1611672539-591dd94cca74ae9dacd3369a4980d323 (Гончаров - Лекции (2018))

IIÑÅÌÅÑÒÐ,Åâãåíüåâè÷Ãîí÷àðîâÌàêñèìÎñíîâíûå òåìû:• Êîëüöà ñ îäíîçíà÷íûì ðàçëîæåíèåì íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè Ôàêòîðèàëüíûå êîëüöà; Åâêëèäîâû êîëüöà; Ôàêòîðèàëüíîñòü êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ îò íåñêîëüêèõïåðåìåííûõ• Ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû Ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû è ôîðìóëûÂèåòà; Ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè êîðíåé ìíîãî÷ëåíà; Ðåçóëüòàíò è äèñêðèìèíàíò; Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðûËèíåéíûå îïåðàòîðû íà âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ; Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, êîðíåâîå ðàçëîæåíèå; Æîðäàíîâî ðàçëîæåíèå ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ• Ëèíåéíûåîïåðàòîðû íà åâêëèäîâûõ/óíèòàðíûõïðîñòðàíñòâàõ Áèëèíåéíûå ôîðìû; Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íàä R è íàä C; Íîðìàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ; Ýðìèòîâû (ñèììåòðè÷åñêèå) è óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ; Ïîëÿðíîå è ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ëèíåéíîãîîòîáðàæåíèÿ; Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû•Ãëàâà 1.

Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ.1.1 Îáðàòèìûå ýëåìåíòû è îòíîøåíèåàññîöèèðîâàííîñòè.Íåòðèâèàëüíîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî R ñåäèíèöåé 1 áåç äåëèòåëåé íóëÿ áóäåì äëÿ êðàòêîñòè íàçûâàòüöåëîñòíûì êîëüöîì:Îïðåäåëåíèå.ab = ba;a1 = 1a = a;ab = 0 ⇒ a = 0èëè b = 0.Ïðèìåðû:Ëþáîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ öåëîñòíûì êîëüöîì (Q, R, C, . . . );• Ëþáîå ïîäêîëüöî öåëîñòíîãî êîëüöà ÿâëÿåòñÿ öåëîñòíûì√êîëüöîì (Z, Z[i], Z[ 2], . . . );• R = K[x] (K öåëîñòíîå).•Ýëåìåíò a ∈ R íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì(ðåãóëÿðíûì), åñëè îí èìååò îáðàòíûé ïî óìíîæåíèþ:Îïðåäåëåíèå.∃a−1 ∈ R : aa−1 = a−1a = 1,a−1 ∈ R(îáðàòèìûå ýëåìåíòû â êîëüöàõ)• R = Z: a = ±1 ∈ Z (äðóãèõ íåò);• R = F [x]: a ∈ F × = F \ {0} ⊂ F [x] (äðóãèõ íåò - óïðàæíåíèå);ÏðèìåðûÎïðåäåëåíèå. Ýëåìåíòû a è b öåëîñòíîãî êîëüöà R íàçûâàþòñÿàññîöèèðîâàííûìè, åñëè ñóùåñòâóåò îáðàòèìûé ýëåìåíò c êîëüöàR, ÷òîb = ac.Îáîçíà÷åíèå (â ýòîé ãëàâå): åñëè ýëåìåíò a àññîöèèðîâàí ñýëåìåíòîì b, òî áóäåì ïèñàòü a ∼ b.Ëåììà 1.

Îòíîøåíèå àññîöèèðîâàííîñòè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåìýêâèâàëåíòíîñòè. ÷àñòíîñòè, êîëüöî R ðàçáèâàåòñÿ íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññûàññîöèèðîâàííûõ ýëåìåíòîâ[a] = {x ∈ R | x ∼ a},Ïðèìåðû::;• R = Z b ∼ c ⇐⇒ b = ±c:,• R = F [x] f ∼ g ⇐⇒ f = ag a ∈ F ×;a ∈ R.Ïðîñòûå è ñîñòàâíûå ýëåìåíòûÎïðåäåëåíèå. Ïóñòü R öåëîñòíîå êîëüöî. Ýëåìåíò p ∈ R, p 6= 0íàçûâàåòñÿ ñîñòàâíûì, åñëèp = bc ãäå b è c íåîáðàòèìûå ýëåìåíòû.Ïðåäëîæåíèå 1.

