1611672539-591dd94cca74ae9dacd3369a4980d323 (Гончаров - Лекции (2018)), страница 2

Òåîðåìà îñóùåñòâîâàíèè êîðíÿ.Ïóñòü F ïîëå, f (x) ∈ F [x].Îïðåäåëåíèå. Ýëåìåíò c ∈ F íàçûâàåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíàf (x), åñëè f (c) = 0.Òåîðåìà 1 (Áåçó) Ýëåìåíò c ∈ F [x] êîðåíü ìíîãî÷ëåíà f (x)òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x − c äåëèò f (x).Ïóñòü F è P ïîëÿ.Îïðåäåëåíèå. Ïîëå P íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåíèåì ïîëÿ F , åñëè Pñîäåðæèò ïîäêîëüöî, èçîìîðôíîå ïîëþ F (ïîäïîëå).Èíûìè ñëîâàìè, ïîëå P ðàñøèðåíèå ïîëÿ F , åñëè ñóùåñòâóåòèíúåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì φ êîëåö F → P .Åñëè P ðàñøèðåíèå ïîëÿ F è f (x) = anxn +an−1xn−1 +.

. .+a1x+a0 ∈ F [x], òî ìíîãîë÷ëåí f (x) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýëåìåíòèç P [x] (â ýòîì ñëó÷àå ñ÷èòàåì, ÷òî f (x) = φ(an)xn + . . . + φ(a1)x +φ(a0)).Ïðè ýòîì ó ìíîãî÷ëåíà f (x) ìîæåò íå áûòü êîðíåé â ïîëå F , íîáûòü â ïîëå P . Íàïðèìåð, f (x) = x2 − 2 íå èìååò êîðíåé â ïîëåQ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, íî èìååò êîðíè â ïîëå R âåùåñòâåííûõ÷èñåë.(î ñóùåñòâîâàíèè êîðíÿ).π τÄëÿ ëþáîãî ïîëÿ F è äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà f (x) íàä , deg f (x) >0, íàéäåòñÿ òàêîå ðàñøèðåíèå P ïîëÿ F , ÷òî P ñîäåðæèò êîðåíüìíîãî÷ëåíà f (x).Òåîðåìà 2Ïóñòü f (x)[x], degf (x) = n.

Ïîëåì ðàçëîæåíèÿìíîãî÷ëåíà f (x) íàçûâàåòñÿ òàêîå ðàñøèðåíèå P ïîëÿ F , âêîòîðîì äëÿ f (x) ñîäåðæèòñÿ n êîðíåé (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè).Ñëåäñòâèå. Äëÿ ëþáîãî f (x) ∈ F [x] ñóùåñòâóåò ïîëå ðàçëîæåíèÿ.Îïðåäåëåíèå.1.12 ôîðìóëû Âèåòà. Îñíîâíàÿ òåîðåìà îñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ.Ïóñòü F [x1, . . . , xn] êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ îò ïåðåìåííûõx1, . . . , xn. Ëþáîé ìíîãî÷ëåí f (x1, . . .

, xn) ∈ F [x1, . . . , xn] ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäåf (x1, . . . , xn) =ãäåXsas1,...,sn x11 . . . xsnn ,s1 ,...,sn ≥0as1,...,sn ∈ R.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåíf = f (x1, . . . , xn) =Îïðåäåëåíèå.Xsas1,...,sn x11 . . . xsnn ∈ R[x1, . . . , xn].s1 ,...,sn ≥0Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà f :deg f = max{s1 + · · · + sn | as1,...,sn 6= 0}.Ìíîãî÷ëåí f ∈ R[x1, . . . , xn] íàçûâàåòñÿîäíîðîäíûì ñòåïåíè n, åñëè âñå åãî îäíî÷ëåíû èìåþòîäèíàêîâóþ ñòåïåíü n:Îïðåäåëåíèå.f =Xsas1,...,sn x11 .

. . xsnn :s1 ,...,sn ≥0äëÿ âñåõ s1, . . . , sn òàêèõ, ÷òî as ,...,s1n6= 0s 1 + · · · + sn = n.Îäíî÷ëåíû îäèíàêîâîéëåêñèêîãðàôè÷åñêè:åñëèmmnx1 1 x2 2 . . . xmnñòåïåíè ìîæíîìåíüøå xk1 xk2 . . . xkn12ñðàâíèâàòünm1 < k 1èëèm1 = k1, m2 < k2èëèm1 = k1, m2 = k2,èëèm3 < k3...èëèm1 = k1, m2 = k2, m3 = k3, . .

