1611672539-591dd94cca74ae9dacd3369a4980d323 (Гончаров - Лекции (2018)), страница 5
Описание файла
PDF-файл из архива "Гончаров - Лекции (2018)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 5 страницы из PDF
Ïóñòü λ = α + iβ ∈ C β 6= 0 ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ. Òîãäà ñóùåñòâóþò âåêòîðû a, b ∈ V òàêèå, ÷òî(a, a) = (b, b) = 1, (a, b) = 0 èϕ(a) = αa − βb,ϕ(b) = βa + αb.Êðîìå òîãî, L(a, b)⊥ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ϕ èîãðàíè÷åíèå ϕL(a,b) íîðìàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâàL(a, b)⊥.⊥Òåîðåìà 1(êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöûîïåðàòîðà åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà).íîðìàëüíîãîÑóùåñòâóåò òàêîé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñïðîñòðàíñòâà V , â êîòîðîì ìàòðèöà îïåðàòîðàâèäãäåA1 0 . . . 0 0 A... 0 2[ϕ]f1,...,fn = ,.
. . . . . . . . . . . . . . .00 . . . AkAi = (λi)èëèAi =αi −βiβi αi áëîêè ðàçìåðà 1 × 1 èëè 2 × 2 (λi, αi, βi ∈ R).!f1, . . . , fnϕèìååò3.11 Cèììåòðè÷åñêèå è ýðìèòîâû îïåðàòîðû.Îïåðàòîð ϕ íà åâêëèäîâîì (óíèòàðíîì)ïðîñòðàíñòâå V íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì (ýðìèòîâûì),åñëèÎïðåäåëåíèå.ϕ = ϕ∗.Ìàòðèöà A ∈(ýðìèòîâà), åñëè A = A| (A = Ā|).Îïðåäåëåíèå.Mn(F ) ñèììåòðè÷åñêàÿËåììà 1. Ïóñòü e1, . . . , en îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â V . Òîãäà1. Îïåðàòîð ϕ ñèììåòðè÷åñêèé(ýðìèòîâ) ⇔ ìàòðèöà [ϕ]e ,...,e ñèììåòðè÷åñêàÿ (ýðìèòîâà).2. Åñëè ϕ è ψ ñèììåòðè÷åñêèå (ýðìèòîâû) è α ∈ R, òîîïåðàòîðû ϕ + ψ è αϕ òîæå ñèììåòðè÷åñêèå (ýðìèòîâû).3. Åñëè ϕ è ψ ñèììåòðè÷åñêèå (ýðìèòîâû) òî ϕψ ñèììåòðè÷åñêèé (ýðìèòîâ) ⇔ ϕψ = ψϕ.4. Åñëè îïåðàòîð ϕ ñèììåòðè÷åñêèé (ýðìèòîâ), òî Spec(ϕ) ⊂ R.1nÒåîðåìà1.(êàíîíè÷åñêèéâèäñèììåòðè÷åñêîãî/ýðìèòîâà îïåðàòîðà)ìàòðèöûÏóñòü V åâêëèäîâî (óíèòàðíîå) ïðîñòðàíñòâî, ϕ : V → V ñèììåòðè÷åñêèé (ýðìèòîâ) ëèíåéíûé îïåðàòîð.
Òîãäà âíåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå f1, . . . , fn ïðîñòðàíñòâà V[ϕ]f1,...,fn = diag(λ1, . . . , λn),λi ∈ R.Óïðàæíåíèå.òåîðåìû 1.Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå ê óòâåðæäåíèþÓïðàæíåíèå.Íàéäèòå êàíîíè÷åñêèé âèä è ñîîòâåòñòâóþùèéîðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ, çàäàííîãî âñòàíäàðòíîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ìàòðèöåéA=. .
. . . . 2 1 ... 11 2 . . . 11 1 ... 23.12 Îðòîãîíàëüíûå è óíèòàðíûå îïåðàòîðû.Îïåðàòîð ϕ íà åâêëèäîâîì (óíèòàðíîì)ïðîñòðàíñòâå V íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì (óíèòàðíûì),åñëèÎïðåäåëåíèå.ϕ∗ϕ = id .(∗) ÷àñòíîñòè, (∗) ⇒ ϕ íåâûðîæäåííûé ⇒ ϕ−1 = ϕ∗.Îïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà A ∈ Mn(R)(C) íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé(óíèòàðíîé), åñëè A| = A−1 (Ā| = A−1).Ëåììà 1.Ïóñòü V åâêëèäîâî (óíèòàðíîå) ïðîñòðàíñòâî, ϕ : V → V ëèíåéíûé îïåðàòîð. Òîãäà ÑÓÝ:1.
