1610907571-6fe73e068368dd3ebacff69ec111f514 (реферат Старовойтов), страница 8

Äëÿ òîãî, ÷òîáû f(a, b), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû f ′ (x) = 0 äëÿ âñåõ x ∈ (a, b).Ñëåäñòâèå. Ïóñòüïîñòîÿííîé íàÒåîðåìà. (Ráûëà•Òåîðåìà Êîøè î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ ) Ïóñòü f : (A, B) → R è g : (A, B) → äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè. Òîãäà äëÿ ëþáîé èíòåðâàë()()ξ , ÷òî g ′ (ξ) f (b) − f (a) = f ′ (ξ) g(b) − g(a) .(a, b) ⊂ (A, B)ñîäåðæèò•òàêóþ òî÷êóÔîðìóëà ÒåéëîðàÏðè èññëåäîâàíèè ôóíêöèè ñëîæíîãî âèäà áûâàåò ïîëåçíî çàìåíèòü å¼ áîëåå ïðîñòîé,íî â êàêîì-òî ñìûñëå áëèçêîé ê èñõîäíîé. Õîðîøèìè êàíäèäàòàìè íà ðîëü ýòîé ïðîñòîéôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìû.Ïóñòü ôóíêöèÿf :R→R ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, ò.å., îíà äèôôåðåíöèðóåìà ñòîëüêî ðàç,ñêîëüêî íàì ïîòðåáóåòñÿ.

Çàôèêñèðóåì êàêóþ-ëèáî òî÷êóx0è ñîñòàâèì ïîëèíîì∑ 11 (n)f (x0 )(x − x0 )n =f (k) (x0 )(x − x0 )k .n!k!k=0nPn (f, x, x0 ) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + . . . +f (x) è Pn (f, x, x0 ), ìûäîëæíû îöåíèòü rn (f, x, x0 ) = f (x) − Pn (f, x, x0 ). Î÷åâèäíî, ÷òî Pn (f, x, x0 ) → f (x) ïðèn → ∞ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà rn (f, x, x0 ) → 0 ïðè n → ∞. Òàêèì îáðàçîì, íàìíåîáõîäèìî èññëåäîâàòü ôóíêöèþ rn (f, x, x0 ). Çàïèñàâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â íåñêîëüêîÄëÿ òîãî, ÷òîáû îòâåòèòü íà âîïðîñ, íàñêîëüêî áëèçêè çíà÷åíèÿäðóãîé ôîðìå, ìû ïîëó÷èì ôîðìóëó Òåéëîðà :f (x) =Ôóíêöèÿrn (f, x, x0 )n∑1 (k)f (x0 )(x − x0 )k + rn (f, x, x0 ).k!k=0íàçûâàåòñÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìóëå Òåéëîðà.

Ïðèx0 = 0ôîðìóëà Òåéëîðà ÷àñòî íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ìàêëîðåíà.Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:Ia,x{(a, x), x > a,=(x, a), x < a,I a,x{[a, x], x > a,=[x, a], x < a,f : (A, B) → R (n + 1) ðàç äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ è x0 ∈ (A, B).x ∈ (A, B) è ëþáîé ôóíêöèè ϕ, íåïðåðûâíîé íà I x0 ,x , äèôôåðåíöèðóåìîé′÷òî ϕ ̸= 0 íà Ix0 ,x , ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà ξ ∈ Ix0 ,x , ÷òîÒåîðåìà. ÏóñòüÒîãäà äëÿ ëþáîãîíàIx0 ,xè òàêîé,rn (f, x, x0 ) =Âîçüìåìϕ(t) = x − t.rn (f, x, x0 ) =ϕ(x) − ϕ(x0 ) (n+1)f(ξ)(x − ξ)n .′n! ϕ (ξ)Òîãäà(x − x0 ) (n+1)f(ξ)(x − ξ)nn!30 îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Êîøè.•Âîçüìåìϕ(t) = (x − t)n+1 .rn (f, x, x0 ) =Òîãäà1f (n+1) (ξ)(x − x0 )n+1(n + 1)! îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà.ϕ : (A, B) → R n ðàç äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, x0 ∈ (A, B)ϕ (x0 ) = .

