1611672539-591dd94cca74ae9dacd3369a4980d323 (826571)
Текст из файла
IIÑÅÌÅÑÒÐ,Åâãåíüåâè÷Ãîí÷àðîâÌàêñèìÎñíîâíûå òåìû:• Êîëüöà ñ îäíîçíà÷íûì ðàçëîæåíèåì íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè Ôàêòîðèàëüíûå êîëüöà; Åâêëèäîâû êîëüöà; Ôàêòîðèàëüíîñòü êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ îò íåñêîëüêèõïåðåìåííûõ• Ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû Ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû è ôîðìóëûÂèåòà; Ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè êîðíåé ìíîãî÷ëåíà; Ðåçóëüòàíò è äèñêðèìèíàíò; Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðûËèíåéíûå îïåðàòîðû íà âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ; Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, êîðíåâîå ðàçëîæåíèå; Æîðäàíîâî ðàçëîæåíèå ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ• Ëèíåéíûåîïåðàòîðû íà åâêëèäîâûõ/óíèòàðíûõïðîñòðàíñòâàõ Áèëèíåéíûå ôîðìû; Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íàä R è íàä C; Íîðìàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ; Ýðìèòîâû (ñèììåòðè÷åñêèå) è óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ; Ïîëÿðíîå è ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ëèíåéíîãîîòîáðàæåíèÿ; Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû•Ãëàâà 1.
Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ.1.1 Îáðàòèìûå ýëåìåíòû è îòíîøåíèåàññîöèèðîâàííîñòè.Íåòðèâèàëüíîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî R ñåäèíèöåé 1 áåç äåëèòåëåé íóëÿ áóäåì äëÿ êðàòêîñòè íàçûâàòüöåëîñòíûì êîëüöîì:Îïðåäåëåíèå.ab = ba;a1 = 1a = a;ab = 0 ⇒ a = 0èëè b = 0.Ïðèìåðû:Ëþáîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ öåëîñòíûì êîëüöîì (Q, R, C, . . . );• Ëþáîå ïîäêîëüöî öåëîñòíîãî êîëüöà ÿâëÿåòñÿ öåëîñòíûì√êîëüöîì (Z, Z[i], Z[ 2], . . . );• R = K[x] (K öåëîñòíîå).•Ýëåìåíò a ∈ R íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì(ðåãóëÿðíûì), åñëè îí èìååò îáðàòíûé ïî óìíîæåíèþ:Îïðåäåëåíèå.∃a−1 ∈ R : aa−1 = a−1a = 1,a−1 ∈ R(îáðàòèìûå ýëåìåíòû â êîëüöàõ)• R = Z: a = ±1 ∈ Z (äðóãèõ íåò);• R = F [x]: a ∈ F × = F \ {0} ⊂ F [x] (äðóãèõ íåò - óïðàæíåíèå);ÏðèìåðûÎïðåäåëåíèå. Ýëåìåíòû a è b öåëîñòíîãî êîëüöà R íàçûâàþòñÿàññîöèèðîâàííûìè, åñëè ñóùåñòâóåò îáðàòèìûé ýëåìåíò c êîëüöàR, ÷òîb = ac.Îáîçíà÷åíèå (â ýòîé ãëàâå): åñëè ýëåìåíò a àññîöèèðîâàí ñýëåìåíòîì b, òî áóäåì ïèñàòü a ∼ b.Ëåììà 1.
Îòíîøåíèå àññîöèèðîâàííîñòè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåìýêâèâàëåíòíîñòè. ÷àñòíîñòè, êîëüöî R ðàçáèâàåòñÿ íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññûàññîöèèðîâàííûõ ýëåìåíòîâ[a] = {x ∈ R | x ∼ a},Ïðèìåðû::;• R = Z b ∼ c ⇐⇒ b = ±c:,• R = F [x] f ∼ g ⇐⇒ f = ag a ∈ F ×;a ∈ R.Ïðîñòûå è ñîñòàâíûå ýëåìåíòûÎïðåäåëåíèå. Ïóñòü R öåëîñòíîå êîëüöî. Ýëåìåíò p ∈ R, p 6= 0íàçûâàåòñÿ ñîñòàâíûì, åñëèp = bc ãäå b è c íåîáðàòèìûå ýëåìåíòû.Ïðåäëîæåíèå 1.