Îïåðàòîð ϕ îðòîãîíàëüíûé (óíèòàðíûé);2. Ìàòðèöà îïåðàòîðà ϕ â ëþáîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñåîðòîãîíàëüíàÿ (óíèòàðíàÿ).(ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îðòîãîíàëüíîãîîïåðàòîðà).Ïóñòü V åâêëèäîâî (óíèòàðíîå) ïðîñòðàíñòâî,ϕ : V → V íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå. Òîãäà ÑÓÝ:1. Îïåðàòîð ϕ îðòîãîíàëüíûé (óíèòàðíûé);2. (ϕ(u), ϕ(v)) = (u, v) äëÿ ëþáûõ u, v ∈ V .Ïðåäëîæåíèå1.(êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöû óíèòàðíîãîîïåðàòîðà).Ïóñòü V óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî, ϕ : V → V óíèòàðíûéëèíåéíûé îïåðàòîð.
Òîãäà â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîìáàçèñå VÑëåäñòâèå1.[ϕ] = (λ1, . . . , λn),λi ∈ C.Âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ óíèòàðíîãî îïåðàòîðà êîìïëåêñíûå÷èñëà, ìîäóëü êîòîðûõ ðàâåí 1.(êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöû îðòîãîíàëüíîãîîïåðàòîðà).Ïóñòü V åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, ϕ : V → V îðòîãîíàëüíûéëèíåéíûé îïåðàòîð. Òîãäà â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîìáàçèñå V!cos α − sin α[ϕ] = (A1, . .
. , Ak ), Ai = ±1 èëè Ai =sin α cos αäëÿ íåêòîòîðãî α ∈ [0, 2π).Âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðà êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ìîäóëü êîòîðûõ ðàâåí 1.Ñëåäñòâèå 2.Óïðàæíåíèå.Ïóñòü ϕ ëèíåéíûé îïåðàòîð íà åâêëèäîâîì (óíèòàðíîì)ïðîñòðàíñòâå V , e1, .
. . , en îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ V .Äîêàæèòå, ÷òî ϕ îðòîãîíàëüíûé (óíèòàðíûé) òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà ϕ(e1), . . . , ϕ(en) îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.3.13 Ïîëîæèòåëüíûå è íåîòðèöàòåëüíûåîïåðàòîðû. Êâàäðàòíûé êîðåíü èçíåîòðèöàòåëüíîãî îïåðàòîðà. åâêëèäîâî (óíèòàðíîå) ïðîñòðàíñòâî,ϕ ñèììåòðè÷åñêèé (ýðìèòîâ) ëèíåéíûé îïåðàòîð íà V .Îïðåäåëåíèå.
Îïåðàòîð ϕ íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííûì (ïîëîæèòåëüíûì), åñëè(ϕ(v), v) > 0 äëÿ ëþáîãî v ∈ V , v 6= 0.Îáîçíà÷åíèå: ϕ > 0.Îïðåäåëåíèå. Îïåðàòîð ϕ íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîïîëóîïðåäåëåííûì (íåîòðèöàòåëüíûì), åñëè(ϕ(v), v) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî v ∈ V .VÎáîçíà÷åíèå: ϕ ≥ 0.Ïóñòü ϕ ñèììåòðè÷åñêèé (ýðìèòîâ) îïåðàòîð.• ϕ ïîëîæèòåëåí⇐⇒âñå åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿïîëîæèòåëüíû;• ϕ íåîòðèöàòåëåí⇐⇒âñå åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿíåîòðèöàòåëüíû.Ëåììà 1.Òåîðåìà (Êâàäðàòíûéîïåðàòîðà).êîðåíüèçíåîòðèöàòåëüíîãîÏóñòü ϕ íåîòðèöàòåëüíûé ñèììåòðè÷åñêèé (ýðìèòîâ) îïåðàòîðíà åâêëèäîâîì (óíèòàðíîì) ïðîñòðàíñòâå V . Òîãäà ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííûé íåîòðèöàòåëüíûé ñèììåòðè÷åñêèé (ýðìèòîâ)îïåðàòîð ψ íà V òàêîé, ÷òîψ 2 = ϕ.3.14 Ïîëÿðíîå ðàçëîæåíèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.
