Алгебраические системы и некоторые их приложения в теории информации и автоматизации проектирования, страница 8

>>> и Ю называется структурное число порядка Е б'ч рсб)Ю'=(ХСХб угрХНВЕ, ХФ ~Ел ВЕ 1, (3.7) представл>пешее свмметрическую разность множеств Я и Ю Е. Прежде чем вводить операцию произведения структурных чи- сел порядка 8, рассмотрим понятие проекции множества, Это понятие применимо к множествам, элемекты которых есть корте- жи одинаковой длины, Проекцией кортежа сс на с -ю ось назы- вается с -я компонекта кортежа ос (обозначается черезй,с>; ох). Проекцией множества й. > элементы которого л. — кортежи оди- наковой длины, называется мпожесгво С -х компонент кортежей из сх !обозначается черезРО д ). если й= >э, тоРО -й = Ф, 39 Проекпией кортежаас длины гг на оси с яомерами гк, гг,...

. г (1К г а ... г'увгг) ИаЗЫВавтоя КОртЕж ДЛИНЫ $ (ОбОЗНаЧа.- ется черезпРг' г' г' с( ), т.е.ПР; г', ...,г' с =ггтг;т а гтггг, -., гтгг'г я ° Проекдней множества д, элементы которого сс - кортежа одинаковой ллгягы, называется множество проекпий хортежей на оси г,,г~, ...,гй (обозначается черезггрг г~.....г'~ гг ) . П оекпией к ого числа по дка 6 бг=~йг,г)г„.,йгг~ на оси с номерами г,,гг „...г» называется структурное число порядка 3 (5я г ), каждый А -й столбеп которого есть множество проекпий кортежей иэ гг, (обозначается через ПР /~ го г г"- .Я ), т,е,пР ' Сг.

Произведением т (х чисел по ядкат Я нЮ называется структурное число порядка к С» ч-4а '(С =~иг"ггЪу(гг = у Впр;а Ог~ргУ=~5,)фаей (3.8) б~/Я5;... ) Д еЯ ~' еД ) где 7 (Сй ) - число повторений элементагл в последовательности гг, г'г..... га„... Сгг. Множество с г с заданной системой йл бинарньгх оперений называется алгеброй структурных чисел порядка ~ .

Эта алгебра относится к категории универсалыпях алгебр. Кроме того, для любых структурных чисел порядкаЕЯ~,Юх,Сгмножества Г имеют место следуюшие тождества: Я г д9 дг = РАЗЯ г ''хЯ сСВЬ 6 ЮЯ~ ' ~,(Язв'1еС'=Яю~~) ЕС'~фЯ~РЮ'МЛЯ Р(г) ЕС'); 3. Я'г~О=Я"; З.'я ~(.)учя~ ' $ Я юг . 4Я ВЯЛО Ф Ф ° (3.9) фа Я .ю' б. Я гУО=О' .Я'З З'ЫСг) =(Л'аВ')~(Я'ЗС'1, где символом Р обозначено структурное число~ ) символом 1 - структурное число ~ (~) 1 . Из приведенных тождеств следует, что множество структуршгх ~исса порядка с образует аболеву группу с групповой опералисй сложения - О, нулевым элементом которой служит структурное пило О. Противоположным элементом для струхтурного числаЯ явпчгтся самс сгруктгурноо числоЯ, Это вытокит и~ опр дол.пяя вычитания как единственной обратной ~ пг репки х о~и радия слож ния струхтурных чисел порядка г н ппипил жи й ~ и~ й.

Дойствитол~ло, р~лиснле уравнения в'оя"= (' (3,1О) ипя, что то же самое~ уравнения ~(+Яд~ =. У~ называется разностью структурных чисеп '7 и с и записывается в виде Хс=б ~=И. но подстансвкаХс=.А~сбОтв (3.10) в соответствии с тождеством 1 и 4 (см„(3,9)) приводит нас к тождеству Л еб+=А~бз~Е~йб~ =.4~ЫВ~, (3.1ц т,е, В =(=-)З', (3,12) Множество структурных чисел Ес, кроме того, образует ас- социативно-коммутативное кольцо, Это следует из того, что в Е заданы цве бинарные алгебраическке операции - спожение и умножение, причем по сложению Г - абелева группа, а умножек ние коммутативно и дистрибутивно относительно сложения (см.

