Алгебраические системы и некоторые их приложения в теории информации и автоматизации проектирования, страница 5

„, + о Х~г, ?»Вд относительно переменной Х с йоэффиииенте- ми г?р, г?, „„г? из ?ь . Относительно алгебраических опереиий сложения и умножения многочлонов зго - коммутативное кольцо. Оно нэзывается кольцом многочленовЯ(Х3 ат переменной Х над кольцом ?ь . Нзпример, над кольцом целых, рационэльных, действительных чисел, Аналогично определяется кольна много- членов Х[Х...гмХ „) от ггг переменных квк кольна многочле- иов от одного пеРеменногог нвд кольцом>ха ~Хг,...,Х,г, 1 . П~4 П,Х вЂ”,р ...К вольное кольцо, Рассмотрим множество всех функций„~г: А — «К, определенных не множестве Х со значениями в л., Определим сумму и произведение функций, кек обычно, равенствлми (,У+,Р)(Х) =ЛХ) У(Ф; (УУ)(Х) =У(Х).У (Х), где"+" н " '- операции в кольце /г' .

Нетрушго проверить, чта все требовэния, входяшие в определение кольца, выполняются, и п~ сгроенное кольцо будет коммугативным, если коммутетивна ис- ходное кольца ?г' . Оно незывеется кольцом функций на множе- стве Х со значениями в кольце ?с шрлпр„»рр конечнога числа элементов, Рассмотрим множество Ср, Сг „...

...,С, классов вычетов по модулю гх (пример б, рвэд.1,4). Оно обрэзует коммутативную группу относительно оперении сло- жения. С~ с'~ — — ~'„, гр?с й»1 =? ~гпос~гт), г?- у ?г . Определим операишо умножения классов вычетов: С' С =~'~, ~РЕ ?с( = ~г ~Орг П.),а" ~" гб. Так кек определение этих оперэиий сводится к соответсгвуюшим операциям нэд числами из классов вычетов, та множество клас- сов вычетов также есть коммутативное кольцо с единицей б которое обозначается с гт, Многие свойства колец есть переформулировки соотеетсгвую- ших свойств групп и полугрупп, например г1 а жд, (д~) =а гиля всехлтггегги всех 2лК. Пругие сцепнрические свойства моделируют свойства чисел: 1.

Для всех йРК мО =2г? =Р. 2. (- гг )Б = сг (- г? ) = — М Ь). з. -а =( — ?Ра . ДеУствительно, 1)а+О =а Фа(2+0)=ааФа>а0=аэа+ 2 3 +аО=72 0эд0=0(аналогично о>2 = 0)) 2)0=00=0. Ы-Ь) =0.5 +аГ- Ь ) Е ~Г-6 ) = - (йЬ); (анелогично (-а)Б - (й~> )); З) используя свойство 2, имеем -а =('-а,)~=а(-г~=('-7)а. У и р а ж н е н и я. 1. Пусть Р (Х ) - множество всех подмножеств множества Х с оперениями Я Д =(',Риз)~(Я7)87, Р,г)= 77В, Я,аСХ.

Доказать, что оно является кольцом с единицей, все элементы аддитивной группы которого нмек>т порядок 2, 2. Доказать, что матрацы вида /'2 ~ ) с дейстаителыкы~ЯЬа7 ми ~ и Ь образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения матриц. 1.1 1. Идеалы колен Факт>у-кольца. Гомоморфизмы колец Роль нормельной подгруппы кольца играет подкольца, пазы наемое идеалом. Подмножество7 называется идеалом кольца К > если 1) >7 - подгруппа адднгввной группы 7б; 2) для всех Я е7б и лля всехХе7 >2Х~7 и>х>хч >г~ те, >7А' С 7 7б 7с 7.

Такой идеал наяявается двухсторонним, В кольце целых чисел (с, +, ) любое подкольцо чисел, кратных 7Х, есть идеал. В кольце матрац порядка 2 с целыми элементами ьпнхкество матриц вида где м,„6>~" е. Я является подкольцом, но не идеалом Если А' - коммутатввное кольцо и Р. - произвольный эле мент из 7> > то множество>27б - идеал Действительно, для лкм бых Х,~бА': аХ-ау=а~й.-ф; ('~Л1~=й ~1~,)- Говорят, что й7б - главный идеал> порожденный элементом Прн построении фактор-конструкций в кольцах роль нормаль- ных делителей играют идеалы.

