в атомеводорода, полагая размер атома l = 0,1 нм, Δx ≈ l 2 . Сравнить56полученное значение Δ v со скоростью электрона v1 на первойборовской орбите2.44. В некоторый момент область локализации свободногоэлектрона Δx0 = 0,1 нм . Оценить ширину области локализации этогоэлектрона Δx спустя промежуток времени t = 1c.

Масса электронаm = 9,1 ⋅ 10−31 кг.2.45. Во сколько раз длина волны де Бройля λ меньшенеопределенности ее координаты Δx , которая соответствуетотносительной неопределенности импульса в 1%.2.46. Предполагая, что неопределенность координатыΔxдвижущейся частицы равна длине волны де Бройля λ , определитьотносительную неопределенность импульса Δp p этой частицы.2.47. Оценить, имеет ли смысл понятие траектории электрона вкамере Вильсона, летящего со скоростью v = 1 км/с , если толщинаследа Δx ≈ 10 −1 мм .2.48. Оценить минимальную кинетическую энергию Тminэлектрона, локализованного в области размером l = 0, 1 нм.2.49.

Электрон с кинетической энергией Т = 10 эВ локализован вобласти l = 0, 1 мкм. Найти относительную неопределенностьскорости электрона. Считать Δx = l 2 .2.50. Оценить кинетическую энергию нуклона в ядре, полагаярадиус ядра r ≈ 10 −13 cм .2.51. Частица массы m локализована в области размером l.Оценить кинетическую энергию T частицы, при которой ееотносительная неопределенность будет около 0,01.2.52. Используя соотношение неопределенности ΔxΔp ≈ hоценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода.Принять Δx ≈ l 2 , где линейный размер атома l = 0, 1 нм .2.53. Приняв, что минимальная энергия нуклона в ядреЕ = 10 МэВ, оценить линейные размеры ядра.2.54. Атом испустил фотон с длиной с длиной волныλ = 0,58 мкм за время τ = 10−8 c . Оценить неопределенность Δx скоторой можно установить координату фотона в направлении егодвижения, а также относительную неопределенность Δλ λ его длиныволны.2.55. Типичное время жизни τ возбужденных ядер имеетпорядок 10−12 c .

Найти неопределенность энергии ΔE (в МэВ)испускаемых γ - лучей.572.56. Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеетотносительную неопределенность кинетической энергии ΔT T .Оценить, во сколько раз неопределенность координаты Δx такойчастицы больше ее волны де Бройля λ .2.57.

Оценить относительную ширину спектральной линииΔω ω , если время жизни атома в возбужденном состоянии τ ≈ 10−8 c , адлина волны излучаемого фотона λ = 0,6 мкм .2.58. Написать стационарное уравнение Шредингера длялинейного гармонического осциллятора. Учесть, что сила,возвращающая частицу в равновесие F = −bx , где b - коэффициентпропорциональности, х - смещение.2.59. Написать уравнение Шредингера для свободного электрона,движущегося в положительном направлении оси х со скоростью v.2.60. Основное состояние электрона в электростатическом полеядра атома водорода описывается радиальной волновой функцией−rr1R(r ) = A ⋅ e , где A - некоторая постоянная, r1 - первый боровскийрадиус. Найти расстояние r от электрона до ядра, при которомплотность вероятности w(r) имеет максимальное значение.2.61.

Состояние частицы описывается волновой функциейψ(x) = A⋅exp(–α⋅x2), где α - положительная постоянная. Найтинормировочный коэффициент A.2.62. Найти нормировочный коэффициент A для волновойфункции ψ(x) = A⋅sin(k⋅x), которая удовлетворяет граничным условиямψ(a) = ψ(b) = 0.2.63. Основное состояние электрона в электростатическом полеядраатомаводородаописываетсярадиальнойволновойфункцией R ( r ) = A ⋅ exp (− r r1 ), где A - некоторая постоянная,4π ⋅ ε 0 h 2r1 =- первый боровский радиус. Найти вероятностьm ⋅ å2обнаружения электрона в области r ≥ 2r1.2.64. Радиальная волновая функция некоторой частицы имеетA⎛ r⎞вид R (r ) = exp⎜ − ⎟ , где r - расстояние от этой частицы до силовогоr⎝ a⎠центра, A и a - постоянные.