2. Методы и алгоритмы наведения аэрокосмических ЛА (Лекции), страница 6

Простейшие оптимальные программы угла тангажа РНРассмотрим полет РН за пределами атмосферы. Примем для активногоучастка траектории модель однородного гравитационного поля, однако при этомбудем полагать, что на пассивном участке траектории модель гравитационногополя остается произвольной и адекватной реальным условиям полета (Рис. 9).Рис. 9. Схема полета БР для модели однородного поляУравнения движения БР на АУТ имеют вид: x  P cos ,Vm y  P sin   g 0 ,Vmx  Vx ,y  Vy ,(54)где  – угол тангажа, рассматриваемый в качестве параметра управления; P –тяга ДУ, полагаемая постоянной или изменяющейся по известному закону; m –текущая масса ракеты, также изменяющаяся по известному закону.Пусть начальные условия движения ракеты в момент времени t 0 заданы:(55)x(t 0 )  x 0 , y(t 0 )  y 0 , Vx ( t 0 )  Vx 0 , Vy (t 0 )  Vy 0 .Предположим, что заданы начальная масса ракеты m 0 и запас топливаm T , а полет ракеты на АУТ осуществляется до полного израсходования запасатоплива.

При известном законе изменения массы ракеты и заданных величинахm 0 и m T известен момент t k окончания АУТ и конечная масса ракеты(56)m(t k )  mkВ качестве критериальной функции рассмотрим полную дальность полетаракеты от ее начального положения до точки падения на поверхности Земли ивыразим ее как функцию параметров движения ракеты в момент t k :(57)L  L(x k , y k , Vx k , Vy k ) ,где конкретный вид функциональной зависимости (57) определяется модельюгравитационного поля на ПУТ и влиянием атмосферы на нисходящем участкетраектории.Постановка задачи: определить программу угла тангажа, обеспечивающую достижение максимальной дальности при условии полной выработки запаса топлива.Применим для ее решения принцип максимума Л.С.

Понтрягина.Методология применения принципа максимума предусматривает следующую последовательность действий при решении задач оптимального управления:1. Введение сопряженных переменных (неопределенных множителей Лагранжа), соответствующих фазовым координатам оптимизируемой динамической системы.2. Запись функции Гамильтона (гамильтониана задачи). Если выразитьмодель динамической системы в формализованном виде: (58)q i  f i (t, q, u), i  1, nи через p i обозначить сопряженные переменные, то гамильтониан имеет вид:n H   p i f i ( t , q, u ).(59)i 13. Составление дифференциальных уравнений для сопряженных переменных по формулам:Hp i  , i  1, n(60)q i4.

Запись краевых условий для сопряженных переменных с учетом заданных краевых условий для фазовых координат и вида критериальной функции.5. Определение оптимального управления из условия экстремума гамильтониана (максимума, если решается задача на минимум критериальной функции, или минимума, если решается задача на максимум критериальной функции),  (61)u opt (t )  Arg extr H(t, p, q, u)uпри условии, что переменные p i и q i удовлетворяют дифференциальным уравнениям (58) и (60) и соответствующим краевым условиям.Следуя данной методологии, введем сопряженные переменные p1 ,, p 4 изапишем функцию H :P(62)H  p1Vx  p 2 Vy  (p3 cos   p 4 sin )  p 4 g 0mДифференциальные уравнения для сопряженных переменных:(63)p 1  0, p 2  0, p 3  p1 , p 4  p2 .Правила записи краевых условий для сопряженных переменных изложены в руководствах по применению принципа максимума.

В соответствии с этими правилами начальные условия для всех сопряженных переменных на момент t 0 остаются не определенными, так как все фазовые координаты на этотмомент времени фиксированы. С другой стороны, на момент t k все фазовыекоординаты свободны и ограничения на них отсутствуют, поэтому концевыеусловия для сопряженных переменных на этот момент времени записываютсякак частные производные от критериальной функции по соответствующим фазовым координатам на момент t k , взятые с обратным знаком:LLLLp1 ( t k )  , p 2 (t k )  , p3 (t k )  , p 4 (t k )  . (64)x ky kVx kVy kПерейдем к определению оптимальной программы угла тангажа из условия минимума гамильтониана. Ввиду того, что ограничения на допустимыезначения угла тангажа по постановке задачи отсутствуют, для определения точек экстремума функции H можно воспользоваться необходимым условиемэкстремума.

Дифференцируя H по  , и приравнивая производную нулю, получаем уравнение: p3 sin   p4 cos   0 ,откуда вытекает следующее выражение для оптимальной программы угла тангажа:ptgopt  4 .(65)p3Как видим, искомая функция изменения угла тангажа выражается черезсопряженные переменные p3 и p 4 . Для определения закона изменения данныхпеременных обратимся к уравнениям (63), которые легко интегрируются:(66)p1  c1, p2  c2 , p3  c1t  c3 , p4  c2 t  c4 .Далее можно определить постоянные интегрирования, воспользовавшиськраевыми условиями (64):LLLLLLc1  , c2  , c3  t k , c4  t k .

