Лекции по дисциплине Оптимальное управление многоуровневыми ММС. Глава 3 (2016) (Лекции по дисциплине "Оптимальное управление многоуровневыми ММС". Главы 1-3 (2016)), страница 3

Тогда, например, задача МКО (1.1)–(1.5) по эффективности принимает видJ  max; iu J k  J k çàä , k  1, l , k  i,(3.37)при условиях (1.2)–(1.5), причем ограничивающие величины J k çàä называются порогами.Задача (3.37) сводит задачу МКО к скалярной задаче с дополнительными условиями в формефункциональных неравенств.Геометрическая интерпретация пороговой оптимизации при l  2 дана на рис. 3.8.9Анализ рис. 3.8 показывает, что область результатов пороговой оптимизации J Ï Î  U составляет часть области Парето J Ï Î  U   J Ï  U  . Получить все решения можно, многократнорешая задачу с ограничением в форме равенства J 2  J 2çàä , изменяя заданную величину J 2çàä вдиапазоне J 2çàä  J 2çàä  max J 2 .uРис.

3.8. Подобласть пороговой оптимизации на фронте ПаретоИз рис. 3.8 также следует, что решение задачи зависит от умения проектировщика формировать решение задачи пороговой оптимизации не существует,пороги. Действительно, при J 2çàä  J 2çàäтак как неравенство J 2  J 2çàä не содержит ни одной допустимой точки области J  U  , а приJ 2çàä  J 2çàäскаляризация МКО на основе пороговой оптимизации дает всю область Парето и«захватывает» при анализе лишнюю часть области J  U  с границей ÁÄ.Недостатком данного метода, как и предыдущего, является сведение задачи МКО к скалярнойзадаче оптимизации с вектором ограничений (в общем случае) в форме неравенств.

Вторымнедостатком является трудность выбора порогов перед решением задачи.Положительным свойством задачи пороговой оптимизации является альтернативный методполучения требуемой подобласти J Ï Î  U   J UÏ Îуправлений или решений, оптимальных поПарето (по сравнению с прямыми интерактивными методами).3.2.6. Метод многокритериальной оптимизации в формекомпромисса на основе «идеальной» (утопической)точки (3.1)Без ограничения общности алгоритма рассматриваются его структурные свойства при l  2 иJ i  max, i 1, 2.

В соответствии с рис. 3.9 идеальной (недостижимой, утопической) точкойuМКО является точка ÈÒ.10Рис. 3.9. Компромисс (точка Ê ) на основе идеальной точки È ÒНа рис. 3.9 область J Ï  U  есть кривая ÀÁ. Идеальная целевая точка (точка ÈÒ) лежит запределами допустимой области значений показателей J  U  . Необходимо найти на областиПарето J Ï  U   J UÏточку, наиболее близкую к утопической точкеÈÒ,и найтикомпромиссное решение задачи МКО.Данная точка, а также управление (решение) определяются на основе следующего алгоритма,состоящего из двух этапов.На первом этапе ставятся и решаются l задач оптимизации и определяется ÈÒ:max J i  J i* , i  1, l; ÈÒ: J*  J1* , J 2* ,u, J l* .(3.38)На втором этапе вводится функция Салуквадзе, определяющая нормированное евклидоворасстояние R между идеальной точкой J * и любой точкой области J  U  :2 J i  J i*   J *   R 2 .i 1 il(3.39)Деление на J i* необходимо для нормировки физической разности показателей.Если минимизировать (3.39), то будет получена точка Ê на фронте Парето, самая близкая кидеальной точке ÈÒ с учетом изменения показателей.Нормировка уравнивает влияние разностей показателей на результат минимизации.

Задачаминимизации может учитывать сравнительную значимость показателей при выборе точки нафронте Парето J  U  , если ввести веса i :2 J  J* min  i  i * i   uopt , Jui 1il(3.40)где0   i  1;l i  1.(3.41)i1Двухэтапный алгоритм на основе решения l  1 задачи скалярной оптимизации (3.38), (3.40),(3.41) формирует самый общий вариант получения Парето-оптимального управления в точкезначений показателей области Парето, самой близкой к внешней целевой (идеальной) точке. Этодостоинство данного метода МКО.Недостатком его является необходимость решения достаточно большой последовательностискалярных задач при достаточно большой размерности показателей МКО.113.2.7.

Метод компромиссов при решении задачмногокритериальной оптимизации на основеравновесно-арбитражных алгоритмов (3.2)Данный метод, в отличие от предыдущего, ориентируется на получение компромиссногорезультата на основе внутренней целевой точки области J  U  . В данном случае необходимополучить компромиссное управление (решение) в точке области Парето, которая являетсянаиболее близкой по показателям к внутренней целевой точке, отражающей существенноетехническое требование к системе.

Одним из вариантов внутренней целевой точки в структурносложных системах является устойчивая балансировка подсистем по эффективности в условияхисходной структурной несогласованности на основе уравновешивания подсистем по Нэшу, вформе угроз-контругроз и СТЭК с последующим достижением точки области Парето, наиболееблизкой к точке равновесия.На данной основе формируется двухэтапный равновесно-арби-тражный алгоритм МКО.Первый этап состоит в получении точки скалярного или векторного равновесия.Соответствующие алгоритмы даны в [1].Краткий комментарий получения равновесия по Нэшу для l  m  2, без ограниченияобщности, заключается в следующем. Простейшее необходимое условие равновесия по Нэшуur  u1r , u2r , где u1r и u 2r балансируют влияние соответствующих показателей J1 и J 2 , имеет вид J1 u1 , u2r 0;u1(3.42) J 2 u1r , u2 0.u2Подобная ситуация имеет место, когда, например, система состоит из двух подсистем споказателями J1  u1 , u2  и J 2  u1 , u2  , причем u 2 влияет на J1 , а u1 влияет на J 2 черезперекрестные связи между подсистемами (приложение В.5).Для решения задачи совместной структурно-связанной оптимизации (3.42) формируется,например, показатель Пао–Нэш-итера-ционной оптимизации [1, гл.

