1611672539-591dd94cca74ae9dacd3369a4980d323 (Гончаров - Лекции (2018)), страница 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aan2. . . ann − tn1Ëåììà 1. Åñëè B = T AT , òî−1χB (t) = χA(t).Ïîýòîìó:Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íåçàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà.Îïðåäåëåíèå. ÏóñòüA=îïåðàòîðà ϕ â êàêîì-òî áàçèñå[ϕ]e1,...,ene1, . . . , enχϕ(t) = χA(t) ìàòðèöà ëèíåéíîãîïðîñòðàíñòâà V . Òîãäàíàçûâàåòñÿ òàêæå õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì îïåðàòîðà ϕ.Òåîðåìà 1.

Ñêàëÿðÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåìîïåðàòîðà ϕ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà λ êîðåíü χϕ(t).λ ∈ FÎïðåäåëåíèå. Ñïåêòð ëèíåéíîãî îïåðàòîðà: íàáîð êîðíåé åãîõàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè.2.4 Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà Êýëè.Òåîðåìà 1 (Ãàìèëüòîíà Êýëè). Ïóñòü A ∈ M (F ),nÒîãäàχA(t) = cntn + cn−1tn−1 + · · · + c1t + c0 ∈ F [t].χA(A) = cnAn + cn−1An−1 + · · · + c1A + c0En = 0 ∈ Mn(F )Ñëåäñòâèå. Åñëè ëèíåéíûé îïåðàòîð íàêîíå÷íîìåðíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå V , χϕ(t) = cntn + · · · +c1t + c0, òîχϕ(ϕ) = cnϕn + · · · + c1ϕ + c0id = 0 òîæäåñòâåííî íóëåâîå ïðåîáðàçîâàíèå.ϕ:V→V2.5 Èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà èèíäóöèðîâàííûå îïåðàòîðû.Ïóñòü ϕ : V → V ëèíåéíûé îïåðàòîð, U ⊆ V ïîäïðîñòðàíñòâî.Îïðåäåëåíèå. Ïîäïðîñòðàíñòâî U íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûìîòíîñèòåëüíî ϕ (èëè ϕ-èíâàðèàíòíûì), åñëèϕ(u) ∈ U äëÿ ëþáîãî u ∈ U .Ïðèìåðû.1) U = {0};2) U = V ;3) Ïóñòü v1, .

. . , vk ∈ V ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà ϕ.Òîãäà U = L(v1, . . . , vk) ÿâëÿåòñÿ ϕ-èíâàðèàíòíûì.Ïðåäëîæåíèå 1. Ïóñòü ëèíåéíûé îïåðàòîð,dim V = n. Ïðîñòðàíñòâîèìååò -ìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî U ,èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî , òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âíåêîòîðîì áàçèñå ìàòðèöà îïåðàòîðà ϕ èìååò ïîëóðàñïàâøèéñÿâèä:![ϕ] =A 0,B Cϕ : VVϕ→ VkA ∈ Mk (F ), B ∈ Mn−k,k (F ), C ∈ Mn−k (F ).Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü ϕ : V → V ëèíåéíûé îïåðàòîð, U ⊆ V -èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòüϕϕ|U : U → U,ϕ|U (u) = ϕ(u), u ∈ U ; êîððåêòíî îïðåäåëåííîå ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå,êîòîðîå íàçûâàåòñÿ èíäóöèðîâàííûì îïåðàòîðîì.Åñëè u1, . .

. , uk áàçèñ U ,vk+1, . . . , vn åãî äîïîëíåíèå äî áàçèñà V , òî!ãäå[ϕ]u1,...,uk ,vk+1,...,vn =A 0,B CA = [ϕ|U ]u1,...,uk .Ïðåäëîæåíèå 2. Åñëè V = U ⊕· · ·⊕U , ãäå U ϕ-èíâàðèàíòíûåïîäïðîñòðàíñòâà ðàçìåðíîñòè ni, òî:1. â íåêîòîðîì áàçèñå ìàòðèöà îïåðàòîðàäèàãîíàëüíûé âèä:1miϕèìååò êëåòî÷íî-A1 0 . . .

0 0 A... 0 2[ϕ] = . . . . . . . . . . . . . . . . .00 . . . Amãäå Ai = [ϕ|U ]u ,...,u = Ai ìàòðèöû îãðàíè÷åíèÿ îòîáðàæåíèÿϕ íà ïîäïðîñòðàíñòâî Ui.2. Õàðàêòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χϕ(t) = χϕ| (t) · χϕ| (t) · . . . · χϕ| (t).ii1iniU1U2Um2.6 Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû èëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.Ïóñòü A ∈ Mn(F ) êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà,f (t) ∈ F [t] íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí.Ãîâîðÿò, ÷òî f (t) àííóëèðóåò ìàòðèöó A, åñëè f (A) = 0 ∈ Mn(F ).(Íàïðèìåð, χA(t) àííóëèðóåò A.)Îïðåäåëåíèå.

