Алгебраические системы и некоторые их приложения в теории информации и автоматизации проектирования, страница 4

г эЬ!Ь'М'ЬИ Отсюда по следстввю к теореме 8 соотношение Л'~Р~ зэк Я6И является отношением эквнваленчноатн Множество левых смшкных классов С по И обозначают б/И ° Это есть множество классов эквнвалентяостн по отношеншо ~0, т,е, фактор-множество б'/~О . Мошиость множества С/Н называется ля де к сом подгруп- пы в группе С, Аналогичные утверждения можно доказать для правых смеж- чых классов.

Одной из важных теорем теоряк групп является теорема Лагранжа 1о т,и»> ~ Л».П> > >~ делится на порядок каждой своей подгруппы, Яущ>атщдйтйо Пусть порядок группы б равен гн > поря- док подгруппы Н равен 4 . Из теоремы 8 вытекает, чтоб'есть объединение неперегзкаюшихся левых смежных классов б' по Н, Пусть у - число левых смеэопнх классов, т.е. индекс под- группы Н ° Тогда гй = М~' ° Множество левых и правых смежных классов группы по од- ной и той же подгруппе, вообше говоря, различна. Пусть УИ симметрическая группа порядка 3, Н вЂ” подгруппа, порожденная элементом (1 2), Н= к (1 2) х > Тагдаэу разбивается на сле- дуюшне левые смежные классы по Н ~Е,(1 2)); ( (1 З), (1 2 З)), ((2 З), (1 З 2)) в правые смежные классы па Н н (Р, (1 2)), ((1 З), (1 З 2)),((2 З), (1 2 З) ) .

ПодгруппаН иаэываегся нормальным делителем группы б, еслн множество левых смпжных классов б поН сов- падает с множеством праиых смежных классов. Это означает, что для всякого элемента~7иб. ~Нее, т.е. для всякого. эле- мента~>еб а для всякого элемента Ь йН можно подобрать такие элементы Ь ',1т эеН, что~Ьх)н~ и Л~ -" ~>/н". Очевидно, что если б' - каммутатнвная группа, то любая ее подгруппа является нормальным делителем б Навалам элементы >2 и Ь группы б сопрыкенными, если существует такай элементЯГо, что нУ =)У нй~ ° Отсюда следует, в частности, что й с~бр "= (у ">>)"~ ~>у т~н> >о.

и» и» мальным делителем б, когда вместе со всяким своим элемен- том 4 она содержит и все элементы, сопряженные с иим в б'. и», в>>~п»> - ~ >, т лк>бого йаН и для любого )>аб' можно указать элементЬ ~е,~/ такой, что Ь/=~>>> . Отсюда)7 Ь~?а4" в, следовательно, вся- кий элемент, сопряженный с л, содержится вФ . Обратно> ес- ли Н содержит вместе со свяким своам элементам и все эле- менты, ему сопряженные, то в Н содержится, в частности, эле- мент~> 9н р =ун'.

Следовательно, Ь~ =(',>7н ", На, с другой сторо- ны, (у"') >4 )» /Ь~" = >и, откуда о ~ =4 рн и, следовательно, ~)Н=Н~. Пац праиэведением двух падмпож ств.4 и д группы б' при- нято понимать множества всех элементов группы б' вида яУ где яаЯ,Ьо>э . Тогда> если Н - нормальный делитель> то правоведение двух смежных классов является смежным классом, т,е,)~ Н'~~Н=у>)э Н в силу ассоциативности и равенства г ~=Нйэ 2О Т~~9 (теорема Лагранжа), Порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгрупщя. До)изатейь2тйо Пусть порядок группы С равен «х > поря- док подгруппы // равен4 .

Из теоремы й вытекает, чтоСесть объединение непересекающихся левых смежных классов С по Н, Пусть»« - чясло левых смежных классов, т.е. индекс под- группы // Тогда «т = (/' ° Ми>хкество левых и правых смежных классов группы чо од- ной и той жеподгрулпе, вообще говоря, различно. Пусть Уи симметрическая группа порядка 3, // - подгруппа, порожденная элементом (1 2), И= к (1 2) х . Тогда Уу разбивается на сле- дующие левые смежные классы по // (/.'> (1 2)); ( (1 3), (1 2 3)) > ((2 3), (1 3 2)) и правые смежные классы по Й ~Е,(1 2)),((1 3), (1 3 2)),((2 3), (1 2 3)) . Подгруппа Н называется нормальным делителем группы С > еслн множество левых смежных классов С по И сов- падает с множеством правых смежных классов, Это означает, что для всякого элемента~Рсб'.

