2. Методы и алгоритмы наведения аэрокосмических ЛА (Лекции), страница 7

(87)m2Краевые условия для сопряженных переменных на момент t 0 не определены, так как фазовые координаты и масса ракеты на этот момент фиксированы.На момент T значения сопряженных переменных p 2 и p5 остаются неопределенными (так как координата y и масса ракеты m на этот момент времени фиксированы), а значения других сопряженных переменных равны частным производным от критериальной функции (85), взятым с обратным знаком:(88)p1 (T)  1, p3 (T)  0, p4 (T)  0.Исследуем гамильтониан на минимум по переменным  и  . Введемследующее обозначение:w ист(89)(p3 cos   p 4 sin )  p5 .mИз условия минимума гамильтониана вытекает следующий закон изменения параметра  : , H  0,   max(90)H  0.0,Как видим, закон изменения параметра  определяется знаком функцииH , которая, таким образом, играет роль функции переключения управления.Если бы в данной задаче существовали интервалы времени, на которых функция H , тождественно обращается в нуль, то на таких интервалах закон изменения параметра  не мог бы быть определен однозначно (случай особых управлений).

Поскольку проверка показывает, что такие интервалы времени отсутствуют, то выражение (90) может быть доопределено следующим образом: , H  0,   max(91)0,H0.Как видно из данного выражения, при полете на максимальную дальностьтяга двигательной установки либо максимальна, либо нулевая. Режимы промежуточной тяги отсутствуют.Оптимальная программа угла тангажа находится из условия минимальности функции H на тех участках полета, где   max , и определяется выражением, аналогичным (65):ptgopt  4 .(92)p3Для определения сопряженных переменных p3 и p 4 следует обратиться кдифференциальным уравнениям (85).

Интегрируя первые четыре уравнения иучитывая краевые условия (88), находим:(93)p1 (t)  1, p2 (t)  c1, p3 (t)  t  T, p4 (t)  c1 (T  t).Подставляя найденные значения p3 и p 4 в (92), получаемH(94)tgopt  c1 .Видно, что оптимальный угол тангажа постоянен на интервале полета сненулевой тягой, что соответствует ранее полученной формуле (73). На интервале полета с нулевой тягой угол тангажа, как следует из (86), произволен.Найдём возможное число переключений тяги двигательной установки,для чего найдём количество нулей функции переключения.

Для этого проанализируем производную функции H , которая имеет вид  w ист  1 .Hm cos optПроизводная функция переключения всегда положительна, поэтому самафункция переключения меняет знак не более одного раза на интервале управления и, следовательно, при полете на максимальную дальность тяга ДУ переключается не более одного раза. Это переключение (из режима максимальнойтяги на нулевую тягу) происходит в момент полной выработки имеющегося за  0 вытекает также выводпаса топлива. Из положительности производной Hоб отсутствии интервалов времени, где функция переключения тождественнообращается в нуль (так как на таких интервалах ее производная H , такжедолжна быть тождественно равной нулю).

Поэтому в данной задаче особыеуправления отсутствуют, и закон изменения параметров  и  однозначноопределяется выражениями (91) и (94).3.4. Программы угла тангажа РНс учетом ограничений на параметры движенияОдним из рациональных подходов к определению оптимальных программугла тангажа с учетом комплекса ограничений на параметры движения БР и ГЧявляется применение метода параметрической оптимизации, при котором оптимальная программа определяется на множестве (семействе) программ, выраженных в виде зависимостей от одного, двух или трех параметров. В соответствии с этим рассматриваются одно-, двух- или трехпараметрическое семействапрограмм.Однопараметрическое семейство программ используется для одноступенчатых ракет с траекториями активного полета, целиком лежащими в плотныхслоях атмосферы.

Траектория полета разделяется на три участка:– участок вертикального полета, продолжительность которого t в определяется условием безопасного старта;– участок начального разворота ракеты по углу тангажа для отклонениятраектории от вертикали (при этом появляется отрицательный угол атаки), заканчивающийся в момент t 1 при дозвуковых скоростях полета ( M  0,8 ),– участок последующего полета с нулевым углом атаки.Значение угла тангажа в момент t 1 (обозначим его 1 ) однозначно определяет все параметры движения в конце работы первой ступени ракеты, в томчисле и угол бросания  k . Таким образом, угол тангажа 1 , играет роль параметра, соответствующим выбором которого обеспечивается достижение максимальной дальности.