Ïóñòü p ñîñòàâíîé ýëåìåíò. Òîãäàíåîáðàòèì.pÍåîáðàòèìûé ýëåìåíò p íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì,åñëè îí íå ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì.Îïðåäåëåíèå.Åñëè b ∼ c, òîb îáðàòèìûé ⇐⇒ c îáðàòèìûé.b ïðîñòîé (ñîñòàâíîé) ⇐⇒ c ïðîñòîé (ñîñòàâíîé).Óïðàæíåíèå.Ýëåìåíòû ëþáîãî öåëîñòíîãî êîëüöàíåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû:• Íóëåâîé ýëåìåíò;• Îáðàòèìûå ýëåìåíòû (âêëþ÷àÿ åäèíèöó);• Ïðîñòûå ýëåìåíòû;• Ñîñòàâíûå ýëåìåíòû.Räåëÿòñÿ íàÎòíîøåíèå äåëèìîñòèÎïðåäåëåíèå. Ïóñòü R öåëîñòíîå êîëüöî, ýëåìåíòû a, b ∈ R,a 6= 0.

Ãîâîðÿò, ÷òî a äåëèò b, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíòc ∈ R,÷òîb = ca.Îáîçíà÷åíèå: a | b.Ïðåäëîæåíèå 2.Îñíîâíûå ñâîéñòâà îòíîøåíèÿ äåëèìîñòè. Ïóñòü a, b, c, bi, ci ∈ R,a 6= 0. Òîãäà:1. a | 0, a | a, 1 | b;2. a | b, b 6= 0, b | a ⇐⇒ a ∼ b;3. a | b, b ∼ c ⇒ a | c;4. a ∼ b, a | c ⇒ b | c;5. a | b, b 6= 0, b | c ⇒ a | c;6.

a | b ⇒ a | bc;7. b 6= 0, ab | ac ⇐⇒ b | c ;8. a | b, a | c ⇒ a | (b + c);9. a|b1, a|b2, . . . , a|bk ⇒ a|(b1c1 + b2c2 + . . . + bkck).1.2 Ôàêòîðèàëüíûå êîëüöà.Öåëîñòíîå êîëüöî R íàçûâàåòñÿ ôàêòîðèàëüíûì(= ñ îäíîçíà÷íûì ðàçëîæåíèåì íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè), åñëè:(Ô1) Ëþáîé íåíóëåâîé íåîáðàòèìûé ýëåìåíò b ∈ R ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåí â âèäåÎïðåäåëåíèå.b = p1 . .

. p k ,ãäå p1, . . . , pk ïðîñòûå ýëåìåíòû (k ≥ 1);(Ô2) Äàííîå ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî â ñëåäóþùåì ñìûñëå:åñëèb = p1 . . . pk = q1 . . . qm, pi, qj ïðîñòûå,òî k = m è ïðè íåêîòîðîì σ ∈ Smpi ∼ qσ(i),i = 1, . . . , m.Ëåììà.Ïóñòü p ïðîñòîé ýëåìåíò ôàêòîðèàëüíîãî êîëüöà R.Òîãäàp | p1 . . . pk , pi ïðîñòûå ⇐⇒ p ∼ pi äëÿ íåêîòîðîãî i ∈ {1, . . . , k}.Òåîðåìà (êðèòåðèé ôàêòîðèàëüíîñòè).Öåëîñòíîå êîëüöî R ÿâëÿåòñÿ ôàêòîðèàëüíûì òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1. ëþáîé íåíóëåâîé íåîáðàòèìûé ýëåìåíò ðàçëàãàåòñÿ âïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ (Ô1);2. äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî p ∈ R è ëþáûõ b, c ∈ Rp | bc ⇒ p | b èëè p | c.Ïðèìåð íå ôàêòîðèàëüíîãî öåëîñòíîãî êîëüöà√√R = Z[ 5] = {a + b 5 | a, b ∈ Z}ïîäêîëüöî â ïîëå R ⇒ öåëîñòíîå.(?) ×èñëà 2 è(3 +√3± 5√5)(3 −√5) = 4 = 2 · 2ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè â R.1.3 Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü è íàèìåíüøååîáùåå êðàòíîå. Âçàèìíî ïðîñòûå ýëåìåíòû.Ïóñòü R öåëîñòíîå êîëüöî, a, b ∈ R.Îïðåäåëåíèå.