Пусть >7 — идеал кольца >С . Рассмотрим 7>,77 - фактор- группу адаптивной группы кольца. Ее элементамн являотся смежные хлассый~ 7 ° сложение которых определяется как (',2 т.7,) + (Я>+0,) = ~ат Ь')г3 — (й т 7) = ->2+ 7, 2= Умножение смежных классов определим аналогично.. ~а З) ~Ь И = аЬ .г. Это определение корректно, т е. зависит от выбора представителей в классах: если Й «2 +А',зх«еЬ+~, где Х,~ау, то а,Ъ|-(а«ХЯЬ у~=аь+ХЬ+ау~ха и аЬ+7 так как чд,сй~,ХуР.7. Для краткости положим ~2 =с2+ У,так что ~+с = у Поскольку операции над классамн сводятся к операциям над злементами кольца л, то нетрудно проверигь, что для А/„т выполняются все требования, входящие в определение кольца, и 'Я называется фактор-кольцом ж' по идеалу,У, Дистрибутивностчч непрюаер, проверяется так:~й «'Б1С =~с~ Ь )С= =~а.~~С = ~Т'БР = 2с ' ЬС =аГ .ЬС.

Щ~ей Фактор-кольцо целых чисел по идеалуртх, чнсел, кратных ух, есгь кольпо вычетов Г Отображение ~:«Р-~~, называется гомоморфизмом колеи л' и .Р, еслш 1) ~У - гомоморфязм аддитнвных групп колец, т.е. 1~а В= ~ ГхУ' ММ~. 2) для всех «2 5 е гб ф~д ~ ~ф~® ~я~4й ~), Если /Р и.Ь - кольна с едвннцами, то потребуем, чтобы р~~~~ — У б ~,, Отметим следующие свойсчва гомоморфизмов кенеш если р: К~.Р, - гомоморфизм, то: 1) образ ф~, т е,5~гх ы'. - подколыю х, 2) ядро гомоморфизма ~, т.е, мнсюкества лРу (~ =(а еК~~р~а>=О~; идеал ~, Тогда отображение Л: л -«А~~, при котором каждому эле- ', менту й. ставится в соответствие класс Д +,7, есть гомемо фвзм с ядромлР Я'хУ.

Оно называется естественным гомоморфвзмом, Как и в случае групп, верна следуюшая теорема о гомом фнзмах колец, которую мы приведем без доказательства. Тедоема 13 Пусть 4Р:л'-е.е - сюръектявный гомомарфвзм колец с ядром А'Р ф, Тогда кольцо.С изоморчшо фактор-к цу ~/~'Рг~д. Упражнения, 1, Доказать свойства 1 и 2 гомоморфизма колеи, 2, Будут лн следуюшие множества подкольцамн илн идеал ми указанных колец: а) множество х, целых чисел в кольце а 1х'~ целочнсленнь многочленов; б) множествоПЕ1Х ) многочленов, коэффпцъенты которых кратны числу «т > у, в кольце Е(Х3целочнслелных многочленов '3 б в) множество х. пелых чисел в колъпе А пелых гауссовых чисел, т,е.

чисел вада О. Ьг с лелымн з2,Ь. » 1,12, Поле, Х В кольпах пелых, рап»хап~лыжх в дейсчч»втелъных чисел нз того, что произведенве Ио * О, следует, что либо й. О, ла.- бо Ь О, Но в кольпе квадратных матрж порядка Рт г1.зто свойство уже ке выполнено, тах кзк, например,~~~')( ~Я=( ~~~. Если в кольпе 1»' ЫЬэ0 при й.эО,Ь Ф О, той. называет- ся левым, Ь - правым делителем нуля. Если в 1т' вет де- лателей нуля (кроме элемента О, который является тр»внал» яым делвгелем нуля), то К называется кольпом без рели- телей нуля, Пд~аайр 1,В кельне фунхпж ~ » Я К на множестве дейсгвитель ных чвселЯ рассмотрвм функпж,6~12')э);ъ(+Х / (А~э)Х( Х Лля ннх~Д (Д') 0 при,1'ВО °,,~~(К ) 0 прв ярд а по- этомУ пРожведенне~я1'.2Дг1Х) есть нУневан фУнхпва, хотв Я~ФФР»~~~Х)ФР.

Следовательно, в этом кольде есть делитюзв н,пя. щвщщ 'з Рассмотр»вг множество пар целых чвсел (д, Ь ), в котором заданы опередив свеженин и узлгожжж: 1а„ь,).~а~, )ж(а, а2;ь, ьд)Ла„ь,)(а~,ьй-~а,,а~,Ь 6~. Это мнсзкество образует коммутаткжое кольпо с еджжей(1,1) и делвгелямв нуля, так ках (1,0)(0,1) (0,0) ° Г(ойма» Д В колъпе .~Г~ элемент С'й есть делитель куля (см,табл, 1 Ф), Если в кольке нет делвтелей нуля, то в вем выполнен за- кон сокрашения, т.е,йЬэйС, 12 дОрЬхС, дзйсчъятельно, аЬ-иэд~аЯ-4э()~(Ь-с)эд ~ Ь= с. Пусть 1т' - кальво с едюпюей. Элемент г2 называется об- ратимым, есля сушесчвуэт такой элемент й, для которого аа 'эа'а=1. Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так кзк еслнйЬ - О, то й (С~Ь)=0э~й ~а)ЬОэ(дт11ФЬэО (аналогично Ьа О ~ Ь О).