Ïóñòü p ñîñòàâíîé ýëåìåíò. Òîãäàíåîáðàòèì.pÍåîáðàòèìûé ýëåìåíò p íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì,åñëè îí íå ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì.Îïðåäåëåíèå.Åñëè b ∼ c, òîb îáðàòèìûé ⇐⇒ c îáðàòèìûé.b ïðîñòîé (ñîñòàâíîé) ⇐⇒ c ïðîñòîé (ñîñòàâíîé).Óïðàæíåíèå.Ýëåìåíòû ëþáîãî öåëîñòíîãî êîëüöàíåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû:• Íóëåâîé ýëåìåíò;• Îáðàòèìûå ýëåìåíòû (âêëþ÷àÿ åäèíèöó);• Ïðîñòûå ýëåìåíòû;• Ñîñòàâíûå ýëåìåíòû.Räåëÿòñÿ íàÎòíîøåíèå äåëèìîñòèÎïðåäåëåíèå. Ïóñòü R öåëîñòíîå êîëüöî, ýëåìåíòû a, b ∈ R,a 6= 0.
Ãîâîðÿò, ÷òî a äåëèò b, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíòc ∈ R,÷òîb = ca.Îáîçíà÷åíèå: a | b.Ïðåäëîæåíèå 2.Îñíîâíûå ñâîéñòâà îòíîøåíèÿ äåëèìîñòè. Ïóñòü a, b, c, bi, ci ∈ R,a 6= 0. Òîãäà:1. a | 0, a | a, 1 | b;2. a | b, b 6= 0, b | a ⇐⇒ a ∼ b;3. a | b, b ∼ c ⇒ a | c;4. a ∼ b, a | c ⇒ b | c;5. a | b, b 6= 0, b | c ⇒ a | c;6.
a | b ⇒ a | bc;7. b 6= 0, ab | ac ⇐⇒ b | c ;8. a | b, a | c ⇒ a | (b + c);9. a|b1, a|b2, . . . , a|bk ⇒ a|(b1c1 + b2c2 + . . . + bkck).1.2 Ôàêòîðèàëüíûå êîëüöà.Öåëîñòíîå êîëüöî R íàçûâàåòñÿ ôàêòîðèàëüíûì(= ñ îäíîçíà÷íûì ðàçëîæåíèåì íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè), åñëè:(Ô1) Ëþáîé íåíóëåâîé íåîáðàòèìûé ýëåìåíò b ∈ R ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåí â âèäåÎïðåäåëåíèå.b = p1 . .
. p k ,ãäå p1, . . . , pk ïðîñòûå ýëåìåíòû (k ≥ 1);(Ô2) Äàííîå ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî â ñëåäóþùåì ñìûñëå:åñëèb = p1 . . . pk = q1 . . . qm, pi, qj ïðîñòûå,òî k = m è ïðè íåêîòîðîì σ ∈ Smpi ∼ qσ(i),i = 1, . . . , m.Ëåììà.Ïóñòü p ïðîñòîé ýëåìåíò ôàêòîðèàëüíîãî êîëüöà R.Òîãäàp | p1 . . . pk , pi ïðîñòûå ⇐⇒ p ∼ pi äëÿ íåêîòîðîãî i ∈ {1, . . . , k}.Òåîðåìà (êðèòåðèé ôàêòîðèàëüíîñòè).Öåëîñòíîå êîëüöî R ÿâëÿåòñÿ ôàêòîðèàëüíûì òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1. ëþáîé íåíóëåâîé íåîáðàòèìûé ýëåìåíò ðàçëàãàåòñÿ âïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ (Ô1);2. äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî p ∈ R è ëþáûõ b, c ∈ Rp | bc ⇒ p | b èëè p | c.Ïðèìåð íå ôàêòîðèàëüíîãî öåëîñòíîãî êîëüöà√√R = Z[ 5] = {a + b 5 | a, b ∈ Z}ïîäêîëüöî â ïîëå R ⇒ öåëîñòíîå.(?) ×èñëà 2 è(3 +√3± 5√5)(3 −√5) = 4 = 2 · 2ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè â R.1.3 Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü è íàèìåíüøååîáùåå êðàòíîå. Âçàèìíî ïðîñòûå ýëåìåíòû.Ïóñòü R öåëîñòíîå êîëüöî, a, b ∈ R.Îïðåäåëåíèå.