Ýëåìåíò d ∈ R (d 6= 0) íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèìîáùèì äåëèòåëåì (ÍÎÄ) ýëåìåíòîâ a è b, åñëè:• d | a, d | b;• ∀h ∈ R (h 6= 0) h | a, h | b ⇒ h | d.Îïðåäåëåíèå. Åñëè a, b 6= 0, òî ýëåìåíò c ∈ R (c 6= 0) íàçûâàåòñÿíàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì (ÍÎÊ) ýëåìåíòîâ a è b, åñëè:• a | c, b | c;• ∀h ∈ R a | h, b | h ⇒ c | h.Ëåììà.Ïóñòü a, b ∈ R.• Åñëè d1 è d2 äâà ÍÎÄ ýëåìåíòîâ a, b, òî d1 ∼ d2;• Åñëè d1 ÍÎÄ ýëåìåíòîâ a, b ∈ R è d2 ∼ d1, òî d2 ÍÎÄ a, b.Óïðàæíåíèå.Äîêàæèòå àíàëîã ýòîé ëåììû äëÿ ÍÎÊ.Òàêèì îáðàçîì, ÍÎÄ è ÍÎÊ îïðåäåëåíûñ òî÷íîñòüþ äî àññîöèèðîâàííîñòè,ýòîêëàññûàññîöèèðîâàííûõ ýëåìåíòîâ.Îáîçíà÷åíèå: ÍÎÄ: (a, b) = gcd(a, b) (greatest common divisor).(a, b) = {d ∈ R | d ÍÎÄ ýëåìåíòîâ a, b}ÍÎÊ: [a, b] = lcm(a, b) (least common multiple)[a, b] = {c ∈ R | c ÍÎÊ ýëåìåíòîâ a, b}Ïðåäëîæåíèå 1.(Ïðîñòåéøèåñâîéñòâà ÍÎÄ)• 1. a1 ∼ a2, b1 ∼ b2 ⇒ (a1, b1) = (a2, b2);• 2.

(a, 1) = [1] ìíîæåñòâî âñåõ îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ;• 3. (a, 0) = [a] (a 6= 0);• 4. (a, b) ∼ a ⇔ a|b;Íåíóëåâûå ýëåìåíòû a, b öåëîñòíîãî êîëüöàíàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè, åñëè (a, b) ∼ 1.Îïðåäåëåíèå.(ñâîéñòâà âçàèìíî ïðîñòûõ ýëåìåíòîâ).Ïóñòü R ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî, a, b ∈ R âçàèìíî ïðîñòûå.Òîãäà äëÿ ëþáîãî c ∈ R1. a | bc ⇒ a | c;2. a | c, b | c ⇒ ab | c.Ïðåäëîæåíèå 2.RÏðèìåð√√R = Z[ 5] = {a + b 5 | a, b ∈ Z}√4 2(3 + 5)Ó ýëåìåíòîâ èíåòó ÍÎÄ.1.4 Ñóùåñòâîâàíèå ÍÎÄ è ÍÎÊ âôàêòîðèàëüíîì êîëüöåÒåîðåìà 1. ôàêòîðèàëüíîì êîëüöåýëåìåíòîâ a, b ∈ R, a, b 6= 0.Râñåãäà ñóùåñòâóåò ÍÎÄ è ÍÎÊÄîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõôàêòîðèàëüíîì êîëüöå âûïîëíåíîÓïðàæíåíèåäëÿ h ∈ (a, b), d ∈ (b, c).(a, d) = (h, c)a, b, c6=0â1.5 Åâêëèäîâû êîëüöà.Öåëîñòíîå êîëüöîåñëè îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèåÎïðåäåëåíèå.Ríàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì,δ : R \ {0} → Z+ = {0, 1, 2, .

