Лекции по дисциплине Оптимальное управление многоуровневыми ММС. Глава 3 (2016) (Лекции по дисциплине "Оптимальное управление многоуровневыми ММС". Главы 1-3 (2016))

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ3.1.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧИ И МЕТОДОВМНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВРЕГУЛИРОВАНИЯ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙМногокритериальная оптимизация процессов регулирования, управления и принятия решенияявляется следствием предъявления вектора требований к соответствующей системе на этапах еёпроектирования и/или функционирования. В свою очередь, векторный характер требований ксистеме определяется свойствами структурной и функциональной сложности облика современныхуправляемых технических систем.Вектор технических требований к параметрам, статическим и динамическим характеристикам,управляющим силам, обобщенным свойствам эффективности и потерь и др.

формируется, какправило, в форме системы неравенств, удовлетворяющих вектору технических требований,составляет основу (прообраз) многокритериальной оптимизации (в смысле получения допустимыхначальных приближений оптимальных решений).Собственно, одна задача многокритериальной оптимизации формируется тогда, когдапроектировщик ряд допустимых свойств, которые следуют из соответствующих техническихтребований-неравенств, стремится заменить на достижимые предельные (экстремальные),формируя по данным свойствам вместо неравенств обобщенные показатели эффективности ипотерь.Достижимая максимизация эффективности и/или минимизация потерь составляет критерийрешения задачи.

Множество критериев совместно с сохранившимися техническими требованиямив форме неравенств составляет существо задачи многокритериальной оптимизации (далее МКО).3.2.КРАТКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙОПТИМИЗАЦИИ3.2.1. Метод конусов доминирования (1.1)Определение 3.2. Многогранный конус доминирования на области значений показателейJ  U  эффективности имеет видΩ  J : BJ  0 ,(3.1)где B — матрица конуса доминирования размерности dimB  l  l.1 0 Пример 3.1. Пусть l  2, B  E   , область J  U  выпуклая,0 1  J1  0;1 0   J1   J1 BJ   0  0 1   J 2   J 2  J 2  0.(3.2)Геометрически неравенство (3.1) дано на рис.

3.1.1Рис. 3.1. Получение Парето-области значений J Ï  U  на основепрямоугольного конуса доминированияКонус Ω (3.2), как следует из рис. 3.1, является прямоугольным.Без ограничения общности рассуждений для l  2 рассматриваетсяинтерпретация алгоритма получения области Парето значений показателей JÏгеометрическая U   J  UÏнаоснове прямоугольного конуса доминирования на этапе глобального (сетевого) анализа.Шаг 1. Задается конус доминирования (КД) Ω (3.2).Шаг 2.

КД переносится в любую точку C1 (рис. 3.2) области J  U  , где J C1  J1C1 , J 2C1 : J1  J1C1 ; J1  0; C1 J 2  0; J 2  J 2 .(3.3)КД в точке C1 разделяет область J  U  на две подобласти. В одной из них (3.16) находятсязначения показателей J , лучшие, чем в вершине C1 , в другой — хотя бы один из показателей позначению меньше, чем в точке C1.Шаг 3. В соответствии с неравенством (3.3) определяется любая точка C2 , принадлежащая КДс вершиной C1 : J1C2  J1C1 ; CC J 2 2  J 2 1 ;(3.4)и вершина КД переносится в точку C2 (рис. 11.5) J1  J1C2 ;C J 2  J 2 2 .(3.5)Шаг заключительный. Процедура улучшения значений показателей J1 , J 2 заканчивается вточке C k , когда «внутри» КД нет значений показателей, лучших по значениям, чем в вершине Ck(рис. 3.1). Тогда J Ck  J uÏ  J Ï ,(3.6)где (3.6) дает значения показателя в точке u Ï области Парето-оптимальных управлений.Очевидно (рис.

3.1), что свойствами точки Ck при J  u  —выпуклой области будут обладатьвсе точки выделенной линии между граничными точками J1max и J 2 max , где грани КД касаются границы области J  U  . Данная область является областью Парето значений J Ï  u   J u Ï .Увеличение области, например, до точек Ck , Ck показывает, что в КД с вершинами Ck , Ck естьподобласти J  U  со значениями показателей, большими, чем в вершинах.2Замечание 3.1. Матрицы прямоугольных конусов доминирования имеют соответственно вид 1 0 1 0 B2  ; B3  (3.7). 0 10 1Геометрическая интерпретация КД дана на рис. 3.2.Общий вид КД при l  2 без ограничения общности результатов будет иметь место, еслиматрица КД имеет вид12 B   11.  21  22 (3.8)Рис. 3.2.