тождества 1 и 6 иэ (3.9)). Нулем кольца сгруктурных чисел поряцка б естественно является структурное число( ), обо- значенное символом О, единицей кольца структурных чисел по- рядка б является структурное число( )~3, обозначенное сомво- лом 1. В кольце структурных чисел порядка 6 существует един- Ф стаенная единица, опредепяемая тождествами 1 и 3 иэ (3,9), Положим, что структурное число не содержит ф в качестве сво- его стопбца„Тогда иэ тождества 4 (см.3,9) следует „(у "(х)дй = О (3.13) даже в случае ~7 ФО ис9 Ф~7, т,е, кольцо структурных чисел порядка с обладает делителями нуля, Таким образом, кольцо структурных чисел порядка т не является областью целостности, каковыми, в частности, являются числовые кольца, Подводя итог вышеизложенному, заметим, что, кроме рас- смотренных унарных и бинарных операций, на множестве струк- турных чисел порядка б рассматривают и другие операции,Оста- новимся на одной иэ них, К' П оиэве снуем кт пых чисел по Я а гЯ (~,г ...„,са) нЮ (г„,г~, ...,хб ) по компонентам кортежей с выделенными , 1 , 1...1 иядексамн .-',,г2,.„,г~ называется структурное число порядка к С=.Р„то.Ф В а.д (г'„„,,г' )(б)В Я„.,„С~) (3.14) полученное как произведение двух структурных чисел порядка э в $ормс структурных чнсоп порядка Т, Заметим, что для оперении произведения структурных чисел по араеклиям сохраняются все свойства (З,Э), Првсер 3, Умножение структуримх кисет а по ядка 3 ,1,1у с 2 5>З> " с 1,1.1' с 2»5,3 2,2,2» с 1,6,4» с3,4,3» с4,5,6> 3,4,3 5 6» б) порядке 2 с с 1 1> с 1,2>~~у (с1 3» с 4»1») С2,2> с 2,1>~®(с2,4» с 52»1 Рассмотрым првмеры ддействкй со структурными чвслами элементы которыхФ.

ЕФ нлк сх .,с и ФД. с уй г'М х лез.» р г: | с 1,1> с 2 1»1 )с2 1» с1,1» ~ с,1,1> с 1»2> с З,З с3,3> с 3,3> (х,'+ .М. П гасе 2, Слакеиие струк чисел порядка 2: с3,5» с 5,1>Цс1 1» с 5 1» с 3,5> с1 1» ~с2>2» ' с 2,2> ~ 3,3» с 3,3» 3,2, Непота е свойства Свойство 1. С и оизведеыке нескалвких ~г езеегг., Пу р, з» л 1 Я+>,лт е,,лт г, где ~ в»э - натуральные числа, Суммой Ю структурных чисел порядка 6 называется сгруктурное число порядка г, которое обазначаетси (1)...())Я -Я ~;~ (3. -) с=с и определяется условвями ссу Заметим, что определение (3.16) предполагает вполне апре поданную расстановку скобах и пропессе выполнения оперений сложение, Одпако сумма >1 структурных чисел порядка с ые завнснт от расстановки скобок, тек как лля них выпачыяется закан зссапнатннногтн (с»с.(З,О), тождество 2).

Кроме этого, сумма »7 сгруктурнм чисел порядка б па зависит от порядка слагас- 12 ~ (я ~Г»г = ~,гг, 'кяуя .. '~гу =я сб «, ° ° ° ~ г 4 '~г уд (3,17) Сб г ' Е ,о,У~ Ра б у»»» л Произведением л ных чисел по ядка Я „. 4 1ю называется структурное число порядка б, которое обозначается через и ~ В б' (:)... Я ж Ю (3.18) у .а " »т; а и определяется условиуюи Ю Я" =Я~ »» % Яг" = (~® ~т )О Я~ Заметим, что (3,18) предполагает вполне определенную расстановку скобок в пропессе выполнения оперений умножения. Однако произведение »г структурных чисел порядка Е не зависит как от расстановки скобок, так и от порядка сомножителей, что следует из законов ассопиативности и коммутативности (см.