2] на k-ой итерации:k J  u , v Ô Ï Í    1 1 2 , u1  u1k 1  dt u1t0 t J  v , u    2 1 2 , u2  u2k 1  dt  minuu2t0 tk(3.42)с получением u1k , u2k .Подынтегральные выражения в (3.43) есть функциональные скалярные произведения, имеющиесмысл приращений J i , а величины v1 , v2 получены решением вспомогательных задачJ1 u1k 1 , v2  min; J 2 v1 , u2k 1  min.v2v1(3.44)В итерационном процессеu1k  u1r ; u2k  u2r(3.45)достигается на пяти или шести итерациях (3.43), (3.44) с начальными приближениями u10 , u 20 приk  1, найденными на этапе глобального сетевого анализа.Собственно МКО обеспечивают арбитражные схемы Нэша и Райфы, которые обеспечиваютпереход из внутренней целевой точки в точку области Парето, наиболее близкую по показателям квнутренней целевой точке.

Тем самым формулируется компромисс между предельнойэффективностью и существенным техническим требованием внутренней целевой точки.Критерием арбитражной схемы Нэша является соотношениеlÔ ÀÑ    J i  J Ö i   maxi 1u(3.46)12при дополнительном условии J i  J Ö i , i  1, l , åñëè J1 , J Ö i  ï î òåðè; J i  J Ö i , i  1, l , åñëè J1 , J Ö i  ýô ô åêòèâí î ñòü,(3.47)где J Ö — внутренняя целевая точка, например J Ö  JÑÒÝÊ ; при нечетном l выражение (3.46)минимизируется, если J i — потери.В работе [1, гл.

6] даны свойства арбитражной схемы Нэша, а в работах Нэша показано, чтоарбитражная схема имеет единственное решение u Ï , принадлежащее области Парето в точке,наиболее близкой к J Ö .Критерий арбитражной схемы Райфы, например, для J i , J Ö i в форме эффективности, имеет вид Ji  J Ö i (3.48)Ô ÀÑ  max min  , i  1, l.i u JÖ i В (3.48) процедура деления необходима для нормировки.Алгоритм оптимизации является итерационным и имеет следующий вид.Шаг 1. В точке с вершиной J Ö формируется прямоугольный конус доминированияBJ  J Ö , B  E.Шаг 2. Релаксационным методом (см.

методы конусов доминирования) осуществляется сдвигпо направлению «внутрь» конуса доминирования в точку J   J Ö .Шаг 3. Среди величин Ji  Ji  J Ö i , i  1, l определяется минимальная по i : min  J i J Ö i  .iШаг 4. Решается задача по критериюmax min  Ji J Ö i   uopt . iu Шаг 5. Определяется J uopt .Шаг 6. Осуществляется переход к шагу 1 следующей итерации при условии: J Ö заменяется наJ uopt .Замечание 3.5. Райфа показал, что искомая точка Парето J ÏP области значений показателейбудет находиться на пересечении прямой J Ö J È Ò и кривой J Ï  U  , как показано на рис.

3.10 приl  2.Поэтому можно упростить итерационный алгоритм. Для этого на этапе глобального анализанеобходимо найти приближенно идеальную точку и приближенную область Парето на основесетевого приближения методом конусов доминирования и на основе замечания 3.5 определитьприближение точки J ÏP . Тогда на шаге 1 первой итерации алгоритма на основе арбитражнойсхемы Райфы вместо точки J Ö достаточно применять точку J ÏP . Очевидно, что число итерацийзначительно уменьшится.13Рис.

3.10. Определение решения по арбитражной схеме Райфы J ÏP3.2.8. Метод компромиссов в методе многокритериальнойоптимизации на основе точки Шепли (3.3)Данный метод обобщает метод компромиссов в МКО на основе идеальной («утопической»)точки, так как учитывает структурные свойства системы. Принимается, что система состоит изкооперативного объединения подсистем, для которого справедлив подход многокритериальнойоптимизации. Но если компромисс МКО на основе идеальной точки обладает лишь коллективнойрациональностью, когда для некоторых подсистем кооперации результат МКО на Парето-областиможет быть недостаточно эффективен и кооперация неустойчива, то компромисс МКО на основеточки Шепли обладает коллективной и индивидуальной рациональностью для всех подсистем, темсамым обеспечивая устойчивость кооперации [1, гл.

5].Пусть, без ограничения общности, l  3. При этом система состоит из кооперативногообъединения трех подсистем, каждая из которых имеет скалярный или скаляризованный показательJ i , i  1, 2, 3.В соответствии с анализом [1, гл. 5], точка Шепли является также недостижимой (как иидеальная точка) и находится за пределами области допустимых значений показателей J  U  .Значения показателей в точке Шепли задаются следующими выражениями:2!0!1!1!1, 2,3    2,3   1, 2     2  3!3! 1!1!0!2! 1    0   ;1,3    3  3!3! 2!0!1!1!J 2Ø 1, 2,3   1,3   1, 2    1 3!3! 1!1!0!2!  2     0   ; 2,3    3 3!3! 2!0!1!1!J 3Ø  1, 2,3   1, 2     2,3    2   3! 3! 1!1!0!2!  3    0   .1,3   1  3!3! В [1, гл.