. , mn−1 < kn−1.Îïðåäåëåíèå.Ñòàðøèé îäíî÷ëåí îäíîðîäíîãî ìíîãî÷ëåíàf =Xsas1,...,sn x11 . . . xsnns1 ,...,sn ≥0 òàêîå ñëàãàåìîåmnam1,...,mn x1 1 . . . xmn ,÷òî am ,...,m s6= 0 è xm1 . . . xmn ëåêñèêîãðàôè÷åñêè ìàêñèìàëüíûéñðåäè âñåõ x1 . . . xsn , ó êîòîðûõ as ,...,s 6= 0.11n1nn1nÏðèìåð.k−1 3f (x1, x2, x3) = xk1x2x3 + x1x2Ñòàðøèé îäíî÷ëåí: xk1x2x3.Îïðåäåëåíèå.Ïóñòü R öåëîñòíîå êîëüöî.Ìíîãî÷ëåí f ∈ R[x1, . . . , xn] íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëèf (x1, . .

. , xn) = f (xσ(1), . . . , xσ(n)) äëÿ ëþáîãî σ ∈ Sn,ò.å. ìíîãî÷ëåí f íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåñòàíîâêå ïåðåìåííûõ.(n = 3):x1 + x2 + x3 ,x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 ,Ïðèìåðû2 x + x2 x + x x2 + x x2 + x x2x2x+x21 22 31 312 31 3.Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà:•Åñëè f, g ∈ R[x1, .

. . , xn] ñèììåòðè÷åñêèå, òîαf + βg,fg ñèììåòðè÷åñêèå äëÿ ëþáûõ α, β ∈ R.• Åñëè f1, . . . , fm ∈ R[x1, . . . , xn] ñèììåòðè÷åñêèå,R[t1, . . . , tm] ëþáîé ìíîãî÷ëåí, òîΦ(x1, . . . , xn) = g f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn) ñèììåòðè÷åñêèé.g∈Åñëè f ∈ R[x1, . . . , xn] ñèììåòðè÷åñêèé,f = f1+· · ·+fk , fi îäíîðîäíûé ñòåïåíè ni, n1 < n2 < · · · < nkòîãäà êàæäûé fi ñèììåòðè÷åñêèé.• Åñëè f ∈ R[x1, . . .

, xn] îäíîðîäíûé ñèììåòðè÷åñêèé ñîñòàðøèì îäíî÷ëåíîì•mnam1,...,mn x1 1 . . . xmn ,òî m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mn.Ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû:s1, . . . , sn ∈ R[x1, . . . , xn]• s 1 = x1 + x2 + · · · + xn;• s2 = x1x2 + · · · + x1xn + x2x3 + · · · + x2xn + · · · + xn−1xn• ...• sk =X1≤i1 <···<ik ≤n• ...• s n = x1 x2 . . . x n.xi 1 xi 2 .

. . x i k;;Ïóñòü F ïîëå, f (x) = a0 + a1x + · · · + an−1xn−1 + xn ∈ F [x]ìíîãî÷ëåí ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì = 1.Òîãäà â íåêîòîðîì ðàñøèðåíèè P ïîëÿ Fìíîãî÷ëåí f (x) èìååò n êîðíåé è ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ëèíåéíûåìíîæèòåëèα1, . . . , αn ∈ P.f (x) = (x − α1) . . .

(x − αn),Òåîðåìà 1 (Ôîðìóëû Âèåòà).,,, òîan−1xn−1 + xn ∈ F [x] n ≥ 1α1, . . . , αnf (x) êîðíèÅñëèf (x) = a0 + a1x + · · · +s1(α1, . . . , αn) = −an−1s2(α1, . . . , αn) = an−2...sk (α1, . . . , αn) = (−1)k an−k...sn(α1, . . . , αn) = (−1)na0R öåëîñòíîå êîëüöî.Òåîðåìà 2 (Îñíîâíàÿ òåîðåìàìíîãî÷ëåíàõ). Ïóñòü f (x1, . . .

, xn)î∈ñèììåòðè÷åñêèõR[x1, . . . , xn]ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí.Òîãäà íàéäåòñÿ åäèíñòâåííûé Φ(t1, . . . , tn) ∈ R[t1, . . . , tn]òàêîé, ÷òîf (x1, . . . , xn) = Φ(s1(x1, . . . , xn), s2(x1, . . . , xn), . . . , sn(x1, . . . , xn)).Ñëåäñòâèå.Ïóñòü F ïîëå,f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0 ∈ F [x],an 6= 0, êîðíè f (x) â íåêîòîðîì ðàñøèðåíèè P ïîëÿ F .Òîãäà äëÿ ëþáîãî ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà g(x1, . . . , xn) ∈F [x1, . . .