. . }òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ íåíóëåâûõ a, b ∈ R(E1) δ(ab) ≥ δ(a);(E2) ñóùåñòâóþò òàêèå q, r ∈ R, ÷òî b = aq + r, ãäåδ(r) < δ(a).Ïðèìåðû.r = 0(0) Ëþáîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâûì êîëüöîì (δ(a) = 1);(1) R = Z, δ(a) = |a|;(2) R = F [x] (F ïîëå), δ(f ) = deg f ;èëèÏðåäëîæåíèå 1.Ëþáîå åâêëèäîâî êîëüöî ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì ãëàâíûõ èäåàëîâ. åâêëèäîâîì êîëüöå Rñóùåñòâóåò ÍÎÄ äëÿ ëþáûõ íåíóëåâûõ a, b ∈ R. Êðîìå òîãî, äëÿëþáûõ a, b ∈ R, a, b 6= 0, d ∼ (a, b) íàéäóòñÿ òàêèå x, y ∈ R, ÷òîax + by = d.Òåîðåìà 1(Àëãîðèòì Åâêëèäà.)Åñëè a, b âçàèìíî ïðîñòûå ýëåìåíòû åâêëèäîâàêîëüöà R, òî íàéäóòñÿ òàêèå x, y ∈ R, ÷òî ax + by = 1.Ñëåäñòâèå.Äîêàæèòå îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè âöåëîñòíîì êîëüöå R äëÿ äâóõ íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ Ríàéäóòñÿ òàêèå x, y ∈ R, ÷òî ax + by = 1, òî a è b âçàèìíîïðîñòû.Óïðàæíåíèå.1.6 Ôàêòîðèàëüíîñòü åâêëèäîâûõ êîëåö.Ëåììà 1.Ïóñòü R åâêëèäîâî êîëüöî, b, c ∈ R íåíóëåâûå ýëåìåíòû. Åñëèa = bc, b, c íåîáðàòèìûå, òî δ(b), δ(c) < δ(a).Òåîðåìà 1.Âñÿêîå åâêëèäîâî êîëüöî ôàêòîðèàëüíî.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü R åâêëèäîâî êîëüöî.

Ïðîâåðèì êðèòåðèéôàêòîðèàëüíîñòè.Óñëîâèå (Ô1): âûòåêàåò èç ïðåäûäóùåé ëåììû èíäóêöèåé ïî δ(a)Äàëåå,p | bc ⇒ p | b èëè p | c?Äà: p 6 | b ⇒ 1 = px + by ⇒ c = pxc + bcy = p(. . . ).Ñëåäñòâèå.Ñëåäóþùèå êîëüöà ôàêòîðèàëüíû:• Z;• F [x], ãäå F ïîëå;Óïðàæíåíèå.ßâëÿåòñÿ ëè åâêëèäîâûì êîëüöî√Z[ 5]?1.7 Ëåììà Ãàóññà.Ïóñòü R ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî,f (x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ R[x] íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíèn (an 6= 0).Îïðåäåëåíèå. ÍÎÄ âñåõ åãî êîýôôèöèåíòîâ íàçîâåìñîäåðæàíèåì ìíîãî÷ëåíà f (x):c(f ) = (a0, a1, . . . , an).Åñëè c(f ) = [1], òî ìíîãî÷ëåí íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíûì.(ëåììà Ãàóññà).Ïóñòü R ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî,f (x), g(x) ∈ R[x] ïðèìèòèâíûå ìíîãî÷ëåíû.Òîãäà f (x)g(x) òîæå ïðèìèòèâíûé ìíîãî÷ëåí.ÒåîðåìàÑëåäñòâèå 1.Äëÿ ëþáûõ íåíóëåâûõ f (x), g(x) ∈ R[x] èìååìc(f )c(g) = c(f g)â åñòåñòâåííîì ñìûñëå:d1 ∈ c(f ), d2 ∈ c(g) ⇒ d1d2 ∈ c(f g).1.8 Ôàêòîðèàëüíîñòü êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ îòíåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.