Тйооема 1Ф, Все обратлмые элементы кольна А' с еджв.- пей образуют группу по умноженвю. действительно, умпожевне в 1г' ассоднатявно, едж ша о»- держится в множестве обратимых элементов и произведение пе выводит яз множества обратзмых элементов, так как еслк й и Ь обратимы, то ( (2Ь) = Ь (2 Важную алгебраическую структуру обрвзуют коммутативные кольца /<, в которых квждый ненулевой элемент обрвтим, т.е. относительно оперении умножения множество К~ 10) образует группу. В таких кольцах определены три операции - сложение, умножение и деление. Коммутативное кольцоР с едшпшей УФ О, в котором кеждый яенулевой элемент обрвтим, нвзывается полем.

Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля ~брезуюг группу, которая незывается мультипликативной группой поля Произведение й Ь записывается в виде дроби В и имеет а 6 смысл лишь прн Ь~ О, Элемент — является единственным ре- Ь шепнем урввнения ЬХ = ьс, Действия с дробями подчиняются привычным для нас превилам Й С а с гЫ+Ьг Б сс — = — ~)иЫ =ЬС - Ь,С~~О.-+ — = я Ь~ФО.

>~ с~ й~ ' Г а — а а а с аг — — — — Ь ФР' ф Ь вЂ” Ь Ь с6 ЬсЕ Ь,Ы ~о. Ф вЂ” = — ° а,Ь ~'-о. Ф а г Докажем нвпример второе из них Пусть Х = — и — — решения ° ° Ь сЕ уревяеиийдХха,ЫусС, Из этих уравнений следует Фа Ьс Ыбх=йа,~й~=Ьг=7ЬЯх у~с~а йс ~б = единственное рещение уравнения ~Я~ =ЫЯ+ЬС Г~р~е~ 4 Кольцо целых чисел не обрэзует поля, Полем являются множество рациональных н множество действительных чисел. щ~ур5, Р„р „.. ° х м пример 5, резд 1.10).

Покежем,,что х, является пачем тогдэ и только тогда, когда "т=,з - простое число, Если гг:,й - простое, то х,з — множество из,Ь элементов С'е, С,, ...,с,с ~ . Докажем, что любой элемент Г~ > кроме Ср, обратим, Числа б и Ь взаимно просты. Следовательно, существуют такие целые числе Е и Ртх, что имеет место равенство 3~~,Ьгп=~, причем можно выорать так, что Я ~ ',Ь . Отсюда следует, что в кольце вычетов 2ь выполняется~~Е~хС~, те, элемент СГ - обрвтиый к С~, Если,*т — состввное, 7г =кб, то Су С г сГс, Следовательно, С~ — делитель нуля н х пе есть поле. Поле выстои, есть пример поля, состоя пего вэ конечного ~ислл элем .нтов.

Следоээтельчо, сушсствуэт коночные почи. Рлссмотрюл теперь эд" птиэную 'руэгг; ээя (Р, + П Ггдгчичный ьюм нт поля 1 сгь э.см: цт той группы Плг- смотрим подгруппу, порожденную 1. Она состоит вэ всех крат- ных 1г Пу=у ... <,(-и) уе-~'п4еи~-у,); б'уяа. Так как >э О, то ее порядок не меньше двух, >> э > Р *,> >, элемент 1 порождает подгруппу бесконечного порядка, и поряд- ку,Ь атой подгруппы, если он конечен, Покажем, что если характеристика поля Р не равна О, то ,Ь простое число, Действительно, пусть,с> - составное>,1>хйЬ. По опрепелению характеристики,Ь> О.

Тогда~й ЫУ Щ)М О. Но в поле нет деян>ч>лей нуля, Следовательно, ~'>2/) О или (ЬУ ) О, что противоречит тому, что,Ь - порядок подгруппы, порожденной 1, Понятие характеристнки есть одяо из важных структурных понятий поля. Упражнения. 1. Образуют ли поле относительно сложения и умножения чисел: а) комплексные числа; б) комплексные "иола вида>>>Ьг' с пелыми 2 и Ь в) комплексные числа вида >1 т Ь у с рапиональными >.>. иЬ у 2.