~//»//Я, т,е. для всякого. эле- мента~ е б' и для всякого элемента >«х»'Ф, можно подобрать такие элементы /г Я еН > что)?/«»//Д и /»~ = ~./х~. Очевидно, что если о' коммутатнвная группа, то любая ее подгруппа является нормальным делителем с' Назовем элементы а. и Б группы С сопр>пленными, если существует такой элементЯео, что Ь-"~у~>2~ .

Отсюда следует„ в часгности, что,2 з~/)ас> / = ('у «) «3 у -/. Т~ » >О. П~'>> И >у мальиым делителем с» когда вместе со всяким своим элемен- том /х сна содержит и все элементы, сопряженные с ним в /»«. Дйй»цветем~~ Пусть // - нормальный делитель. Тогда для любого/тз// и для любого~>лО можно указать элемент/«6// татой, что/ту>=)«/г . Отсюда~Р /«~с/х и, следовательно, вся- кий элемент, сопряженный с «)> содержится вН, Обратно, ес- ли // содержит вместе со свяким своим элементом и все эле- менты, ему сопряженные, то в Н содержится, в частности, эле- мент~> «/«~>»/х», Следовател> но,>т)« =~?/»», Но, с другой сторо- иы,/»р «/ >т> у«)О/>)« =/», откупам~»4'у и, следовательно, у//"- //~«, Под произведением двух подмножеств .>/ и д группы с;" при- лито понимать множество всех элементов группы >> вида Ф>» где «хз«ч >/>зЮ .

Тогда, если Н - нормальный делитель, то произведение двух смежных классов является смежным классом, т.о.»««Н>~ //»««, ~7 Н в силу ассопилтпвностп и равенства г //»Ну 20 Таням образом, в мне>пастве смело>ых классов группы б> по нормальному делнтелю Н определена оперения умноження. для того чтобы найти лрокэведеняе двух смежных классов, на- до пронзвольным обрезом выбрать в этих смежных классах по одному представите>по (кажный смекн>яй класс порождается лю- бым своам элементом) и взять тот смежный класс, в котором находится провэведелне этих представителей. Если Н - нормальный делитель б', то фактор-множество ба, т,е, множество смежных классов С по Н, является группой.

Она называется фактор-группой, Действительно> введенная выше операляя уь>поженил смеж- ных классов ассопнатлвна, роль едвкиша играет сама подгруппа Н 9~Н.Н =Н$Н "~>Н, для смежного класса Я Н обратным бу- дет смежный класс (> >Н, так как ~)Н ~т хН =с'Н= Н. в~ >, и> ъа- >>...о>-,>~,,»„,, чисел, Н - подгруппа чнсел, >(ратных Рб . Тогда б/Н - пнклн ческая группа порядка У$ Она вэоморфла группе классов по модулю числа 71 (см„прямер 6, равд> 1,4) ° п>же>.в~~ »> .> .Р и дгруппаЯ~х является нормальным делнтелем, фактор-группа и/Я, шжлическая, порядка 2, Заметны, что фактор группа ~Уу абелевой группы абеле у,Нр Н=~,~ Н=Р~ ~сУ Н~,~.

фактор-группа пвклнческбй группы - пякличесхая, Действвтель но, пусть б -"~й~,~ Ч - смюкный класс„Тогда для некоторого>е Р =а д н уФ= (а у)д. У и р аж н е н н я. 1. Доказать, что пересечение нсрмалжых делнтелей есгь нормальный делитель> 2, Доказать, что любая подгруппа индекса 2 есть норман> ный лелятель, 3. Найти все нормальные депвтелн сямметрнческой группы ~у. 4. йоказать, что группа Клейна Уу есть корь>алъный лелн- тель симметрической группы >у 1,9.

Гомоьарфнзм групп Отображение К:~>-ьН называется гомоморфнэмом группы С в группу Ф, если,у' сохраняет групповую оперэдпю, т.е,/ф,~~я~=,~ф ) ~~~Я для любых (~~,)> Н С (в отличие от изоморфизма,/ - произвольное отображение, а не бнекпия), Отметим следукхлие свойства гомоморфкэма: 1, Единичный элемент переходит в единичный.

