Лекция23фмп (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть)
Описание файла
PDF-файл из архива "Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 2 часть", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Лекция 13ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ(2)Дифференцируемость функции нескольких переменныхЧастные производныеГеометрический смысл частных производных.Дифференцируемость функции нескольких переменныхДифференцирование сложной функции, зависящей от одной переменнойДифференцирование сложной функции, зависящей от несколькихпеременныхДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХЧастные производныеРассмотрим функцию f x, y , определенную в области D.Приращение x z , называемое частным приращением по переменнойx, определяется равенством x z f x x, y f x, y .Аналогично y z f x, y y f x, y .Полное приращение функции z f x, y определяется равенством z f x x , y y f x, y .Определение 13.1Частной производной функции z f x, y по переменной x называетсяпредел отношения частного приращения функции x z к вызвавшему егоприращению аргумента x при условии, что последнее стремится к нулю.Обозначается такая частная производнаяz.xИтак,z defz x x, y z x, y limx x0xЧастная производная по переменной x обозначается также z x f x x, y .yzzz deflimАналогично определяется частная производная, т.е..yy y0 yГеометрический смысл частных производных.Допустим, что в области D функция z f x, y положительна.
Этой функции соответствует некоторая поверхность S, расположенная над областью DПринимая во внимание геометрический смысл обыкновенной производной,zнетрудно заметить, что значение частной производнойв точке M x, y даетxнам тангенс угла наклона касательной к линии пересечения поверхностиz f x, y и плоскости y const c положительным направлением оси 0xzSxy(x , y )(x x,y)x xxy constЗначение частной производнойzв точке M x, y соответственно равноyтангенсу угла наклона касательной к линии пересечения поверхностиz f x, y и плоскости x const с положительным направлением оси 0y.zyBEyzDCMFAx0xyОпределение 13.2Произведение частных производныхпеременныхxиyzzина приращения независимыхxyназываются частными дифференциалами иобозначаются соответственно d x z и d y z , т.е.defdefzzdxz x, dyz yxyАналогично определяются и частные производные от функций, зависящих оттрех и более независимых переменных.При отыскании частной производной по x на все прочие переменные,входящие в выражение функции, следует смотреть как на постоянные.Поэтому остается в силе таблица производных и правила дифференцирования,рассмотренные подробно при изучении производных функции одной переменнойПример1.u xyt 2 1 x 2 z .
НайтиРешение.1.uxz yt 2 x1 x2z2.u xt 2y3.u 2x y ttux24.z2 1 x2 zu,xu,yu,tu.zДифференцируемость функции нескольких переменныхРассмотрим функцию двух независимых переменныхопределенную в некоторой области D плоскости x0y.z f x, y ,Определение 13.3.Если полное приращение функции z f x, y в точке x, y можно представить в виде z A x B y x y ,где A и B – выражения, не зависящие от x и y ,а и бесконечно малые, стремящиеся к нулю,если x 0 , y 0 ,то функция z f x, y называется дифференцируемой в точке x, y .Теорема 13.1Если функция z f x, y дифференцируема в точке x, y , то у нееzzсуществуют частные производныеив этой точке.x yДоказательство.Итак, пусть функция z f x, y дифференцируема в точке x, y , тогда ееполное приращение равноz Ax B y x yЕсли мы зафиксируем y, т.е.
положим y 0 , то получим частное приращениеxz A x x .Отсюда следует, что существует частная производнаяz.xz xzlim lim A Действительно x x 0 x x 0T.к. A от x не зависит, а 0 при x 0 , то получимСовершенно аналогичноz B.yz A.xТо есть, если функция дифференцируема в точкеприращение можно записать в видеz x, y ,тоее полноеz x, y z x, y x y x yxyгде 0 , 0 при x 0 , y 0 .Отметим, что так же, как для функции одной переменной, из дифференцируемостиz f x, y в точке x, y вытекает ее непрерывность в этой точке.Действительно, очевидно, что в этом случае полное приращение z 0 при x 0 , y 0 .Определение 13.3Дифференциалом функции z f x, y называется линейная относительно x и y часть полного приращения дифференцируемой функции, т.е.defdz z x, y z x, y x yxyЗаметим, что если x и y – независимые переменные, тодифференциалы этих переменных совпадают с их приращениями, т.е.dx x , dy y .
Тогда можно уточнить форму дифференциала функции,зависящей от двух независимых переменных:defdz z x, y z x, y dx dyxyТеорема 13.2 (достаточные условия дифференцируемости функциинескольких переменных )Если в некоторой точке M x, y , принадлежащей области D, функцияz x, y z x, y и, тоz f x, y имеет непрерывные частные производныеxyона в этой точке дифференцируема.Доказательство.Рассмотрим полное приращение функции z f x, y и преобразуем его так: z f x x, y y f x, y f x x, y y f x, y y f x, y y f x, y К каждой из квадратных скобок можно применить теорему Лагранжа;тогда получим z f x x 1 x, y y x f y x, y 2 y y ,где 1 и 2 есть некоторые константы, удовлетворяющие условиям0 1 1 , 0 2 1 .По условию теоремы частные производные f x x, y , f y x, y непрерывны вточке M x, y ; это означает, чтоlim f x x 1 x, y y f x x, y , x 0 y 0lim f y x, y 2 y f y x, y . x 0 y 0Отсюдаf x x 1 x, y y f x x, y ,f y x, y 2 y f y x, y , и некоторые бесконечно малые,т.е.