Ýëåìåíò d ∈ R (d 6= 0) íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèìîáùèì äåëèòåëåì (ÍÎÄ) ýëåìåíòîâ a è b, åñëè:• d | a, d | b;• ∀h ∈ R (h 6= 0) h | a, h | b ⇒ h | d.Îïðåäåëåíèå. Åñëè a, b 6= 0, òî ýëåìåíò c ∈ R (c 6= 0) íàçûâàåòñÿíàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì (ÍÎÊ) ýëåìåíòîâ a è b, åñëè:• a | c, b | c;• ∀h ∈ R a | h, b | h ⇒ c | h.Ëåììà.Ïóñòü a, b ∈ R.• Åñëè d1 è d2 äâà ÍÎÄ ýëåìåíòîâ a, b, òî d1 ∼ d2;• Åñëè d1 ÍÎÄ ýëåìåíòîâ a, b ∈ R è d2 ∼ d1, òî d2 ÍÎÄ a, b.Óïðàæíåíèå.Äîêàæèòå àíàëîã ýòîé ëåììû äëÿ ÍÎÊ.Òàêèì îáðàçîì, ÍÎÄ è ÍÎÊ îïðåäåëåíûñ òî÷íîñòüþ äî àññîöèèðîâàííîñòè,ýòîêëàññûàññîöèèðîâàííûõ ýëåìåíòîâ.Îáîçíà÷åíèå: ÍÎÄ: (a, b) = gcd(a, b) (greatest common divisor).(a, b) = {d ∈ R | d ÍÎÄ ýëåìåíòîâ a, b}ÍÎÊ: [a, b] = lcm(a, b) (least common multiple)[a, b] = {c ∈ R | c ÍÎÊ ýëåìåíòîâ a, b}Ïðåäëîæåíèå 1.(Ïðîñòåéøèåñâîéñòâà ÍÎÄ)• 1. a1 ∼ a2, b1 ∼ b2 ⇒ (a1, b1) = (a2, b2);• 2.
(a, 1) = [1] ìíîæåñòâî âñåõ îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ;• 3. (a, 0) = [a] (a 6= 0);• 4. (a, b) ∼ a ⇔ a|b;Íåíóëåâûå ýëåìåíòû a, b öåëîñòíîãî êîëüöàíàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè, åñëè (a, b) ∼ 1.Îïðåäåëåíèå.(ñâîéñòâà âçàèìíî ïðîñòûõ ýëåìåíòîâ).Ïóñòü R ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî, a, b ∈ R âçàèìíî ïðîñòûå.Òîãäà äëÿ ëþáîãî c ∈ R1. a | bc ⇒ a | c;2. a | c, b | c ⇒ ab | c.Ïðåäëîæåíèå 2.RÏðèìåð√√R = Z[ 5] = {a + b 5 | a, b ∈ Z}√4 2(3 + 5)Ó ýëåìåíòîâ èíåòó ÍÎÄ.1.4 Ñóùåñòâîâàíèå ÍÎÄ è ÍÎÊ âôàêòîðèàëüíîì êîëüöåÒåîðåìà 1. ôàêòîðèàëüíîì êîëüöåýëåìåíòîâ a, b ∈ R, a, b 6= 0.Râñåãäà ñóùåñòâóåò ÍÎÄ è ÍÎÊÄîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõôàêòîðèàëüíîì êîëüöå âûïîëíåíîÓïðàæíåíèåäëÿ h ∈ (a, b), d ∈ (b, c).(a, d) = (h, c)a, b, c6=0â1.5 Åâêëèäîâû êîëüöà.Öåëîñòíîå êîëüöîåñëè îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèåÎïðåäåëåíèå.Ríàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì,δ : R \ {0} → Z+ = {0, 1, 2, .