Óíèòàðíûé ìíîãî÷ëåí ìèíèìàëüíîé ñòåïåíè,àííóëèðóþùèé ìàòðèöó A, íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûììíîãî÷ëåíîì ìàòðèöû A.Ëåììà 1.Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû A äåëèò ëþáîé äðóãîéìíîãî÷ëåí, àííóëèðóþùèé A.Ñëåäîâàòåëüíî, ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî,îáîçíà÷àåòñÿ µA(t).Ëåììà 2.1. B = T AT −1 ⇒ µA(t) = µB (t) (!! îáðàòíîå íåâåðíî);2. µA(t) äåëèò χA(t);3. Åñëè λ ñîáñòâåííîåçíà÷åíèåìàòðèöû A, òî µA(λ) = 0;4. ÅñëèA1 0 . .

. 0 A2 ...A = ÍÎÊ ìíîãî÷ëåíîâ0...00, òî µA(t) ∈ [µA (t), . . . , µA (t)] 0 . . . AkµA1 (t), . . . , µAk (t)1.kÎïðåäåëåíèå. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ëèíåéíîãî îïåðàòîðàϕϕ: óíèòàðíûé ìíîãî÷ëåí íàèìåíüøåé ñòåïåíè, àííóëèðóþùèéÓïðàæíåíèå.µϕ(t) :µϕ(ϕ) = 0, deg µϕ → minµϕ(t) = µA(t),ãäå A ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ â ëþáîì áàçèñå.2.7 Íèëüïîòåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Îñíîâíûåñâîéñòâà.Îïðåäåëåíèå. Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ϕ : Víèëüïîòåíòíûì, åñëè íàéäåòñÿ òàêîå N ≥ 1, ÷òîÌèíèìàëüíîå m, ÷òî ϕmíèëüïîòåíòíîñòè îïåðàòîðà ϕ.=0íàçûâàåòñÿ.→ VϕN = 0íàçûâàåòñÿ èíäåêñîìÏðèìåð. âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä R.Îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿV = {f (x) ∈ R[x] | deg f < n}ϕ : V → V,ϕ(f (t)) = f 0(t)ÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíûì ëèíåéíûì îïåðàòîðîì èíäåêñà n.Ïðåäëîæåíèå 1. Îòîáðàæåíèåÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíûìèíäåêñà m òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåíµϕ(t) = tm.ϕÏðåäëîæåíèå 2. Îòîáðàæåíèå ϕ ÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíûì òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåíÑëåäñòâèå.

Åñëèχϕ(t) = (−t)n. íèëüïîòåíòíîå ïðåîáðàçîâàíèåïðîñòðàíñòâà V èíäåêñà íèëüïîòåíòíîñòè m, òî m ≤ dim(V ).ϕÎïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà A ∈ M (F ) íàçûâàåòñÿ íèëüïîòåíòíîé,åñëè A = 0 äëÿ íåêîòîðîãî N ≥ 1.Óïðàæíåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äëÿ âñÿêîãî k = 1, . . . , n ñëåänNìàòðèöû Ak ðàâåí íóëþ, òî A íèëüïîòåíòíà.2.8 Êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöû íèëüïîòåíòíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ.Ëåììà 1. Ïóñòü íèëüïîòåíòíûéëèíåéíûé îïåðàòîð èíäåêñà n.

Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîé áàçèñv1, . . . , vn ïðîñòðàíñòâà V , ÷òîdim V = nèϕ : V → V0 1 0 ... 00...0 0 1 . . .[ϕ]v1,...,vn = 0 0 0 . . .10 0 0 ... 0Òåîðåìà 1. Ïóñòü, ϕ : V → V íèëüïîòåíòíûéëèíåéíûé îïåðàòîð. Òîãäà ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèådim V = nV = U1 ⊕ · · · ⊕ Umïðîñòðàíñòâà V â ñóììó ϕ-èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ Ui,dim Ui = ni, òàêèõ, ÷òî äëÿ êàæäîãî i = 1, . . . , mϕUi : Ui → Ui íèëüïîòåíòíûé îïåðàòîð èíäåêñà ni.Ñëåäñòâèå (êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöû íèëüïîòåíòíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ).

Ïóñòü ϕ : V → V íèëüïîòåíòíûé ëèíåéíûéîïåðàòîð. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé áàçèñ v1, . . . , vn ïðîñòðàíñòâàV , â êîòîðîì ìàòðèöà îïåðàòîðà ϕ èìååò âèä[ϕ]v1,...,vnA1 0 . . . 0 A2 ...=0ãäå0...00 . . . Am0 1 0 ... 00...0 0 1 . . .Ai = 0 0 0 . . . ∈ Mn (F ),i10 0 0 ... 0n1 + · · · + nm = n.2.9 Êîðíåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Îñíîâíûåñâîéñòâà. êîíå÷íîìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä F ëèíåéíûé îïåðàòîð åãî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåÎïðåäåëåíèå. Êîðíåâûì ïîäïðîñòðàíñòâîì îïåðàòîðà ϕ,ñîîòâåòñòâóþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ, íàçûâàåòñÿV (λ) = {v ∈ V | (ϕ − λ id)m(v) = 0 äëÿ íåêîòîðîãî m ≥ 1}Çàìå÷àíèå.