0 , 0 при x 0 , y 0 .Таким образом, z f x x, y x f y x, y y x y .А это и означает, что функция z f x, y дифференцируема в точке M x, y .Определение 13.4Функция z f x, y называется дифференцируемой в некоторой области D,если она дифференцируема в каждой точке этой области.ЗамечаниеВсе, сказанное выше, распространяется на функции, зависящие от любогочисла независимых переменных.Дифференцируемость функции в точке, как мы установили, приводит кее непрерывности.
Поэтому из непрерывности частных производныхфункции вытекает непрерывность самой функции в точке. Дляисследование функции нескольких переменных на непрерывность врассматриваемой точке достаточно установить факт непрерывностичастных производных этой функции в данной точке.Существованиеf x , f yНепрерывностьf x , f yДифференцируемостьf x , y Непрерывностьf x , y 4201.51-2z3xy0.50-4-2-101242032-2z xy10-4-2-101242032-22zx y102-4-2-1012ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХДифференцирование сложной функции зависящей отодной переменнойРассмотрим функцию двух аргументов z f x, y .
Пусть, в свою очередьаргументы x и y являются функциями некоторого аргумента t : x xt ,y y t . Тогда ясно, что z является сложной функцией аргумента t, причем x и yвыступают здесь в качестве промежуточных аргументов, т.е.z f xt , y t .Предположим, что функция f x, y дифференцируема в некоторойточке M x, y , а функции x xt и y y t дифференцируемы попеременной t.
Тогда ясно, что если переменная t получит приращение t ,то переменные x xt и y y t получат приращения x и y ,следовательно, функция z f x, y получит полное приращениеz zzx y x y,xyгде 0 , 0 при x 0 , y 0 .Разделим обе части этого равенства на t : z z x z yxy . t x t y tttУстремим теперь t к нулю, тогда и x 0 , y 0 , причем y dy x dxlim , lim . t 0 tt0dt t dtОкончательно получимdz z dx z dy .dt x dt y dtdz, если z x 2 y , x cost 2 , y tg t .dtdy1Решение.
Имеем dx sin t 2 2t ,,2dtdt cos tzxz1,,22xyx y2 x yПример. Найтитогдаdzdt11 4t cos3 t 2 sin t 2 2t sin t .2x2 y2 x 2 y cos t 2 cos 2 t cos 2 t 2 tg tx21Нетрудно обобщить сказанное на случай z f t , x t ,y t . Получимdz z z dx z dy .dt t x dt y dtПример. Найтиdz, если z x y t 2 , x ln t , y e arctg t .dtzzz 2 xyt , y t2, x t2,txydx 111 dy1 , e arctgt , получим2dtt 2 t 2t dt1 tarctgtdzln t t 2 earctgt2 12 earctgtarctgt 2 1 2xyt yt xt 2ln t et et 2dt2t2t1 t1 t2Решение.
Ясно, чтоДифференцирование сложной функции зависящей от нескольких переменныхРассмотрим теперь вопрос о дифференцировании функции z z u, ,где в свою очередь, u = u(x, y), υ υx, y , причем функция z z u, дифференцируема по своим аргументам u и , а функции u x, y иυ x, y , в свою очередь, дифференцируемы по переменным x и y.Дадим приращение переменной x, тогда функции u x, y и υ x, y получают частные приращения x u и x , функция z z u, получитполное приращение, вызванное изменениями переменных u и , но поотношению к переменной x это приращение будет частным, т.е.
получимxz zz xu x xu x ,uгде и стремятся к нулю при x u и x , стремящихся к нулю.Разделим левую и правую часть этого равенства на x : x z z x u z x u x x . x u x xxxУстремляя x к нулю, получимАналогичноz z u z .x u x xz z u z .y u y yПример.
ВычислитьРешение. Имеемu 3y cos 3xy ,xv yy 2 sin ,x xxz zyи, если z u 2 u , u sin 3 xy , cos .x yxz2u ;2u 2 u uu 3x cos 3xy .yv1y sin .yxxzu,2 2 u uПринимая во внимание полученные выше выражения дляzzи,xyполучимz2u uyy 3 y cos 3 xy 2 sin x 2 u 2 ux2 u 2 u xyyy2sin3xycossin 3xy 2 sin 3y cos 3xyxxxyy2 sin 2 3xy sin 3xy cos2 sin 2 3xy sin 3xy cosxxzyнаходится аналогично.