1611672539-591dd94cca74ae9dacd3369a4980d323 (Гончаров - Лекции (2018)), страница 4

Ïî òåîðåìå 1 ïàðàãðàôà 2.12 ñóùåñòâóåò áàçèñ v1, . . . , vn, âêîòîðîì [ϕ]v ,...,v = J(ϕ) ìàòðèöà Æîðäàíà.Âîçìîæíî, ìîæíî íàéòè äðóãîé áàçèñ f1, . . . , fn ïðîñòðàíñòâà V , âêîòîðîì ìàòðèöà [ϕ]f ,...,f äðóãàÿ ìàòðèöà Æîðäàíà (ñîñòîèòèç äðóãèõ êëåòîê)?1n1nÇàôèêñèðóåì λ ∈ F , m íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ðàññìîòðèì ìàòðèöóJ(ϕ)J(ϕ) = [ϕ]v1,...,vn = ...Jd1,λ1 . . .0Îïðåäåëåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç0. . . Jds,λs.

êîëè÷åñòâîæîðäàíîâûõ êëåòîê Jm,λ ðàçìåðà m, ñîîòâåòñâóþùèõ λ, âìàòðèöå J(ϕ).Îïðåäåëåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç N (m, λ) êîëè÷åñòâîæîðäàíîâûõ êëåòîê Jd,λ ðàçìåðà d ≥ m, ñîîòâåòñâóþùèõ λ,â ìàòðèöå J(ϕ).Íàøà öåëü - äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà n(m, λ) íå çàâèñÿò îò áàçèñàv1, . . . , vn.n(m, λ)Îáîçíà÷èì ÷åðåç ri = dim(Im(ϕ − λid)i). Ïðè ýòîì r0 := V .Èç 1-ãî ñåìåñòðà ìû çíàåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ψ ∈L(V, V ) ðàçìåðíîñòü îáðàçà dim ψ(V ) ñîâïàäàåò ñ ðàíãîì ìàòðèöûîïåðàòîðà ψ â ëþáîì áàçèñå: dim ψ(V ) = r([ψ]).Ëåììà 1 n(m, λ) = rm−1 − 2rm + rm+1.Òåîðåìà 1(Æîðäàíà î åäèíñòâåííîñòè æîðäàíîâîéíîðìàëüíîé ôîðìû).

Ïóñòü ϕ ∈ L(V, V ), F àëãåáðàè÷åñêèçàìêíóòîå ïîëå. Òîãäà æîðäàíîâà ôîðìà îïåðàòîðàåäèíñòâåííà ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè êëåòîê.ϕ2.14 Çàäà÷à î ïîäîáèè ìàòðèö.Îïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà A ∈ M (F ) ïîäîáíà ìàòðèöå B ∈ M (F ),åñëè ñóùåñòâóåò îáðàòèìàÿ ìàòðèöà T ∈ Mn(F ) òàêàÿ, ÷òî A =T BT −1.Îáîçíà÷àåòñÿ A ∼ B.Ïðåäëîæåíèå 1. ” ∼ ” îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.nnÇàìå÷àíèå. 1. Ìàòðèöûïîäîáíû òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ ìàòðèöàìè îäíîãî è òîãîæå ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà â ðàçíûõ áàçèñàõ(ïîíÿòü (!) - óïàðàæíåíèå).2. Åñëè F àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòîå ïîëå, òî ëþáàÿ ìàòðèöàïîäîáíà ìàòðèöå Æîðäàíà.A, B∈Mn(F )Òåîðåìà 1 (çàäà÷à î ïîäîáèè ìàòðèö).