åâêëèäîâî (óíèòàðíîå) ïðîñòðàíñòâîϕ : V → V ëþáîé ëèíåéíûé îïåðàòîð.VÒåîðåìà(î ïîëÿðíîì ðàçëîæåíèè).Îïåðàòîð ϕ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäåϕ = τ ◦ ψ,ãäå ψ îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûé íåîòðèöàòåëüíûéñèììåòðè÷åñêèé (ýðìèòîâ) îïåðàòîð, τ îðòîãîíàëüíûé(óíèòàðíûé) îïåðàòîð.Ãëàâà 4. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû.4.1 Ìàòðèöà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû.
Ïðèâåäåíèåêâàäðàòè÷íîé ôîðìû ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.Îïðåäåëåíèå.Îäíîðîäíûé ìíîãî÷ëåíf = f (X) = f (x1, x2 . . . , xn) ∈ Rñòåïåíè 2 íàçûâàåòñÿêâàäðàòè÷íîéôîðìîé.Ïóñòü f = f (X) = i,jP αij xixj , αij ∈ R. Òàê êàê xixj = xj xi òî ìîæíîñ÷èòàòü, ÷òî αij = αji.Ìàòðèöà A = (αij ) íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåéêâàäðàòè÷íîé ôîðìû, ñòðîêà X = (x1, x2, . . . , xn) - íåèçâåñòíûå.Ïðè ýòîìXf (x1, . . . , xn) =αij xixj = XAX |, ìàòðèöà A ñèììåòðè÷åñêàÿ.Îïðåäåëåíèå.ijÏóñòü Y = (y1, . . .
, yn) íîâûå ïåðåìåííûå è x1 = t11y1 + t21y2 + . . . + tn1yn...x = t y + t y + . . . + t y .nnn n1n 12n 2(1)ãäå T = (tij ) ∈ Mn(R) îáðàòèìàÿ ìàòðèöà. Òîãäà (1) ìîæíîçàïèñàòü êàê X = Y T çàìåíà íåèçâåñòíûõ â ôîðìå f .Ëåììà 1. Ïóñòü f = f (X) = XAX | êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà, X =Y T çàìåíà ïåðåìåííûõ.
Òîãäà f (Y ) = Y BY |, ãäå B = T AT |.Ðàíã ìàòðèöû A ðàâåí ðàíãó ìàòðèöû B = T AT |äëÿ ëþáîé íåâûðîæäåííîé çàìåíû ïåðåìåííûõ T . Ýòî ÷èñëîíàçûâàåòñÿ ðàíãîì êâàäðàòè÷íîé ôîðìû r(f ).Ñëåäñòâèå.Ôîðìà f (X) = α1x21 + α2x22 + . . . + αnx2n íàçûâàåòñÿäèàãîíàëüíîé. Åñëè âñå αi ∈ −1, 0, 1 òî ôîðìà f (X) íàçûâàåòñÿíîðìàëüíîé.Îïðåäåëåíèå.Òåîðåìà (êàíîíè÷åñêèé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû.)Äëÿ ëþáîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû f (X) = XAX | íàéäåòñÿîðòîãîíàëüíàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ X = Y Q, ÷òî f (Y ) = Y DY | äèàãîíàëüíàÿ ôîðìà.4.2 Çàêîí èíåðöèè êâàäðàòè÷íûõ ôîðì.Ïóñòü f (X) = XAX | = Pij αij xixj êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà. Òîãäàíàéäåòñÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ X = Y T , ïðèâîäÿùàÿ ôîðìó f êäèàãîíàëüíîìó âèäó2f (y1, .
. . , yn) = α1y12 + . . . + αsys2 − αs+1ys+1− . . . αr yr2, ãäå αi > 0, r ðàíã ôîðìû f .Îïðåäåëåíèå. ×èñëî s íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì èíäåêñîìèíåðöèè, ÷èñëî r − s îòðèöàòåëüíûì èíäåêñîì èíåðöèè, ÷èñëîσ = s − (r − s) = 2s − r ñèíãàòóðîé ôîðìû f .Çíàÿ s è r ìîæíî îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî ïîëîæèòåëüíûõ èîòðèöàòåëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ â äèàãîíàëüíîé âèäå ôîðìû f .À ÷òî áóäåò, åñëè ïðèâåñòè ôîðìó f ê äèàãîíàëüíîìó âèäó äðóãèìïðåîáðàçîâàíèåì?Òåîðåìà 1. Ñèãíàòóðà ôîðìû íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ïðèâåäåíèÿê äèàãîíàëüíîìó âèäó..