Åñëè v ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé ñ.ç.λ, òî v ∈ V (λ):Vϕ:V →Vλ∈F(ϕ − λ)(v) = 0(m = 1).Ïðåäëîæåíèå (Îñíîâíûå ñâîéñòâà êîðíåâûõ ïîäïðîñòðàíñòâ)1) {0} 6= V (λ) ⊆ V ïîäïðîñòðàíñòâî;2) V (λ) ÿâëÿåòñÿ ϕ-èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì;3) Èíäóöèðîâàííûé îïåðàòîð (ϕ − µid)V (λ), µ ∈ F ,ÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíûì ïðè λ = µ,íåâûðîæäåííûì ïðè λ 6= µ;4) Îïåðàòîð ϕV (λ) èìååò òîëüêî îäíî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ.2.10 Êîðíåâîå ðàçëîæåíèå âåêòîðíîãîïðîñòðàíñòâà.àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ïîëå, êîíå÷íîìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä F , ëèíåéíûé îïåðàòîð,ïðè i 6= j.Òåîðåìà (Æîðäàíà î êîðíåâîì ðàçëîæåíèè).FVϕ:V →Vχϕ(t) = (λ1 − t)m1 . . .

(λk − t)mk λi 6= λjV =kMi=1V (λi),dim V (λi) = mi.2.11 Ìèíèìàëüíûé è õàðàêòåðèñòè÷åñêèéìíîãî÷ëåí îò ìàòðèöû Æîðäàíà.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü λ ∈ F . Ìàòðèöà âèäàλ 10 λJd,λ = 0001... 0. . . 0... ...0λ0 ∈ M (F )d1λíàçûâàåòñÿ æîðäàíîâîé êëåòêîé ðàçìåðà d, îáîçíà÷àåòñÿ Jd,λ.Îïðåäåëåíèå. Ìàòðèöåé Æîðäàíà íàçûâàåòñÿ êëåòî÷íîäèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà âèäàJ d1,λi10......0.

. . Jds,λisËåììà 1.Ïóñòü Jd,λ êëåòêà Æîðäàíà ðàçìåðà d, λ ∈ F . Òîãäà1. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí µJ = (t − λ)d.2. Spec(Jd,λ) = {λ}.3. Äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà f (x) ∈ F [x],d,λ1 000f (λ) f (λ) 2! f (λ) . . . 0f (λ)f 0(λ)...f (Jd,λ) =  00f (λ)...0...0f (d−1) (λ)(d−1)! f (d−2) (λ) (d−2)! f 0(λ) f (λ)Òåîðåìà 1. Ïóñòü J =...Jd1,λ1 . . .0 ìàòðèöà Æîðäàíà.ÒîãäàsQ1. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí χJ (t) = i=1(λi − t)d .Spec(J) = {λi , . .

. , λi }, ãäå λi , . . . , λi ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûåçíà÷åíåÿ ñðåäè λ1, . s. . , λs. s2. µJ (t) = (t − λi ) (t − λi ) . . . (t − λi )s , ãäå {λi , . . . , λi } =Spec(J), à si ìàêñèìàëüíûé ðàçìåð Æîðäàíîâîé êëåòêè,îòâå÷àþùåé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíåþ λi .3. Äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíàf (x) ∈ F [x],f (Jd ,λ ) . . .0...f (J) = .0. . .

Jds,λsip11i1p1i22pipkk101. . . f (Jds,λs )1p2.12 Òåîðåìà Æîðäàíà - ñóùåñòâîâàíèåÆîðäàíîâîé íîðìàëüíîé ôîðìû.Ïóñòü F àëãåáðàè÷åñêèé çàìêíóòîå ïîëå, V ïðîñòðàíñòâîíàä F , dim(V ) = n.Ëåììà 1. Ïóñòü ϕ ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâàV è Spec(ϕ) = {λ}. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé áàçèñ v1, . . . , vnïðîñòðàíñòâà V , ÷òî ìàòðèöà [ϕ]v ,...,v ìàòðèöà Æîðäàíà.Ïðè÷åì1...Jd1,λ . . .[ϕ]v1,...,vn = 0n0. . . Jds,λ.Òåîðåìà 1 (Æîðäàíà î ñóùåñòâîâàíèè Æîðäàíîâîéíîðìàëüíîé ôîðìû). Ïóñòü ϕ ëèíåéíîå îòîáðàæåíèåïðîñòðàíñòâà V . Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé áàçèñ v1, . . . , vnïðîñòðàíñòâà V , ÷òî ìàòðèöà [ϕ]v ,...,v ìàòðèöà Æîðäàíà.1n2.13 Òåîðåìà Æîðäàíà - åäèíñòâåííîñòüæîðäàíîâîé íîðìàëüíîé ôîðìû.Ïóñòü ϕ ∈ L(V, V ), dim(V ) = n è F àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîåïîëå.