2. Методы и алгоритмы наведения аэрокосмических ЛА (Лекции), страница 9

Условиемуменьшения модуля дополнительной скорости является отрицательность егопроизводной:d  (17)Vд  0 , Vд  Vд  .dtУстановим связь между величиной V и направлением вектора W . Преддварительно заметим, что справедливо выражение: VV,(18)Vд  дVдгде в числителе стоит скалярное произведение соответствующих векторов.Подставим в формулу (18) выражение для Vд из уравнения (7). В результатеполучим  Vд  b  eд  W  eд .(19)В последнем выражении вектор eд есть единичный орт вектора Vд . Крометого, введено обозначение:(20)b  QVд .Выражение (19) показывает, что отрицательность модуля дополнительнойскорости будет обеспечена, если выполнено неравенство  W  eд  b  eд ,(21)т.е. если проекция вектора W на направление вектора дополнительной скорости превышает проекцию на это направление вектора b .Неравенство (21) проиллюстрировано на рисунке 2, где показано, что допустимые направления вектора W , при которых выполнено условие (17), ограничены углом ASB .Рис.

2. Допустимые направления ускорения WСреди допустимых направлений вектора W целесообразно выбрать энергетически оптимальное по критерию минимума расхода топлива при управлении движением ракеты на АУТ или, что эквивалентно, по критерию минимумавремени, потребного на сведение модуля дополнительной скорости к нулю. Сэтой целью авторами метода требуемой скорости предложено выбиратьнаправление вектора W таким образом, чтобы вектор Vд был противоположенпо направлению вектору Vд (Рис.

3). Поскольку данное условие может бытьсформулировано как равенство нулю векторного произведения: V  V  0 ,(22)ддто в американской литературе способ определения направления вектора изусловия (22) получил название «управление по векторному произведению».Рис. 3. Ориентация ускорения W при управлениипо векторному произведению4.3. АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЯПРИ НАВЕДЕНИИ ПО МЕТОДУ ТРЕБУЕМОЙ СКОРОСТИКак показывает анализ, управление по векторному произведению не является строго оптимальным по расходу топлива и дает лишь некоторое приближение к энергетически оптимальному управлению.

Однако для моделидвижения в однородном поле данное управление строго оптимально при усло-вии, что в качестве дополнительного терминального условия наведения заданополное время полета ГЧ. Проверка данного обстоятельства может быть проведена путем следующих несложных выкладок.Рассчитаем матрицу Q для случая движения БР и ГЧ в однородном гравитационном поле при терминальных условиях наведения (1) и (3).

Связь между текущими параметрами движения, терминальными условиями и компонентами вектора требуемой скорости описывается выражениями:xц  x  Vxтр (T  t )1(23)yц  y  V yтр (T  t )  g (T  t ) 2  ,2zц  z  Vzтр (T  t )где T – заданное время полета. В соответствии с общей формулой (8) получаем, что матрица Q имеет следующий вид:1(24)QE,T tгде E – единичная матрица третьего порядка.Как видим, в данном случае матрица Q пропорциональна единичнойматрице, поэтому вектор b направлен по вектору дополнительной скорости Vд ,вследствие чего и вектор W определяемый условием (22), также направлен повектору дополнительной скорости.

Покажем, что такое направление вектора Wоптимально по условию минимума расхода топлива при наведении БР.С этой целью обратимся к уравнению (7) и умножим его обе части скалярно на вектор Vд . В результате с учетом (24) получим d 22(25)Vд Vд2  2 W  Vд .dtT tПерепишем это выражение в виде d(T - t ) Vд2  2Vд2  2 W  Vд (T  t ) .dtи проинтегрируем обе части данного равенства от текущего момента временидо конца АУТ, т.е. до момента обнуления дополнительной скорости:tкtк 22(26)(Tt)dV2V2W Vд (T  t ) dд дttИнтеграл слева вычислим по частям и с учетом Vд (t к )  0 получимtк (T- t )dVд2 (T t )Vд2ttк  Vд2 d .(27)tДалее из выражений (26) и (27) получаем равенство:tк 2(T - t )Vд   2(T  t ) W  Vд  Vд2 d (28)tСлева в (28) стоит величина, не зависящая от закона изменения направле-ния вектора W .