, xn] âûïîëíÿåòñÿα1, . . . , αng(α1, . . . , αn) ∈ F.1.13 Àëãåáðàè÷åñêàÿ çàìêíóòîñòü ïîëÿêîìïëåêñíûõ ÷èñåëC.Ïóñòü F íåêîòîðîå ïîëå.Îïðåäåëåíèå. Åñëè ëþáîé ìíîãî÷ëåí f (x) ∈ F [x], deg f > 0,èìååò êîðåíü α ∈ F , òî ïîëå F íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèçàìêíóòûì. ÷àñòíîñòè, íàä àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì ëþáîéìíîãî÷ëåí ïîëîæèòåëüíîé ñòåïåíè ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ëèíåéíûå(ïåðâîé ñòåïåíè) ìíîæèòåëè:f (x) = an(x − α1) . . . (x − αn),(ann = deg f ñòàðøèé êîýôôèöèåíò f (x))Òåîðåìà 1.

Ïóñòü f (x) ∈ R[x]. Òîãäà ñóùåñòâóåò α ∈ C òàêîé, ÷òîf (α) = 0.f (α) = 0.Òåîðåìà 2. Ïóñòü f (x) ∈ C[x]. Òîãäà ñóùåñòâóåò α ∈ C òàêîé, ÷òîÑëåäñòâèå 1.Íåïðèâîäèìûìè ìíîãî÷ëåíàìè íàä ïîëåììíîãî÷ëåíû ïåðâîé ñòåïåíè è òîëüêî îíè:p(x) = x − α,ñ òî÷íîñòüþ äî àññîöèèðîâàííîñòè.α ∈ C,CÿâëÿþòñÿÑëåäñòâèå 2.Íåïðèâîäèìûìè ìíîãî÷ëåíàìè íàä ïîëåì R ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîñòèñëåäóþùèå:• ìíîãî÷ëåíû ïåðâîé ñòåïåíèp(x) = x − a,•ìíîãî÷ëåíû âòîðîéäèñêðèìèíàíòîì:a ∈ R;ñòåïåíèq(x) = x2 + bx + c,ñîòðèöàòåëüíûìb, c ∈ R, b2 − 4c < 0(ñ òî÷íîñòüþ äî àññîöèèðîâàííîñòè).Ãëàâà 2. Ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿâåêòîðíûõ ïðîòðàíñòâ.2.1 Ìàòðèöà ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì F , dim V = n. Åñëèe1, . . .

, en áàçèñ V è x ∈ V , òî x = x1e1 +2 e2 . . . + xnen è[x]e1,...,en = (x1, x2, . . . , xn) ñòðîêà êîîðäèíàò âåêòîðà x â áàçèñå e1, . . . , en.Îïðåäåëåíèå. Ëèíåéíûì îïåðàòîðîì íà V íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîåîòîáðàæåíèå èç V â V :ϕ : V → V,ϕ(αu + βv) = αϕ(u) + βϕ(v)äëÿ âñåõ α, β ∈ F , u, v ∈ V .Îáîçíà÷èì ÷åðåç L(V, V ) = Hom(V, V ) ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíûõîòîáðàæåíèé èç V â V . Çíàåì, ÷òî L(V, V ) èçîìîðôíîïðîñòðàíñòâó ìàòðèö Mn(F ).Èçîìîðôèçì: åñëè e1, .

. . , en íåêîòîðûé áàçèñ V è ϕ ∈ L(V, V ),òî[ϕ]e1,...,en ∈ Mn(F ) ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ â áàçèñå e1, . . . , enÍàïîìíèì, ÷òîa11 . . . a1n[ϕ] = [ϕ]e1,...,en = . . . . . . . . . . . . .an1 . . . annåñëèϕ(e1) = a11e1 + · · · + a1j ej + . . . + a1nen =nXa1j ej ,j=1......ϕ(ei) = ai1e1 + · · · + aij ej + . .