Ïóñòü A, B ∈ M (F )è F àëãåáðàè÷åñêè àìêíóòîå ïîëå. Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿýêâèâàëåíòíû:1. A ∼ B.2. Spec(A) = Spec(B) è nA(m, λ) = nB (m, λ) äëÿ ëþáîãî λ ∈Spec(A), m ∈ N.3. J(A) ñîâïàäàåò ñ J(B) ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè êëåòîê.n2.15 Ôóíêöèè îò ìàòðèö.Ðàññìîòðèì ìàòðèöó A ∈ Mn(C) íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë C.Ïóñòü f (x) : C → C ïðîèçâîëüíàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ.Ìû õîòèì îïðåäåëèòü f (A), òî åñòü îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ôóíêöèèf (x) íà ìàòðèöå A.Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü æîðäàíîâà êëåòêà ðàçìåðà d ññîáñòâåííûì çíà÷åíèåì è ôóíêöèÿòàêàÿ, ÷òîîïðåäåëåíû è êîíå÷íû. Òîãäà îïðåäåëèìJd,λλf (x) : C → Cf (λ), f 0(λ), . . . , f (d−1)(λ)0 (λ) 1 f 00 (λ)f(λ)f2! 0f (Jd,λ) :=  00f (λ)f 0(λ)...0.........f (λ)0f (d−1) (λ)(d−1)! f (d−2) (λ) (d−2)!  .f 0(λ) f (λ)Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A ∈ M (C) è J(A) = T ATôîðìà ìàòðèöû A,nJ(A) = ...Jd1,λ1 . .

.00. . . Jds,λs(−1) æîðäàíîâà.Ïóñòü f (x) : C → C ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãîîïðåäåëåíû f (Jd ,λ ). Òîãäà îïðåäåëèìii...f (Jd1,λ1 ) . . .f (J(A)) = T −1 00. . . f (Jds,λs ) T.iÒåîðåìà 1. 1. Ïóñòüìíîãî÷ëåí. Òîãäà äëÿ ëþáîé ìàòðèöûçíà÷åíèå(â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ äàííîé ãëàâû) ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûìçíà÷åíèåì ìíîãî÷ëåíà f (x) íà ìàòðèöå A, ò.å.f (x) = a0 + a1x + . . . + anxn ∈ C[x]A ∈ Mn(C)f (A)f (A) = a0E + a1A + . .

. + anAn.2. Åñëè äëÿ ôóíêöèé f1(x) è f2(x) è ìàòðèöû A ∈ Mn(C)îïðåäåëåíû çíà÷åíèÿ f1(A) è f2(A), òî äëÿ ôóíêöèé f (x) =f1(x) + f2(x) è g(x) = f1(x)f2(x) òàê æå îïðåäåëåíû f (A) è g(A).Ïðè ýòîì f (A) = f1(A) + f2(A) è g(A) = f1(A)f2(A).3. Åñëè λ1, . . . , λn ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A, òîf (λ1), . . . , f (λn) ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû f (A) (åñëè îíàîïðåäåëåíà).2.16 Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè îò ìàòðèöûìíîãî÷ëåíîì.Ïóñòü A ∈ Mn(C),µA(t) = (t − λ1)m . . .

(t − λk )m ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí, λi 6= λjïðè i 6= j,m = m1 + · · · + mk ≤ n.1kËåììà 1. (îáîáùåííàÿ èíòåðïîëÿöèÿ). Äëÿ ëþáûõ a,i=1, . . . , k, j = 0, . . . , mi − 1, ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí p(t) ∈ C[t], òàêîé,÷òîij ∈ Cp(j)(λi) = aij ,i = 1, . . . , k, j = 0, . . . , mi − 1.Òåîðåìà 1. Çíà÷åíèå ëþáîé ôóíêöèèîò ìàòðèöû A ∈Mn(C) (åñëè f (A) îïðåäåëåíî) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ìíîãî÷ëåíîìîò ìàòðèöû A. Çíà÷åíèå f (A) íå çàâèñèò îò ìàòðèöû ïåðåõîäà T .f (x)Ãëàâà 3. Åâêëèäîâû è óíèòàðíûåïðîñòðàíñòâà.3.1 Àêñèîìàòèêà è ïðèìåðû åâêëèäîâûõ èóíèòàðíûõ ïðîñòðàíñòâ.Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî êîíå÷íîìåðíîåâåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V íàä F = R, ñíàáæåííîå îòîáðàæåíèåì( , ) : V × V → F , òàêèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ u, v, u1, u2 ∈ V , α, β ∈ R:1.

(αu1 + βu2, v) = α(u1, v) + β(u2, v);2. (u, v) = (v, u);3. (u, u) âåùåñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî äëÿ âñåõ u 6= 0.Îïðåäåëåíèå.Óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî êîíå÷íîìåðíîåâåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî V íàä F = C, ñíàáæåííîå îòîáðàæåíèåì( , ) : V × V → F , òàêèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ u, v, u1, u2 ∈ V , α, β ∈ C1.