Вариации прямоугольных КДВыбор величин  ij , i, j  1, 2 позволяет получить часть области Парето. Поэтому оптимизацияпри условии (3.8) называется оптимизацией по КД. Далее рассматривается иллюстративныйвариант анализа оптимизации по КД на примерах.1 1Пример 3.2. B  . 0 1 J1  J 2  0;1 1  J1   J1  J 2 BJ  0   0 1  J 2   J 2  J 2  0.(3.9)Геометрическая иллюстрация результата приведена на рис.

3.3.Рис. 3.3. Подобласть Парето для обобщенного КД (3.9)Очевидно, что область Парето имеет вид кривой ÀÁ. Но заданный конус позволяет определитьтолько часть Парето-области ÀÁ. В конечных точках грани конуса касаются границы областиJ  U  . Очевидно, что за граничными точками A и Ã, например в точках Ck , Ck , внутри КДимеют место точки J  u  , лучшие, чем данные вершины.Пример 3.3. Можно показать, что при1 0 B1 1 подобласть Парето принимает вид кривой ÃÁ на рис. 3.4.(3.10)3Рис.

3.4. Подобласть Парето для обобщенной КД (3.10)Очевидно, может быть показано, что при задании матрицы КД в форме (3.9) можно подобратьвеличины ij  0 так, что КД примет вид, показанный на рис. 3.5, и выделит на области ПаретоÀÁ лишь внутреннюю часть ÃÄ.Рис. 3.5. Внутренняя часть области Парето при заданной КДв форме (3.8)Таким образом, задание матрицы КД позволяет либо решить задачу МКО на основепрямоугольного КД (найти Парето-область значений показателей и, следовательно, областьПарето-оптималь-ных управлений), либо интересующую проектировщика часть области Парето наоснове обобщенного КД.Глобальный (сетевой) анализ на основе КД позволяет выбрать начальное приближение наточках полученной оценки всей области достижимости или её подобласти.Локальная оптимизация второго этапа МКО формируется, например, на методе численнойоптимизации параметризованного управления или управляющих сил в виде вектора параметровq  Q, Q   À à q  0 ,(3.11)где À à — матрица линейных ограничений, активных в точке q.В работе [1, п.

3.2.4] рассматривается алгоритмическое обеспечение численной задачи МКО поКД.Для решения применяется алгоритм векторной релаксации с учетом конуса доминирования.Для поиска оптимальных решений рассматривается последовательность следующих этапов,которые составляют в совокупности одну диалоговую итерацию данного интерактивного метода:формирование конуса доминирования;выбор направления спуска внутри конуса доминирования;вычисление шаговой длины в выбранном направлении.Опуская первую позицию, которая достаточно описана, а также может быть дополненаматериалами [1, пп. 3.2.2 и 3.2.3] далее рассматривается второй этап.Без ограничения общности исследования рассматривается задача МКО в форме минимизациипотерь.

Тогда условие доминирования решения J  над решением J  относительно КД Ω сматрицей B записывается в виде4BJ  0,(3.12)где J  J  J.Использование соотношения (3.12) в качестве спуска в алгоритме векторной релаксациипозволяет сформулировать задачу выбора направления спуска d внутри КД в виде [2]max z;dT , z D  J  q  B  d  z  0;  q D: A a d  0; d  1,(à) (á ) (â) ( ã) (3.13)где (3.13б) — условие d  Ω; (3.13в) — условие того, что вектор d направлен вовнутрь областидопустимых значений параметров Q вида (3.12); в (3.3г)— условие нормировки d.В (3.13б) приращение J в (3.12) представлено дифференциалом, как линейной частьюприращения, а производная от функционала имеет смысл производной по Фреше (Гато).Если z  0, то решение d (3.13) принадлежит КД Ω, и чем больше z , тем болееотрицательной будет величина J и большим сдвиг по КД.Если нормировка (3.13г) имеет видdi  1, i  1, m,(3.14)то введя вспомогательный вектор G, получим неотрицательную переменнуюd  d  G.Заменяя в (3.13) d на равенство(3.15)d  d  G,(3.16)получим на итерации задачу линейного программирования, которую можно решить, например,симплекс-методом.

Этап вычисления шаговой длины в направлении d изложен в [1, п. 3.2.4].3.2.2. Генетический алгоритм многокритериальной оптимизации (1.2)Предысторией генетических алгоритмов (ГА) являются адаптивные алгоритмыпараметрического случайного поиска, см., например, [12].Генетические алгоритмы — это поисковые алгоритмы, основанные на механизмах селекции игенетики [2, 13].Генетические алгоритмы относятся к эволюционному моделированию.