. + ajnen =nXaij ej ,j=1......ϕ(en) = an1e1 + · · · + anj ej + . . . + annen =nXj=1anj ejÏðè ýòîì äëÿ ëþáîãî x ∈ V :[ϕ(x)]e1,...,en = [x]e1,...,en [ϕ]e1,...,en .Êðîìå òîãî, äëÿ ëþáûõ ϕ, ψ ∈ L(V, V ):[ϕ ◦ ψ]e1, . . . , en = [ϕ]e1, . . . , en[ψ]e1, . . . , en.Âîïðîñû:1. Ïóñòü äàíû ìàòðèöà A ∈ Mn(F ) è ïðåîáðàçîâàíèå ϕ ∈ L(V, V ).Íàéäåòñÿ ëè òàêîé áàçèñ e1, . . . , en, ÷òî [ϕ]e1, . . . , en = A?2. Ïóñòü äàíû ìàòðèöû A, B ∈ Mn(F ). Êîãäà A è B áóäóòìàòðèöàìè îäíîãî è òîãî æå ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ â ðàçíûõ áàçèñàõ(òî åñòü A = [ϕ]e ,...,e , B = [ϕ]f ,...,f äëÿ ðàçëè÷íûõ áàçèñîâe1, . .

. , en è f1, . . . , fn?1n1nÇàìå÷àíèå 1. Ìàòðèöó A èç M (F ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ϕ ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå èçnFnâ F n, äåéñòâóþùåå êàêϕA(x) = xAAäëÿ ëþáîãî x ∈ F n. Ïðè ýòîì, åñëè e1, . . . , en ñòàíäàðòíûé áàçèñF n, òî [ϕA]e ,...,e = A.Çàìå÷àíèå 2. Åñëè çàôèêñèðîâàí òîëüêî îäèí áàçèñ e1, .

. . , en,òî äëÿ êðàòêîñòè áóäåì îïóñêàòü èíäåêñ: [, ]e ,...,e = [, ].1n1n2.2 Èçìåíåíèå ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðàïðè çàìåíå áàçèñà. áàçèñ V (¾ñòàðûé¿); äðóãîé áàçèñ V (¾íîâûé¿); âåêòîð; ëèíåéíûé îïåðàòîðe1, . . . , enf1, . . . , fnx∈Vϕ:V →Vx = α1e1 + · · · + αnen = β1f1 + · · · + βnfn,[x]e1,...,en = (α1, . . . , αn),A = [ϕ]e1,...,en ,[x]f1,...,fn = (β1, . .

. , βn).B = [ϕ]f1,...,fn(?) Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé [x]f ,...,f è [x]e ,...,e ?(?) Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé A è B?1n1nÏóñòüf1 = t11e1 + · · · + t1nen,......fj = t1j e1 + · · · + tjnen,......fn = tn1e1 + · · · + tnnen..íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà e1, . . . , en ê áàçèñóf1, . . . , fn.(!) Ìàòðèöà ïåðåõîäà íåâûðîæäåíà (òàê êàê èíà÷å f1, . . . , fn ëèíåéíî-çàâèñèìû): det T 6= 0T =t11 . .

. t1n...tn1 . . . tnnÒåîðåìà 1. Ïóñòü T ìàòðèöà ïåðåõîäà îò áàçèñà e , . . . , e êáàçèñó f1, . . . , fn âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V , x ∈ V , ϕ ëèíåéíûéîïåðàòîð íà V , A ìàòðèöà ϕ â áàçèñå e1, . . . , en,B ìàòðèöà ϕ â áàçèñå f1, . . . , fn.Òîãäà11. [x]e1,...,en = [x]f1,...,fn T ;2. B = T AT −1.n2.3 Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûåâåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.Ïóñòü ϕ ∈ L(V, V ). Êàêîâ "ïðîñòåéøèé âîçìîæíûé"âèä ìàòðèöûïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ â íåêîòîðîì áàçèñå?Ãèïîòåçà (Îøèáî÷íàÿ): âîçìîæíî, ñóùåñòâóåò áàçèñ e1, .

. . , en,÷òî [ϕ]e ,...,e äèàãîíàëüíà, ò.å.1nα1 0 . . . 00 α... 0 2[ϕ]e1,...,en = .. . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . αn ýòîì ñëó÷àå ϕ(ei) = αiei ïî îïðåäåëåíèþ ìàòðèöû ëèíåéíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ.Ïóñòü V âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì F , dim V = n,ϕ : V → V ëèíåéíûé îïåðàòîð.Îïðåäåëåíèå. Âåêòîð v ∈ V íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîìîïåðàòîðà ϕ, åñëè v 6= 0 è ñóùåñòâóåò òàêîå λ ∈ F , ÷òîϕ(v) = λv.(∗)Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿð λ ∈ F íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåìîïåðàòîðà ϕ, åñëè íàéäåòñÿ òàêîé v ∈ V , v 6= 0, ÷òî âûïîëíåíî (∗).Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A ∈ M (F ) êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà.Îïðåäåëèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû A:naa12...a1n 11 − t aa22 − t . . .a2n 21χA(t) = det(A − tEn) = ∈ F [t]..