(αu1 + βu2, v) = α(u1, v) + β(u2, v);2. (u, v) = (v, u);3. (u, u) âåùåñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî äëÿ âñåõ u 6= 0.Îïðåäåëåíèå.Òàêîå îòîáðàæåíèå(·, ·) : V × V → C (R)íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.Ïóñòü V óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî. Òîãäà1.

Äëÿ ëþáûõ a, b ∈ V, α ∈ C: (a, αb) = α(a, b).2. Äëÿëþáûõa, b, c ∈ V : (a, b + c) = (a, b) + (a, c).3. (Pi αiai, Pj βj bj ) = i,jP αβj (ai, bj ).4. Äëÿ ëþáîãî a, ∈ V : (a, 0) = (0, a) = 0.Ïðåäëîæåíèå 1.Ïðèìåðû.(1) V = Cn:u = (x1, . . . xn),v = (y1, . . . , yn) ⇒ (u, v) = x1ȳ1 + · · · + xnȳn, óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî (äëÿ Rn åâêëèäîâî).(2) V = R[x]n (ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè ≤ n):(f, g) = åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî.Z10f (x)g(x) dx3.2 Äëèíà âåêòîðà.

Íåðàâåíñòâî Êîøè Áóíÿêîâñêîãî.Ïóñòü V óíèòàðíîå èëè åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî.qÎïðåäåëåíèå. Äëÿ âåêòîðà a ∈ V ÷èñëî kak = (a, a) íàçûâàåòñÿäëèíîé âåêòîðà a.Ñâîéñòâà.1. Äëÿ ëþáîãî a ∈ V : kak ∈ R, kak ≥ 0 è kak = 0 ⇔2. Äëÿ ëþáîãî α ∈ C, a ∈ V :kαak =q(αa, αa) =qαᾱ(a, a) =qa=0.|α|2(a, a) = αkak.Òåîðåìà 1 (íåðàâåíñòâî Êîøè Áóíÿêîâñêîãî). Ïóñòü Vóíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî.

Òîãäà äëÿ ëþáûõ u, v ∈ V|(u, v)| ≤q(u, u)(v, v) = kukkvk,ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà u è vëèíåéíî çàâèñèìû.Óïðàæíåíèå(íåðàâåíñòâîòðåóãîëüíèêà).óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî. Òîãäà äëÿ ëþáûõ u, v ∈ Vku + vk ≤ kak + kbk.ÏóñòüV3.3 Îðòîãîíàëüíîñòü. Ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè. óíèòàðíîå èëè åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâîÎïðåäåëåíèå. Âåêòîðû u, v ∈ V íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè,åñëè (u, v) = 0;Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà âåêòîðîâ v1, . .

. , vn ∈ V íàçûâàåòñÿîðòîãîíàëüíîé, åñëè (vi, vj ) = 0 ïðè i 6= j.Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà âåêòîðîâ v1, . . . , vn ∈ V íàçûâàåòñÿîðòîíîðìèðîâàííîé, åñëè v1, . . . , vn îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà è(vi, vi) = 1 äëÿ ëþáîãî i.VËåììà 1.Îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç íåíóëåâûõ âåêòîðîâ,ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé.(ïðîöåññ Ãðàìà Øìèäòà).Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû âåêòîðîâ v1, . . .

, vn ∈ V (n ≥ 1) íàéäåòñÿîðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà u1, . . . , uk ∈ V (k ≤ n) òàêàÿ, ÷òîÒåîðåìà 1L(v1, . . . , vn) = L(u1, . . . , uk ).Ïðåäëîæåíèå 1.Ïóñòü e1, . . . , en îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V , v ∈V . Òîãäàv = (v, e1)e1 + (v, e2)e2 + · · · + (v, en)en.3.4 Îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå.Ïóñòü V åâêëèäîâî èëè óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî,S ⊆ V ïîäìíîæåñòâî. ÒîãäàS ⊥ = {v ∈ V | (u, v) = 0 äëÿ âñåõ u ∈ S}íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì ê ïîäìíîæåñòâó S â V .Òåîðåìà 1(îñíîâíûå ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ).1) {0}⊥ = V , V ⊥ = {0};2) Äëÿ ëþáîãî S ⊆ V ìíîæåñòâî S⊥ ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîìâ V;3) Åñëè U ⊆ V ïîäïðîñòðàíñòâî, òî V = U ⊕ U ⊥Óïðàæíåíèå.Ïóñòü U1, U2 ïîäïðîñòðàíñòâà åâêëèäîâà (óíèòàðíîãî)ïðîñòðàíñòâà V .

