Лекции по дисциплине Оптимальное управление многоуровневыми ММС. Глава 3 (2016) (Лекции по дисциплине "Оптимальное управление многоуровневыми ММС". Главы 1-3 (2016)), страница 4

5] дано расширение (3.49) для любого l.В системе выражений (3.49)J1Ø   K   max J K  K , l \ K   J K K r ,  l \ K  ,   0   0,Kr(3.49)(3.50)где (3.50) — это характеристические функции коалицийK  1, 2 ; 2, 3 ; 1, 3; 1; 2; 3; 0 ,(3.51)имеющие смысл равновесного значения показателя J K в ситуации уравновешивания коалиций Kи не вошедших в коалиции l \ K :14J K K r ,  l \ K  ; Jl \ K K r , l \ K  ,rr(3.52)например, K  1, 2 ; l \ K  3.Характеристическая функцияv 1, 2, 3  ext  J1    J 2    J 3   ,u(3.53)имеет смысл Парето-оптимального решения кооперативного объединения подсистем на основесвертки показателей с равными весами, где u — вектор управления кооперации.Замечание 3.6.

Физически J iØ базируется на суммарном дополнительном эффекте отвсевозможных вариантов вступления i-ой подсистемы в кооперацию с остальными подсистемами.Замечание 3.7. При l  2 в [1, гл. 5] описан геометрический способ получения точки Шепли.После получения вектора J Ø  J1Ø , J 2Ø , J 3Øзадача заключается в оптимизации управленияпо критерию  J i  J iØ 32 min.i 1uU(3.54)Оптимальное управление (решение) будет принадлежать области Парето и обладать свойствомколлективной и индивидуальной рациональности, обеспечивая устойчивость кооперации краспаду.3.3.ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВМНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИВ ФОРМЕ КОМПРОМИССА НА ОСНОВЕ«ИДЕАЛЬНОЙ» ТОЧКИ С АНАЛИЗОМ ОБОБЩЕНИЙПример 3.4.

Многокритериальная оптимизация программного управления. Решение методом«идеальной» точки на основе принципа максимума Понтрягина [14].Рассматривается математическая модель задачи оптимизации x1  x2 ;u  1, t0  0, tk  T , T — не фиксировано. x2  u;(3.55)В векторной форме математическая модель может быть записана в следующей форме:0 1 0 0 x  Ax  Bu , A  , B.0 00 1 Начальные условия и ограничения:(3.56)x1  0  1; x2  0  0; x1 T   0; x1  t   3.Вектор критериев эффективностиJ   J1 , J 2  ,гдеTJ1  x, u    dt  T  min;0(3.57)uJ 2  x, u   x2 T   max.(3.58)uЗадача имеет смысл достижения максимальной скорости за минимальное время.В данной задаче положение «идеальной» точки относительно области возможных значенийкритериев эффективности обозначено на рис.

3.11 точкой 1 . Её координаты — J1* , J 2*    min J1 , max J 2 .Гамильтониан имеет вид15H1  10 f0  11 x2  12u  max;uH 2   21 x2   22u  min,(3.59)uоткуда соответственно10  1; f 0  1; u î  sign 12 ;u î  sign  22 .(3.60)Рис.

3.11. Определение «идеальной» точкиДля получения точки 2 необходимо составить функцию Салуквадзе [1] J  J* 1 1min 2J1*2J 2*2x2 T   x2*  t     u  uo t . x2*  t       2* T Tmin  * T  J22 J 2* 2(3.61)Функция Гамильтона может быть записана следующим образомH C   C1 x2   C 2u , u o  sign  C 2 .(3.62)В результате векторной оптимизации (этап 1) найдены наилучшие значения критериевэффективности, определяющие координаты идеальной точки 1:J1*  1, 414; J 2*  2, 449.(3.63)На втором этапе работы алгоритма векторной оптимизации найдено наилучшее компромиссноерешение (точка 2 ):2   2,678; 0,54 , tï  1,069 с,(3.64)где tï — точка переключения управления.Оптимальное управление имеет вид 1 ï ðè t  1,069;uî   1 ï ðè 1,069  t  2,678.(3.65)Оптимальная траектория имеет следующее описание:0,5t 2  1 ï ðè u î  1;x1o  2î0,5t  2,138t  2,139 ï ðè u  1;(3.66)ît ï ðè u  1;x2î  ît  2,138 ï ðè u  1.(3.67)16 Рис.

3.12. Оптимальная фазовая траектория x2o x1oСоответствующая оптимальная фазовая траектория, описываемая (3.66), (3.67), имеет вид,представленный на рис. 3.12.Замечание 3.8. В работах [14–16] дано обобщение методов получения многокритериальнооптимального программного управления до многокритериального синтеза позиционного управленияu o  x  как функции состояния x  t  . Анализируются три метода многокритериального синтеза: вформе программно-корректируемого позиционного управления, на основе генетическогопрограммирования методом сетевого оператора по Дивееву и на основе модифицированногометодамногопрограммногопозиционногоуправления.В работе [14] сформирован алгоритм многокритериального синтеза на основе последнего метода.В работах [15, 16] разработаны 2 прикладные задачи синтеза управления СТС: терминальныйметод выведения малого БЛА [15] и многокритериально оптимальный нелинейный методнаведения противокорабельной ракеты* [16].Пример 3.5.

Решение задачи назначения с векторным аддитивным показателем методомкомпромисса на основе «идеальной» точки [17, 18]Общая постановка задачи имеет вид nnqqE   xij   aij  xij  min, q  1, l ,(3.68)n xij  1, i  1, n; j 1nxij  X   xij  1, j  1, n; i 10, i  j; xij  1, i  j.(3.69)j 1 i 1xij гдеqВ постановке (3.68), (11.69): E   — q-ый векторный показатель потерь; a   — матрицаqijназначения q го показателя; xij — бивалентная матрица решений векторной задачи назначения;X — область ограничений решения задачи.Общая двухэтапная структура алгоритма заключается в последовательном решении ( l  1 )-йзадачи:*Сычев С.И., Воронов Е.М., Репкин А.Л., Савчук A.M. Программа синтеза оптимального закона наведения собеспечением заданного вектора требований.

Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №201461617. Заявка № 2013619662, заявл. 23.10.2013 г. Дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ15 января 2014 г.17На первом этапе решается l скалярных задач назначения вида (3.68) для нахождения«идеальной» точки 12l1*2*l*Eèä  min E   , min E   , , min E    E   , E   , , E   .

(3.70)На втором этапе формируется компромисс на основе критерия Салуквадзе [1] 2 E  q  x  E  q * ij  min,E   q * xij Eq 1 l(3.71)  на области Парето многокритериальных решений, самоекоторый позволяет найти решение xijблизкое к «идеальной» точке (3.72).Без ограничения общности рассмотрим применение алгоритма на иллюстративном примере(приложение В.4).Пусть l  2, i, j  1, 4 и121aij   597 10 10 76 8   2  9 7; aij 3 43 25 34 6В (3.72) элементы оптимального решения44474 15 3 (3.72).5 68 10 ( xij  1 ) в каждой из задач назначения находятся наглавной и симметричной диагоналях, так как, без ограничения общности, матрицы взяты в форме,близкой к известной форме особых матриц [17, 18] с последовательным построчным убываниемодинаковых в строке разностей элементов.

Тогда1*2*E   1  4  3  3  11; E   1  5  4  4  14.(3.73)На этапе 2 в соответствии с (11.84) на шаге 1 формируются матрицы квадратов отклонений2qqq*aˆij    aij   aij   ,(3.74)q*где aij  в данном примере — соответствующие построчные элементы решения (3.72).Соответственно в примере имеем 022ˆ  aˆ 1   2 A1ij 22 2 6  92 421ˆA1  aˆij  2 1 2 0 3262022212024222623222020212224292 42 ; 12 02 (3.75)02  2 2 .22 62 (3.76)На шаге 2 второго этапа формируется обобщенная матрицаl Aˆ qAî á q 1E  q *2.(3.77)18Так как матрицы Â1 и Â 2 в иллюстративном примере по численным характеристикамq*элементов подобны, то нормирование (деление на E   в (3.71) и в (3.77)) для простотывычислений опустим.Получаем 81 45 45 81 20 4 4 20.(3.78)Aî á  5 1 1 536 20 20 36 Парето-оптимальным решением, иллюстрирующим векторную задачу назначения, являетсявекторx21  x12  x43  x34  1,(3.79)а оптимальное значение показателя —E o  20  45  20  5  90.(3.80)Замечание 3.9.

В работе [6, 19] дано обобщение приведенной задачи в формемногокритериальной комбинированной задачи целераспределения–прогноза динамикиконфликта (ЦР–ПДК) при исследовании конфликтно-оптимального взаимодействия двух СТС:морской и воздушной группировок управляемых средств поражения.3.4.ЭКСПЕРТНОЕ СРАВНЕНИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХАЛЬТЕРНАТИВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АНАЛИЗАИЕРАРХИЙ (4.2)Экспертные методы сравнения многокритериальных альтернатив становятся полезными тогда,когда задачи принятия решения не полностью формализованы и требуют введения специалиста впроцесс принятия решений-альтернатив.

При этом «глубина» использования ЛПР в процессепринятия решений может быть разной. Наибольшая глубина достигается в последней группеметодов интерактивной аппроксимации функции предпочтений ЛПР в задаче многокритериальнойоптимизации проектных решений [10] с интерактивным процессом «навигации» ЛПР набесконечном множестве альтернатив с помощью специальных алгоритмов.Если число альтернатив-решений конечно, то функции ЛПР упрощаются до эксперта, которыйсравнивает альтернативы, в том числе вновь повторяющиеся, либо на основе сформированнойфункции полезности, либо на основе методов анализа иерархии, либо на основе уточнениярезультата двух предыдущих в форме метода ELECTRE [4], как было отмечено в главах 6–8.Определенное расширение, комбинационное обобщение предыдущих трех методов и большуюпрактическую ценность имеет система поддержки принятия решений «Пилот-Б» и ряд другихсистем, приведенных в работе [5].