. . = ϕ(n) (x0 ) = 0, òî ϕ(x) = o(|x − x0 |n ) ïðè x → 0.Ëåììà. Åñëè′Òåîðåìà. (nx0 ∈ (A, B).Òîãäàn∑1 (k)f (x) =f (x0 )(x − x0 )k + o(|x − x0 |n )k!k=0Ïðèìåð. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèèexex =n∑xkk!k=0ξ ∈ I0,x . Ïåðåõîäÿ â ýòîì ðàâåíñòâåxôóíêöèè e â ðÿä Òåéëîðà â òî÷êå 0:ãäå+∞∑xkk=0x=1×èñëîf :R→Rex → x0 .x0 = 0•ñ îñòàòî÷íûìeξ xn+1,(n + 1)!ê ïðåäåëó ïðèex = ÷àñòíîñòè, ïðèïðèïî ôîðìóëå Òåéëîðà â òî÷êå÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà:Ïóñòüϕ(x0 ) =•Ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ïåàíî) Ïóñòü f : (A, B) → Rðàç äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ èÒåîðåìà.èk!n → ∞,ìû ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå.ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ÷èñëàe: e =∑∞k=0•1/k!.•èððàöèîíàëüíî. áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Ðÿä∞∑1 (k)f (x0 )(x − x0 )kk!k=0íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèèfâ òî÷êåx0 .Åñëè çíà÷åíèå ôóíêöèèfñîâïàäàåò ñx0 , òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ fx0 .

Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé íà ìíîæåñòâå E ,ñóììîé å¼ ðÿäà Òåéëîðà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êèÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â òî÷êååñëè îíà àíàëèòè÷íà â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ìíîæåñòâà.Ïðèìåð. Ôóíêöèÿsinàíàëèòè÷íà íàRè∞∑(−1)kx2k+1sin x =(2k+1)!k=0Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî äëÿ ëþáîãîÏðèìåð.

Ôóíêöèÿcosàíàëèòè÷íà íàRx ∈ R.•ècos x =∞∑(−1)kk=031(2k)!x2kÝòîò ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî äëÿ ëþáîãîx ∈ R.•Ïðèìåð. Ñóùåñòâóþò áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿàíàëèòè÷åñêèìè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ()exp − 1 , x ̸= 0,f (x) =x20,x = 0.f ∈ C ∞ (R). Êðîìå òîãî, f (k) (0) = 0 äëÿ âñåõ k ∈ N. ÏîýòîìóPn (f, x, 0) = 0 äëÿ âñåõ x ∈ R è âñåõ n ∈ N. Íî f ̸≡ 0 íà R (ýòà ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ âíóëü òîëüêî â òî÷êå x = 0), ïîýòîìó Pn (f, x, 0) ̸→ f (x) ïðè n → ∞, åñëè x ̸= 0.•Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òîÏðèìåð.

(Íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè ) Åñëè α ∈ [1, ∞) è x ∈ [−1, ∞), òî (1 + x)α > 1 + αx.•Ïðàâèëî ËîïèòàëÿÒåîðåìà. (Ïðàâèëîx ∈ (a, b).Ïóñòü ôóíêöèè f : (a, b) → R è g : (a, b) → R äèôôå(a, b) (−∞ 6 a < b 6 +∞), ïðè÷¼ì g(x) ̸= 0 è g ′ (x) ̸= 0 ïðèËîïèòàëÿ )ðåíöèðóåìû íà èíòåðâàëåÅñëèf ′ (x)→A∈Rg ′ (x)ïðèx → a+è âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ äâóõ óñëîâèé:1.limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0,2.|g(x)| → ∞ïðèx → a+,òîf (x)→Ag(x)ïðèx → a+.•Ïðèìåð. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ óïðîùàåò âû÷èñëåíèå íåêîòîðûõ ïðåäåëîâ.√limx→27+x−3= limx→2x−2(√)′7+x−3111= .= lim √′(x − 2)2 x→2 7 + x6•Óïðàæíåíèå. Îòâåòèòü íà âîïðîñ: ìîãëè ëè ìû äîêàçàòü òåîðåìû î çàìå÷àòåëüíûõ ïðåäåëàõ, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ? Íàïðèìåð,sin x(sin x)′= lim= lim cos x = 1.x→0 xx→0x→0x′lim32•.