. . }òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ íåíóëåâûõ a, b ∈ R(E1) δ(ab) ≥ δ(a);(E2) ñóùåñòâóþò òàêèå q, r ∈ R, ÷òî b = aq + r, ãäåδ(r) < δ(a).Ïðèìåðû.r = 0(0) Ëþáîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâûì êîëüöîì (δ(a) = 1);(1) R = Z, δ(a) = |a|;(2) R = F [x] (F ïîëå), δ(f ) = deg f ;èëèÏðåäëîæåíèå 1.Ëþáîå åâêëèäîâî êîëüöî ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì ãëàâíûõ èäåàëîâ. åâêëèäîâîì êîëüöå Rñóùåñòâóåò ÍÎÄ äëÿ ëþáûõ íåíóëåâûõ a, b ∈ R. Êðîìå òîãî, äëÿëþáûõ a, b ∈ R, a, b 6= 0, d ∼ (a, b) íàéäóòñÿ òàêèå x, y ∈ R, ÷òîax + by = d.Òåîðåìà 1(Àëãîðèòì Åâêëèäà.)Åñëè a, b âçàèìíî ïðîñòûå ýëåìåíòû åâêëèäîâàêîëüöà R, òî íàéäóòñÿ òàêèå x, y ∈ R, ÷òî ax + by = 1.Ñëåäñòâèå.Äîêàæèòå îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè âöåëîñòíîì êîëüöå R äëÿ äâóõ íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ a, b ∈ Ríàéäóòñÿ òàêèå x, y ∈ R, ÷òî ax + by = 1, òî a è b âçàèìíîïðîñòû.Óïðàæíåíèå.1.6 Ôàêòîðèàëüíîñòü åâêëèäîâûõ êîëåö.Ëåììà 1.Ïóñòü R åâêëèäîâî êîëüöî, b, c ∈ R íåíóëåâûå ýëåìåíòû. Åñëèa = bc, b, c íåîáðàòèìûå, òî δ(b), δ(c) < δ(a).Òåîðåìà 1.Âñÿêîå åâêëèäîâî êîëüöî ôàêòîðèàëüíî.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü R åâêëèäîâî êîëüöî.
Ïðîâåðèì êðèòåðèéôàêòîðèàëüíîñòè.Óñëîâèå (Ô1): âûòåêàåò èç ïðåäûäóùåé ëåììû èíäóêöèåé ïî δ(a)Äàëåå,p | bc ⇒ p | b èëè p | c?Äà: p 6 | b ⇒ 1 = px + by ⇒ c = pxc + bcy = p(. . . ).Ñëåäñòâèå.Ñëåäóþùèå êîëüöà ôàêòîðèàëüíû:• Z;• F [x], ãäå F ïîëå;Óïðàæíåíèå.ßâëÿåòñÿ ëè åâêëèäîâûì êîëüöî√Z[ 5]?1.7 Ëåììà Ãàóññà.Ïóñòü R ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî,f (x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ R[x] íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíèn (an 6= 0).Îïðåäåëåíèå. ÍÎÄ âñåõ åãî êîýôôèöèåíòîâ íàçîâåìñîäåðæàíèåì ìíîãî÷ëåíà f (x):c(f ) = (a0, a1, . . . , an).Åñëè c(f ) = [1], òî ìíîãî÷ëåí íàçûâàåòñÿ ïðèìèòèâíûì.(ëåììà Ãàóññà).Ïóñòü R ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî,f (x), g(x) ∈ R[x] ïðèìèòèâíûå ìíîãî÷ëåíû.Òîãäà f (x)g(x) òîæå ïðèìèòèâíûé ìíîãî÷ëåí.ÒåîðåìàÑëåäñòâèå 1.Äëÿ ëþáûõ íåíóëåâûõ f (x), g(x) ∈ R[x] èìååìc(f )c(g) = c(f g)â åñòåñòâåííîì ñìûñëå:d1 ∈ c(f ), d2 ∈ c(g) ⇒ d1d2 ∈ c(f g).1.8 Ôàêòîðèàëüíîñòü êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ îòíåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.