2, Обратный элемент переходит в обратный~Я~ /~=,~ф~) З. Обрез о при гомоморфнэме У, т.е. у /г„/ = ~Да ц~ для некоторого ~л С /фэ/к 1 > является подгруппой в // элементов группы 4", которые отображаются при,// в единичный элемент с группы //, т.е, Кет~~ = ( ~ е б /./ Я,) = В ) Тес ме 11 Пусть ~:д - // - гомоморфизм групп. Тогда: 1 если КЕ/"/ ~Г~, где й - единичяый элемент группы С, то отображение/: 6'-~"Лт1/"' есть изоморфнзм, 2)Кс „г' - подгруппа б', ивлщошаяся нормальным делителэме Дйййзйтещйтйо 1, Если Кс / ~ = ~Р / н ~Щ '/=„/ ~~?2 ) то ////ф,, /~ / =„/' //Я» ),Я~,) = е ~.

Следовательно, у ' ~7 еКе/ У:, у ~р=Г и Я 2, Пусть й,ле Фе~,у., Тогда е;а,б/=/Яа////б/ в //а './ = /' '/а( = Г '. Следовательно, ядро гомоморфиэмеКГ/"/"" - подгруппе о/ Если й еКе,/" > э ~» - произвольный элемент группы б', те .Ур'у)=.~ф'ЮЖ///у~=./' '~уМР~~=~' и, значит, ядро гомоморфнзмэ - подгруппа, которая вместе со вснкнм своим элементом содержит и все элементы с иим сопрякенные. Из теоремы 1О следует, чтоКеl,// - нормальный дели- Гель. Пусть /~ - произвольный нормальный делитель группы б' эассмотрим отобрлжение„/':б'-эб///, стэвяп/еэ каждому элеменгу~/Еб' в соответствие тот смежный клесс~//, которому этот элемент принадлежит, Из определения групповой оперэпян в Б~/// элелует, что /' - гомоморфизм, Этот гомоморфизм называется . стественным гомоморфизмом // на фэктор-группу~~У//.

Ядром этого гомоморфнэме является, очевидно, сама подгруппа К ° Отсюда следует, чтс нормальные делители группы ~Р и только оии служат ядрами гомоморфиэмэ этой группы, Приведем без доказательства формулировку основной теор~.- ам о гомоморфнзмах групп, / тээж ы ~, /:Р Б'- ~-,, д "упп с ядром /сЕ' " =К . Тогда группа ~~ |солсофна ,'актос— : „аэг '-сзсств пным; ": м рФлз .. ' а ., и' .

Из этой теоремы вытекает> что все группы, на которые Р может гомоморфно отображаться, с точностью до изоморфизма совпадают с ее фактор-группамн, а все гомоморфизмы исчерпывают- 1 ся ее естественными гомоморфиз- Я мами на фактор-группы, н принято говорить, что следуюшая диаграмма (рис,1,2), где б" - естественный гомоморфизм 6" наР/9, является коммугативной, т.е. б= Ф.

Ф ° 1,10, Кольца Рис. 1.2 Понятие кольца - второе, наряду с понятием группы, кажнейшее понятие алгебры, Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операцни"+" (сложение) и* "(умножение), удовлетворяюшие условиям! 1) относительно операции сложения К - коммутативная группа; 2) относительно операции умножения К - полугруппа; 3) операции сложения и умножения связаны законом днстри бугивности, т.'е.

(а +3)С аС+М; С (а+3) б;2 еС'~, для всех й.,Ь,ГнК называется кольцом (К, +, ' ). Структура (К, + ) называется аддитивной группой кольца Если операция умножения коммугативна, т.е„аЬ=бадля всех й,обК, то кольцо называется коммутативным, Если относительно операции умножения сушествует единжный элемент, который в кольце принято обозначать 1, то говорят, что кольцо А' есть кольцо с единицей. Подмножество х' кольца К называется подкольпом, еслибподгруппа аддитивной группы кольца и замкнуто относительно операции умножения, т,е, для всех а.

„.о а".х, й-с еЛ и 2се ~ ° Пересечение подколец будет подкольцом, Тогда, как н в случае групп,подкольцом, порожденным множеством Ус К ~ называется пересечение всех подколепК, содержашнх5 . ш ~~м * ~ р умножения и сложения (2', +, ° ) есть коммутатнвное кольцо. Множество Гх х целых чисел, деляшвхся иа И, будет подкольцом без единицы при lт > 1. Аналогично, множество рациональных и действительных чи- сел - коммутатнвныо кольца с единицей, х я 2 м р р ш раииями сложения и умножения матрви есть кольцо с единицей Е - единичной мвтриией, При ?т > 1 она нехоммутативное. Пример 3. Пусть гД - произвдльное коммугативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочленыйр»м Х» г? Х~ т...