ïîëå; åâêëèäîâî ⇒ ôàêòîðèàëüíîå; F [x, y] = (F [x])[y] íååâêëèäîâî (åñòü íåãëàâíûå èäåàëû);(?) F [x1, . . . , xn] ôàêòîðèàëüíîåÄîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâíàä ôàêòîðèàëüíûì êîëüöîì ñàìî ÿâëÿåòñÿ ôàêòîðèàëüíûì.FF [x]Ïóñòü R ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî.Òîãäà R[x] öåëîñòíîå.• Îáðàòèìûå ýëåìåíòû R = îáðàòèìûå ýëåìåíòû R[x];• p ∈ R ïðîñòîé ⇒ p ∈ R[x] ïðîñòîé;Ëåììà 1.Ïóñòü f (x) ∈ R[x], deg f ≥ 1 ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé íåëüçÿïðåäñòàâèòü â âèäå f (x) = f1(x)f2(x), fi(x) ∈ R[x], deg fi ≥ 1.Òîãäà f (x) ∈ R[x] ⊆ Q(R)[x] íåïðèâîäèì íàä ïîëåì Q(R).Ñëåäñòâèå 1.

Ïóñòü ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ Z[x] íåïðèâîäèì íàäêîëüöîì Z öåëûõ ÷èñåë. Òîãäà f (x) - íåïðèâîäèì íàä ïîëåì Qðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.Ïóñòüôàêòîðèàëüíî.Òåîðåìà 1.R ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî. ÒîãäàR[x]Ñëåäñòâèå 2.ôàêòîðèàëüíî.Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ F [x1, x2, . . . , xn] íàä ïîëåì F1.9 Ðåøåíèå äèîôàíòîâûõ óðàâíåíèé â êîëüöåìíîãî÷ëåíîâ.(íà ñàìîì äåëå â ëþáîì åâêëèäîâîì êîëüöå, â.ò.÷. Z)F ïîëåp, q ∈ F [x] ìíîãî÷ëåíû (îò îäíîé ïåðåìåííîé), p, q 6= 0,Ïóñòü (p, q) = 1, ò. å. p è q âçàèìíî ïðîñòûf ∈ F [x] åùå îäèí ìíîãî÷ëåí.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèåpu + qv = f :íåèçâåñòíûå ìíîãî÷ëåíû u, vÎíî âñåãäà èìååò ðåøåíèå â F [x] (àëãîðèòì Åâêëèäà - òåîðåìà 1ïàðàãðàôà 1.5).Ëåììà 1.Ïðè 0 ≤ deg f < deg(pq) óðàâíåíèåpu + qv = fèìååò òàêîå ðåøåíèå u, v ∈ F [x], â êîòîðîì deg u < deg q, deg v <deg p.Òåîðåìà 1.Ïóñòü p1, .

. . , pn ∈ F [x] ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûå ìíîãî÷ëåíû(n ≥ 2),f ∈ F [x], 0 ≤ deg f < deg(p1 . . . pn).PÎáîçíà÷èì P = p1 . . . pn, Pi = pi = p1 . . . pi−1pi+1 . . . pn ∈ F [x].Òîãäà íàéäåòñÿ åäèíñòâåííûé òàêîé íàáîð ìíîãî÷ëåíîâu1, . . . , un ∈ F [x], ÷òîP1u1 + · · · + Pnun = f è deg ui < deg pi.1.10 Ðàçëîæåíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íàïðîñòåéøèå äðîáè. ïîëåF [x] êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâF (x) = Q(F [x]) åãî ïîëå ÷àñòíûõ, íàçûâàåòñÿ ïîëåìðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé îò ïåðåìåííîé x íàä ïîëåì F .Åãî ýëåìåíòû êëàññû ïàð ìíîãî÷ëåíîâF" #f= {(a, b) | a, b ∈ F [x], b 6= 0, f b = ga},gãäå f, g ∈ F [x], g 6= 0.Êàæäûé òàêîé êëàññ ñîäåðæèò åäèíñòâåííóþ ïàðó (a, b), âêîòîðîé:• (a, b) = 1;• ìíîãî÷ëåí b óíèòàðíûé (ñòàðøèé êîýôôèöèåíò = 1).Áóäåì îáîçíà÷àòü äëÿ êðàòêîñòè.aa=bbÏðîñòåéøåé äðîáüþ íàä ïîëåì F íàçûâàåòñÿðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿr, ãäå q íåïðèâîäèì íàä F , 0 ≤ deg r < deg q.kqÎïðåäåëåíèå.Òåîðåìà 1.Ëþáàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ , â êîòîðîé deg f < deg g,åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû ïðîñòåéøèõäðîáåé.fg1.11 Êîðíè ìíîãî÷ëåíà.