Âåðíû ëè ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:(U1⊥)⊥ = U1,Óïðàæíåíèå.(U1 + U2)⊥ = U1⊥ ∩ U2⊥,(U1 ∩ U2)⊥ = U1⊥ + U2⊥?Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà S åâêëèäîâà(óíèòàðíîãî) ïðîñòðàíñòâà V âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî(S ⊥)⊥ = L(S).3.5 Èçîìîðôèçì åâêëèäîâûõ/óíèòàðíûõïðîñòðàíñòâ.Äëÿ ëþáîãî åâêëèäîâà (óíèòàðíîãî) ïðîñòðàíñòâà Vðàçìåðíîñòè n íàéäåòñÿ èçîìîðôèçì âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâÒåîðåìàòàêîé, ÷òîϕ : V → Rn (Cn)(u, v) = (ϕ(u), ϕ(v)) ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå èç ïðèìåðà 1 ïàðàãðàôà 3.1.3.6 Ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû íà åâêëèäîâîì(óíèòàðíîì) ïðîñòðàíñòâå. êîíå÷íîìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì F .Îïðåäåëåíèå.

Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ϕ : V → F íàçûâàåòñÿëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì íà V(F ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè 1íàä F ).VÎïðåäåëåíèå. Ïðîñòðàíñòâî Hom(V, F ) = L(V, F ) âñåõ ëèíåéíûõôóíêöèîíàëîâ íà V îáîçíà÷àåòñÿ V ∗, íàçûâàåòñÿ äóàëüíûì(äâîéñòâåííûì, ñîïðÿæåííûì) âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì ê V .dimF V ∗ = dimF (Hom(V, F )) = dimF V dimF (F ) = dim(V )Ñëåäîâàòåëüíî, dim V ∗ = dim V ..Ïðèìåð 1.,,V = Mn(F ) A ∈ Mn(F ) ϕ(A) = tr(A)Mn(F ).

ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íàÏðèìåð 2.Ïóñòü V åâêëèäîâî (óíèòàðíîå) ïðîñòðàíñòâî, u ∈ V . Òîãäàîòîáðàæåíèåϕu = (·, u) :V → F(F = R, C),v 7→ (v, u),v ∈ V,ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì íà V .Åñëè u1 6= u2, òî (·, u1) 6= (·, u2): èíà÷å: ∀v ∈ V (v, u1) = (v, u2) ⇒(v, u1 − u2) = 0 ⇒ u1 − u2 = 0 (âîçüìåì v = u1 − u2).Çàìåòèì, ÷òî â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå îòîáðàæåíèå ψu = (u, ·) :v 7→ (u, v) íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì (ïî÷åìó?).V åâêëèäîâî èëè óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî.Òåîðåìà.Ëþáîé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë ϕ íà V èìååò âèä ϕ = (·, u) = ϕuäëÿ ïîäõîäÿùåãî u ∈ V .

åâêëèäîâî èëè óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî.Ñëåäñòâèå.Ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäóâåêòîðàìèïðîñòðàíñòâà V è ëèíåéíûìè ôóíêöèîíàëàìè èç V ∗:• ëþáîìó âåêòîðó u ∈ V ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèîíàë (·, u);• ëþáîìó ôóíêöèîíàëó ϕ ∈ V ∗ ñîîòâåòñòâóåò âåêòîðPu = i ϕ(ei)ei ∈ V (e1, . . . , en îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ V ),÷òî ϕ(v) = (v, u).(!) Âåêòîð u íå çàâèñèò îòâûáîðàîðòîíîðìèðîâàííîãîáàçèñà(òàê êàê åñëè (v, u) = (v, u0) äëÿ ëþáîãî v ∈ V , òî u = u0).Ýòî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ∗ ñîîòâåòñòâèå ïîçâîëÿåòîòîæäåñòâëÿòü ïðîñòðàíñòâà V è V :Vu ∈ V ↔ (·, u) ∈ V ∗3.7 Ñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû íà åâêëèäîâîì(óíèòàðíîì) ïðîñòðàíñòâå.Ïóñòü V êîíå÷íîìåðíîå åâêëèäîâî (óíèòàðíîå) ïðîñòðàíñòâîíàä ïîëå F = R(C), ϕ : V 7→ V ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå.Îïðåäåëåíèå.

Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ϕ∗ : V 7→ V íàçûâàåòñÿñîïðÿæåííûì ê ëèíåéíîìó îòîáðàæåíèþ ϕ òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà äëÿ ëþáûõ x, y ∈ V :(ϕ(x), y) = (x, ϕ∗(y)).Äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ϕ : V → Vñîïðÿæåííîå îòîáðàæåíèå ϕ∗ ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.Òåîðåìà 1.3.8 Îñíîâíûå ñâîéñòâà ñîïðÿæåííîãîïðåîáðàçîâàíèÿ. åâêëèäîâî èëè óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî.ϕ : V → V ëèíåéíûé îïåðàòîð.VÏðåäëîæåíèå 1.1. (ϕ1ϕ2)∗ = ϕ∗2ϕ∗1;2.

(ϕ∗)∗ = ϕ;3. (αϕ1 + βϕ2)∗ = ᾱϕ∗1 + β̄ϕ∗2.4. Ïóñòü U ⊆ V ïîäïðîñòðàíñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíîϕ. Òîãäà U ⊥ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ϕ∗.Òåîðåìà 1.Ïóñòü e1, . . . , en îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V ,A = [ϕ]e ,...,e ìàòðèöà îïåðàòîðà ϕ â ýòîì áàçèñå. Òîãäà1n[ϕ∗]e1,...,en = Ā|.3.9 Íîðìàëüíûå îïåðàòîðû. Êàíîíè÷åñêèé âèäìàòðèöû íîðìàëüíîãî îïåðàòîðà óíèòàðíîãîïðîñòðàíñòâà. åâêëèäîâî èëè óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì F = R(C), ëèíåéíûé îïåðàòîð.Îïðåäåëåíèå.

Îïåðàòîð ϕ íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì, åñëèVϕ:V →Vϕ∗ϕ = ϕϕ∗.Îïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà A ∈ Mn(F ) íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé, åñëèAĀ| = Ā|A.Îñíîâíûå (íàèáîëåå âàæíûå) êëàññû íîðìàëüíûõ îïåðàòîðîâ:(A ìàòðèöà îïåðàòîðà â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå)• Íà åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ: Ñèììåòðè÷åñêèå îïåðàòîðû: ϕ∗ = ϕ (A| = A); Êîñîñèììåòðè÷åñêèå îïåðàòîðû: ϕ∗ = −ϕ (A| = −A); Îðòîãîíàëüíûå îïåðàòîðû: ϕ∗ = ϕ−1 (A| = A−1);• Íà óíèòàðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ: Ýðìèòîâû îïåðàòîðû: ϕ∗ = ϕ (A| = Ā); Êîñîýðìèòîâû îïåðàòîðû: ϕ∗ = −ϕ (A| = −Ā); Óíèòàðíûå îïåðàòîðû: ϕ∗ = ϕ−1 (A| = Ā−1)Ëåììà 1.Ïóñòü ϕ íîðìàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïðîìòðàíñòâà.

Òîãäà1. Åñëè x ñîáñòâåííûé âåêòîð ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ,ñîîòâåòñâóþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ, òî ϕ∗(x) = λ̄x.2. Ïóñòü α 6= β è ϕ(x) = αx, ϕ(y) = βy. Òîãäà (x, y) = 0.3. Ïóñòü λ ∈ F ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ, a ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé λ è L1 = L(a). Òîãäà L⊥1 èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ϕ è îãðàíè÷åíèå ϕL íîðìàëüíîåïðåîáðàçîâàíèå íà L⊥1 .V⊥1Òåîðåìà (êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöûïðåîáðàçîâàíèÿ óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâà).íîðìàëüíîãîÏóñüò V óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî è ϕ íîðìàëüíîåïðåîáðàçîâàíèå íà V . Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîéîðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà V , â êîòîðîì ìàòðèöàîïåðàòîðà ϕ äèàãîíàëüíà.Ëèíåéíûé îïåðàòîð óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâà Vÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â Vñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâïðåîáðàçîâàíèÿ ϕ.Ñëåäñòâèå.3.10 Êàíîíè÷åñêèé âèä ìàòðèöû íîðìàëüíîãîîïåðàòîðà åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.Ïóñòü V åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, ϕ íîðìàëüíûé îïåðàòîðíà V .Ëåììà 1.