Как видим, задача оптимального управления сводитсяздесь к задаче на экстремум функции одной переменной (зависимости дальности стрельбы от угла 1 ) и может быть решена любым численным методом однопараметрической оптимизации.Семейство однопараметрических программ тангажа при различных значениях угла 1 в момент t 1 , показано на рис. 10.Отметим, что полет с нулевым углом атаки на интервале времени от t 1 доt k обеспечивает минимальные поперечные аэродинамические нагрузки на корпус ракеты и минимальный интегральный тепловой поток, чем достигается сохранение механической и тепловой прочности ракеты. При этом поворот вектора скорости ракеты на угол  k обеспечивается за счет силы гравитационногопритяжения, вследствие чего участок полета с нулевым углом атаки носитназвание участка гравитационного разворота вектора скорости.Рис.

10. Однопараметрическое семейство программ угла тангажаНа рис. 11 показано двухпараметрическое семейство программ угла тангажа, которые могут применяться как для одноступенчатых, так и для двухступенчатых ракет.Рис. 11. Двухпараметрическое семейство программ угла тангажаВ дополнение к ранее рассмотренному параметру 1 , здесь вводится параметр 2 – угол тангажа в момент t 2 , непосредственно предшествующий разделению ступеней, после чего угол тангажа остается постоянным.

Неизменность угла тангажа на участке разделения ступеней уменьшает возмущения иоблегчает разделение ступеней. В момент t 2 заканчивается участок гравитационного разворота вектора скорости и последующий полет происходит с монотонно возрастающим углом атаки. Это обстоятельство не приводит к возрастанию аэродинамических нагрузок, так как полет второй ступени происходит запределами атмосферы. Двухпараметрическое семейство программ тангажа име-ет дополнительную степень свободы по сравнению с однопараметрическим, поэтому позволяет достичь большую дальность пуска при сохранении допустимого уровня нагрузок на ракету и обеспечение безопасного разделения ступеней.Трехпараметрическое семейство программ тангажа применяется на двухи трехступенчатых ракетах.

Это семейство показано на рис. 12. К двум первымпараметрам управления 1 и 2 здесь добавляется третий параметр – угол тангажа 3 в момент t 3 . Этот момент выбирается так, чтобы скачок по углу тангажа с 2 до 3 начинался через несколько секунд после разделения первой ивторой ступеней, а вращение ракеты осуществлялось с допустимой угловой доп , величина которой определяется прочностью ракеты и обычноскоростью не превышает 10-20 град/с. Наличие трех оптимизируемых параметров позволяет увеличить дальность пуска по сравнению с двухпараметрическими программами при выполнении ограничений на параметры движения.Рис.

12. Трехпараметрическое семейство программ угла тангажаПри пусках на промежуточную дальность появляющийся избыток энергетики может быть использован либо для увеличения полезной нагрузки путемоснащения ракеты более тяжелой ГЧ, либо для уменьшения рассеивания ГЧ. Всвязи с этим для заданных условий пуска можно определить программа углатангажа минимального рассеивания. Структура программы минимального рассеивания остается в целом идентичной структуре рассмотренных программмаксимальной дальности.

Основное отличие состоит в том, что программы минимального рассеивания формируют более крутые траектории полета БР и ГЧ,характеризуемые большими углами бросания в момент окончания АУТ ибольшими углами входа ГЧ в атмосферу.Раздел 4НАВЕДЕНИЕ ПО МЕТОДУ ТЕКУЩЕЙ ТРЕБУЕМОЙ СКОРОСТИМетод требуемой скорости реализует принцип текущего программирования движения, при котором программы управления замкнуты и рассчитываются непосредственно в процессе полета. Поскольку понятие требуемойскорости относится к баллистическому участку полета, метод требуемойскорости как нельзя лучше подходит для наведения баллистических ракет.Он может быть применен также для наведения ЛА других типов, имеющихфазу пассивного полета – космических ракет-носителей, космических аппаратов, совершающих межорбитальные или межпланетные перелеты, и др.

Метод непригоден для наведения ЛА, у которых управляемый полет продолжается до момента встречи с целью (зенитных ракет, ракет класса «воздухвоздух» и «воздух-поверхность», крылатых ракет).Идея метода требуемой скорости была высказана впервые в 50-х годахХХ века. С тех пор этот метод получил интенсивное развитие и известен внескольких различных вариантах. Значительный вклад в разработку данногометода внесен американскими специалистами под руководством Р. Бэттина.