ïîëå; åâêëèäîâî ⇒ ôàêòîðèàëüíîå; F [x, y] = (F [x])[y] íååâêëèäîâî (åñòü íåãëàâíûå èäåàëû);(?) F [x1, . . . , xn] ôàêòîðèàëüíîåÄîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâíàä ôàêòîðèàëüíûì êîëüöîì ñàìî ÿâëÿåòñÿ ôàêòîðèàëüíûì.FF [x]Ïóñòü R ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî.Òîãäà R[x] öåëîñòíîå.• Îáðàòèìûå ýëåìåíòû R = îáðàòèìûå ýëåìåíòû R[x];• p ∈ R ïðîñòîé ⇒ p ∈ R[x] ïðîñòîé;Ëåììà 1.Ïóñòü f (x) ∈ R[x], deg f ≥ 1 ìíîãî÷ëåí, êîòîðûé íåëüçÿïðåäñòàâèòü â âèäå f (x) = f1(x)f2(x), fi(x) ∈ R[x], deg fi ≥ 1.Òîãäà f (x) ∈ R[x] ⊆ Q(R)[x] íåïðèâîäèì íàä ïîëåì Q(R).Ñëåäñòâèå 1.
Ïóñòü ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ Z[x] íåïðèâîäèì íàäêîëüöîì Z öåëûõ ÷èñåë. Òîãäà f (x) - íåïðèâîäèì íàä ïîëåì Qðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.Ïóñòüôàêòîðèàëüíî.Òåîðåìà 1.R ôàêòîðèàëüíîå êîëüöî. ÒîãäàR[x]Ñëåäñòâèå 2.ôàêòîðèàëüíî.Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ F [x1, x2, . . . , xn] íàä ïîëåì F1.9 Ðåøåíèå äèîôàíòîâûõ óðàâíåíèé â êîëüöåìíîãî÷ëåíîâ.(íà ñàìîì äåëå â ëþáîì åâêëèäîâîì êîëüöå, â.ò.÷. Z)F ïîëåp, q ∈ F [x] ìíîãî÷ëåíû (îò îäíîé ïåðåìåííîé), p, q 6= 0,Ïóñòü (p, q) = 1, ò. å. p è q âçàèìíî ïðîñòûf ∈ F [x] åùå îäèí ìíîãî÷ëåí.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèåpu + qv = f :íåèçâåñòíûå ìíîãî÷ëåíû u, vÎíî âñåãäà èìååò ðåøåíèå â F [x] (àëãîðèòì Åâêëèäà - òåîðåìà 1ïàðàãðàôà 1.5).Ëåììà 1.Ïðè 0 ≤ deg f < deg(pq) óðàâíåíèåpu + qv = fèìååò òàêîå ðåøåíèå u, v ∈ F [x], â êîòîðîì deg u < deg q, deg v <deg p.Òåîðåìà 1.Ïóñòü p1, .
. . , pn ∈ F [x] ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûå ìíîãî÷ëåíû(n ≥ 2),f ∈ F [x], 0 ≤ deg f < deg(p1 . . . pn).PÎáîçíà÷èì P = p1 . . . pn, Pi = pi = p1 . . . pi−1pi+1 . . . pn ∈ F [x].Òîãäà íàéäåòñÿ åäèíñòâåííûé òàêîé íàáîð ìíîãî÷ëåíîâu1, . . . , un ∈ F [x], ÷òîP1u1 + · · · + Pnun = f è deg ui < deg pi.1.10 Ðàçëîæåíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íàïðîñòåéøèå äðîáè. ïîëåF [x] êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâF (x) = Q(F [x]) åãî ïîëå ÷àñòíûõ, íàçûâàåòñÿ ïîëåìðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé îò ïåðåìåííîé x íàä ïîëåì F .Åãî ýëåìåíòû êëàññû ïàð ìíîãî÷ëåíîâF" #f= {(a, b) | a, b ∈ F [x], b 6= 0, f b = ga},gãäå f, g ∈ F [x], g 6= 0.Êàæäûé òàêîé êëàññ ñîäåðæèò åäèíñòâåííóþ ïàðó (a, b), âêîòîðîé:• (a, b) = 1;• ìíîãî÷ëåí b óíèòàðíûé (ñòàðøèé êîýôôèöèåíò = 1).Áóäåì îáîçíà÷àòü äëÿ êðàòêîñòè.aa=bbÏðîñòåéøåé äðîáüþ íàä ïîëåì F íàçûâàåòñÿðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿr, ãäå q íåïðèâîäèì íàä F , 0 ≤ deg r < deg q.kqÎïðåäåëåíèå.Òåîðåìà 1.Ëþáàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ , â êîòîðîé deg f < deg g,åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû ïðîñòåéøèõäðîáåé.fg1.11 Êîðíè ìíîãî÷ëåíà.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