(67)x ky kVx k x kVy k y kПосле этого переменные p3 и p 4 выражаются следующим образом:LLp3 (t ) (t  t k ) ,x kVx kLLp 4 (t ) (t  t k ) .y kVy kВозвращаясь к выражению (65), получаем, что оптимальная программаугла тангажа имеет вид:LL(t k  t) y kVy k,(68)tgopt LL(t k  t) x kVx kФормула (68) определяет общий вид, структуру оптимальной программытангажа, однако не дает окончательного выражения для угла тангажа в видефункции времени, так как значения входящих в эту формулу баллистическихпроизводных зависят от параметров движения ракеты в момент t k и, следовательно, от самой программы тангажа. Раскрыть эту взаимную зависимость программы тангажа и баллистических производных можно только методом последовательных приближений. Например, задаваясь некоторой начальной функцией угла тангажа, интегрируют с этой функцией уравнения движения ракеты домомента t k , определяют получившуюся дальность и соответствующие ей значения баллистических производных, после чего корректируют программу тангажа по формуле (68).

Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута достаточная точность совпадения правой и левой частей выражения(68) при соблюдении всех других условий задачи.Получим частный вид программы угла тангажа, предположив, что движение на пассивном участке траектории происходит также в однородном гравитационном поле без учета сопротивления атмосферы, а точка падения лежитна оси X (Рис. 9), т.е. принимается модель плоской Земли. Эти предположениядопустимы, если дальность полета ракеты невелика.

Уравнения движения наПУТ получим из (54), положив в них P  0 : x  0, V y  g 0 .x  Vx , y  Vy , VДанные уравнения легко интегрируются:x  x k  Vx k ,Vx  Vx k ,1y  y k  Vy k   g 0  2 , Vy  Vy k  g 0 ,2Здесь x k , y k , Vx k , Vy k – параметры движения на момент начала пассив-ного полета,  – время движения от момента t k . Если T – полное время пассивного полета до момента падения, то полная дальность полета от начала движения определяется по формуле(69)L  x k  Vx k T ,где время находится из условия y( t )  0 , т.е. из уравнения:1(70)y k  Vy k T  g 0 T 2  0 .2Исключая время T из уравнений (69) и (70), получим выражение длядальности полета через параметры движения на момент t k :VL  x k  x k Vy k  Vy2 k  2g 0 y k .(71)g0Рассчитаем далее баллистические производные:Vx kLL 1,,2x ky kVy k  2g 0 y k(72)2VVV2gyxyy0kL1LkkkVy k  Vy2 k  2g 0 y k ,.2Vx k g 0Vy kg 0 Vy  2g 0 y kkПодставив найденные выражения в формулу (68), получим оптимальнуюпрограмму тангажа для условий полета в однородном гравитационном поле какна активном, так и на пассивном участках траектории:Vx ktgopt .(73)2Vy k  2g 0 y kКак видно из данного выражения, оптимальным является постоянныйугол тангажа.

Несмотря на то, что этот вывод получен при существенныхупрощениях модели движения, в реальных условиях при полете третьей ступени БР угол тангажа принимается, как правило, близким к постоянному.3.3. Оптимальная программа управления полетом РНРассмотрим задачу оптимизации программы угла тангажа в более общейпостановке. Предположим, что требуется определить также наивыгоднейшуюпрограмму изменения тяги двигательной установки из условия достижениямаксимальной дальности полета. Для простоты примем модель однородногогравитационного поля, распространив эту модель и на пассивный участок траектории.

Поскольку тяга ДУ пропорциональна массовому секундному расходутоплива, примем данную величину в качестве параметра управления и дополним систему уравнений (54) уравнением, описывающим закон изменения теку-щей массы ракеты: x  w ист  cos ,Vm y  w ист  sin   g 0 ,Vm  ,mx  Vx ,y  Vy ,(81)где w ист – постоянная скорость истечения,  – массовый секундный расходтоплива, на величину которого наложено ограничение вида:(82)0    max .Полагаем, что в момент t 0 заданы начальные условия движения (55) имасса ракеты m 0 . Концевые условия отнесем к моменту падения ГЧ на поверхность Земли и запишем их в виде:y (T )  0 ,(83)(84)m(t)  mk .Эти условия означают, что точка падения лежит на оси X (Рис.

9) и конечная масса ракеты задана (т.е. задан запас топлива). Критериальная функция(полная дальность полета) имеет вид:L  x (T )(85)Таким образом, задача состоит в определении оптимальной программы углатангажа opt (t ) и оптимальной программы расходования топлива opt (t ) изусловия достижения максимальной дальности полета.Введем сопряженные переменные p1 ,, p5 и запишем гамильтониан задачи:wH  p1Vx  p 2 Vy   ист (p 3 cos   p 4 sin )  p 5   p 4 g 0 .(86) mУравнения для сопряженных переменных имеют вид:wp 1  0, p 2  0, p 3  p1 , p 4  p 2 , p 5  ист(p 3 cos   p 4 sin ).