Поэтому интервал интегрирования справа будет минимален (и,следовательно, будет минимален расход топлива) при максимальности подынтегрального выражения, т.е. в случае, если вектор W направлен по вектору дополнительной скорости. Но именно это направление вектора W обеспечивается, как это было показано, управлением по векторному произведению при движении в однородном поле.В дополнение к сказанному отметим, что в рассматриваемых условияхдвижения направление векторов W и V остается неизменным в течение всегодвремени полета на АУТ и совпадает с направлением вектора требуемой скорости в начальный момент времени, когда начальная скорость ракеты равна нулю.Следовательно, при движении в однородном поле метод наведения формируетпрограмму управления с постоянным углом тангажа, что согласуется с полученным в п. 2 заключением, что оптимальный угол тангажа при наведении воднородном поле при дополнительном краевом условии T  T зад постоянен.Заметим, что этот вывод справедлив только при использовании в качестведополнительного терминального условия наведения полного времени полета,вследствие чего матрица Q имеет вид (24).

Читатель может проверить самостоятельно, что при терминальном условии (4) матрица Q для модели однородного поля имеет более сложный вид, недиагональна и несимметрична. Вследствиеэтого направление вектора b отлично от направления вектора дополнительнойскорости и проведенные выше рассуждения несправедливы.Итак, в общем случае управление по векторному произведению не является оптимальным по расходу топлива. Энергетические показатели данного метода управления можно улучшить путем введения в алгоритм метода специального параметра управления, с помощью которого можно воздействовать нанаправление вектора W . Рассмотрим способ введения параметра управления иодновременно получим выражение для расчета требуемого направления вектора W .Обозначим параметр управления  и введем его как коэффициент привекторе b .

Выбором параметра управления в пределахот 0 до 1 можно соответствующим образом изменять длину вектора b . Таким образом, производнуювектора дополнительной скорости будем определять по формулеdVд W  b .(29)dtЧерез eW обозначим единичный орт вектора W . Исходное уравнение дляопределения вектора eW имеет в соответствии с формулой (22) вид:eд   b  W eW  0 .(30)Разрешим данное уравнение относительно вектора eW .

С этой цельюумножим его векторно слева на eд , eд  eд   b  W eW  0 .(31)и преобразуем двойное векторное произведение по известной формуле       (32)a  b  c  b a  c   c a  b .Раскрывая скобки в (31), получаем      eд eд  b  b  W eд eд  eW   eW   0,(33)      eW  b   eд  eW eд  b  eд .WW Для исключения из последнего уравнения произведения eд  eW умножимэто уравнение скалярно на вектор eW :  2       (34)1eW  b  eд  eW  eд  b eд  eW  .WWКроме того, умножим уравнение (33) скалярно на вектор b  2       2eW  b  b  eд  eW  eд  b eд  b .WWПодставим найденное выражение в (34), в результате чего получим2 2   2 2   21  2 b  eд  eW   2 eд  b ,WWоткуда находим 2 2   2eд  eW   1   b  eд  b .(35)W Здесь перед радикалом следует брать "+", так как eд  eW   0 .

Из формул(33) и (35) получаем:1 eW b  eд ,W(36)2222  W   b  eд  b  eд  b .Таким образом, получены явные выражения для расчета единичного вектора eW , определяющего направление вектора тяги ДУ и продольной оси ракеты. Определив компоненты вектора eW в абсолютной стартовой системе координат, нетрудно рассчитать далее программные значения углов тангажа и рыскания. Очевидно, что при   0 получаем управление, при котором продольнаяось ракеты направляется непосредственно по вектору дополнительной скоро1сти, а при– исходное управление без коррекции модуля вектора b . Оптимальное по критерию минимума расхода топлива значение параметра  определяется путем моделирования процесса управления для заданных условийпуска.