(3.9), тождества 1 и 2). Пусть даны одноэлементные структурные числа поряпка к а ,/~. ='(сб ~~(г'= / РРтй ). Из определение произведенья (3.17) следует, что (3.19) а из произведения структурного числя порядка с в виде (3.17) и определения произведения одноэлементных структурных чисел порядка б (3.19) следует, что структурное число»У всегда Е можно представить в виде б~г -" У ~'с (3,20) Из рассмотреипых п~ зчил сложен»я и произведения »7, структурных чисел порядке б [3.15) и (3,18) а то»сдестъ (3.9) вытекает, что в хо п,по стру»ил ы» ° чисел порядка с .~се элементы входят но вгпю чем в первой степ.ии и с коэффидиептами 0 плп 1, та» къ 3 Мых, что следует из закона коммутативности ( см~),9(,тождество 1), Из определения суммы»т структурных чисел порядка (3,15) и определения структурного числа порядка б следует, ' "что М ~.4', если >-> нечетное; г'=г 1( О, если хт четное, (3,21) Рг У > если И нечетное( /ф,>)> = 1, если хх четное )»(3.22) йг О, если .>>>Я~ ф>.

Свойство 2. )1еление стр ' >х чисел по ядкв ~ . Йеле- нием структурных чнсол поряакабЯ ион незынается оперения, обретная умножению, т,е, соответствие, которое числемЯ> и>3е сопоставляет число Х > нлэываемое их частным, текое, что и -б' =И ®Ю ., (3.23) Если Х существует, то говорят, что У делится на д, яли В делвтельЯ~, т.е. Ь':лу', ~'йо.

(3.24) и ЕслнЯ О, то числят ° =Я °, удовлетворяющие уравне- нюо.Х. (М = О, называются снаряженными по отношению к Я ~ ини делителями нуля, Очевидно> что каждое структурное число норядкас Я~Юимеет как минимум двл делителя, а имеяно / и ,4~и (исключение Я"= 1, которое имеет лишь один кратный де литель), Структурные числа порядка 1 Я з Ф, содержащие только один делительЯ, называются простыми числами.

Одно- строчное структурное число порядка с является простым и неэы- аается основным делителем. В кольцо структурных чисел порядка с деление не всегда выполнимо, т.е кольцост не является полем, а структурное чио ло порядке к В~ представляет собой делитель структурного числа Я~ тогда и только тогде, когда оно удовлетворяет следующим условиям: 1) >у (х~~д г= (',> ° 2) все сголбцы числа 3 являотся подмножествами некото- рых столбцов числе Ун. Квждое структурное число порядка б представляет собой про- стое число нли пронзведоние простых чисел одннвкового порядке, Я'х, 'Е~ 'Е.

О (3.25) н, кроме того, каждое состшнпю число босхонн'а>ым числом сн»сибов. !)~ нмссчч Г'лзложонн> структурного просты> мннжнтолл, зл>м>нты которого разлагается нв простые числа порядка с =-2 нл >с' б >Р'Л.' г'Л ) с 1,2 >)(х1 ~с 3,4 >~ ~ )» 1,2>)Сх) ) с 1 2 >» 3 Ф~ М:: 1,2 1Ю~ 3,4 1.2 с 3,4>.) Практическое приложение находят структурные числа по рядка»-, которые имеют одинвкавое число элементов в столбизх, Рвзложение структурного числе порядка ~ с одинаковым числам элементов в столбиах иа простые числа также с одинаковым числам элементов в сталбиех, содержащих талька элементы числе Я~, называется каноническим разложением, Канонических рззлажений имеется конечное число, 3,3, Геомет ические инте и етаиик струк ых чисел порядка к Пусть эвдэна подмножество структурных чисел порядка е с одинаковым числом элементов в сголбиах, Структурным чкслам тахого виде можно поставить в соответствие различные типы графов, если зедаться переметром с н придать соответствук>- ший смысл компонентам кортежа сс' д, определяемым вырлженис'д ' ем [3.2).