Алгебраические системы и некоторые их приложения в теории информации и автоматизации проектирования, страница 11

П р шем уравнение (4.1) в внпе п[л1к= ~в~лЬ-ЖК, (4.9) где т — определенная ранее матрипа порядка ~Ийх )и'Хт ° ), .Р('.й7~- диагональная матрица, образовашйая из зчементов ~2, ° ( г .= 1,г. й, ) матрипы -й7, а,й( - вектор-столбеп переменных -~'~ -1;. ° -- ° -~п -г.- Форма записи системы уравнений (4.1) в виде (4.(й) называй тся обобщенной причинно-следственной формой. Свяжем нагруженный орграф С,~ с матрипей т . Пусть б;,(Я ) содержит: 1)Рг -Р" вершин Х; Х й ...йХххй р й 2) дуй' ° ° ° гп кХ ° . Х э, имекипие вес юг -, если с2 '; тР и х х ~' З) и тли Л',',Ху.>, вмоихпие вес ~2г ..

Очевидно, что (,СЮ(Ж Я ) - трансповированная матрипа смежности графа Со. Граф»» (Я ) называется обобщенным сиш»альлым грзфол>, связанным с матрицейЯ или с системой (4.Э), Зкм:тлм, >то граф Коутса»>к (»ЮГЯ) Я) есть обобщенный сигналью»й граф (>> (Я ), к обобщенный сигнальный граф О» !2Д!Я) -Я) есть сюиальный граф К >утса С, ('Я). Используя представление системы (4.1) в ли!к (4,2), уравнение (4,9) мох!по записать и ткх! .Оуг(Я ))(г= ~Кг(Я»>)=Я»>)"! ')>>)(2 Подгрйф Йа (Яг ) гра!)х»»» (Я ) нк.>м!хл г >, > лпо! >ш»ым обобщенным сигналы»ыл> графом. ГЛ! ш>отв гг".лу>т,гноролной сис"геме линеВ>ых уравнений Ю„(Я„))(, = ('З„(Я„) - ..х) „))(, .

Заметим, что сслн взять в>грлпягуД' >дль!>ол>п>г ! »рк!а С»> (Я )> умножить поремеину!о д ° пк пес а - лг>!.ц .Х;,Х 1 ' > и результат приравнять к прокзводшоа в»хь дуг,:кходяших ь вершину Х( > н переменил>х, соответстауххцил пори>ш[лм гркфг! 5' ( Я ), из которых эти туги исходят, то получим Е -о э! клнейиа из системы (4,Г»). Если веса а, . ('г — А»; ) п тель . Х;, 7 ° Э РОВИЫ 1 ° то огобшеиный сигнальный >1>аф гропстзлкц!'!' поток выходных перс лош>ых в системе, как ц граф Ме>!оно, П2ьжер, Рассмотрим представление слетел>ы уравн >ний а, о о с(а,1 'Ъ | о а -~ а„о а„ л,1 о х, ! о хз ' В (4.12) а,, о ау~ о о ! О ать О ае-У !О о о Р Хе Ха.

»Ге- о 0 о О о!о сигнальными графами. 1)ля этого сосгавш! матрицы смежности сигнальных графов Коутса, Мезона и Анисимова, соответствуя ших системе (4.12). Гак как матрица см>жиости С» графа Коутса б» (Я ) есть транспснированаая матрица.9 системы (4,12), а матрице смежности графа М>зона Б,» (Я Е ) и матрица смежности графа Анис>в>ова (»» = (2 О>Я)-Я ), то для рассматриваемого примера имеел» Граф Мозоле предсгавляет поток всех переиэнных к системе, гб бб агро а 010 а~ -~ 0 0 а ~0 агз б або 0 1О аъч"? аЯо 0 О 0 0-~ Л~ а.

о а о о ~о О а„о йяс о араб 0 О 0 а„, 0 О 0 а„,о ~о 0 а,~О 0 ау<,~ О о о !Т й.г1 О а Ф2 0 -й,„-/ о о -а,„ о о о бб -а„, о ~о О -або ~о -а„, о 0 -а~, о о -б ~о о о 10 Фю С .' -.р ф-С.Ю.(ш(ж-а,И).- шие этим матрицам смежности, приведены иа рис. 4.1,а,б,в. 4.2. Метод ш чисел меняя систем лцнейпых алгебраических урввненнй Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в внпе ЯХ=ВУ, (4.13) глеб -невырожденнля мвтрица порядкаП" Т«.;  — метры«а по- рядки шх, ) )( — вектор-столбец порядке «1 х у неизвестных выходных переменных) ) — вектор-столбец порялке7 «у вход- ных перемнпцях. Так как матрице Я невырожденная, то реше- ние системы (4,13) может быть записано в виде Х = «7 ~ОХ= И/х', (4.14) где Н~=~~Мф~ )( — метрипа системных хврактеристик ( 1,8), квждвя из которых определяет передачу от 1 -й входной кА-й выходной переменкой.

Ре«пенне многих звдач электротехники, теории упрввления н кибернетики сводятся к з«сследованшо решения (4,14.) систе- мы (4,13) в символьной форме При очь«охании символьных ре- шений используют тополе ические методы, Так, если с системой урввнений (4.13) связать нагруженяый ориентированный граф Коутса lл кЕ, Х, ««д >, то системную характернстщ«у с«.(й можно найти следуюшим образам: п-.ь (Чз~~ ) °,й и-ь~ Ф ') Ю„~=Х.'~-~) Ю(Ф,)/Е.'('- У~ Ю(Ф'.), (4.15) «=у М где «««(««о ) — произведение весов всех дуг К -го факторе «)ц « графе Коугса, соотвотствуюшего однородной системе тХ = О, й«(«г'-я ) — произведение весов всех дуг « -го фвкторнального соединения Ф~к ст 8 -го, входа х 4 -му выходу графа Коутса системы (4 13), ех,(«Ю',/их'.(Ф««) — число контуров в Ф* и «Р«'«соответственно, д« Нахождение системной характеристики д~ф~по формуле (4;15) сводится к перечислению всех факторов однородного под- грефв ««д грвфе Коутса «н фактаривльных соединений грофа Г= 'Е, Х, «д >, взаимно оцнозиично соответствуюшего системе (4.13), Удобный способ перечисления этих харлктеристик двет клм метод структурных чисел, так квк яз определения детерми- пацтпой функции структурного числа (3.51) и геометрической интерцретвцня (3.3 ) следует, что топологцческая формуле (".1 ) предстлв«цш в виде ш„б =АеЦдЯ, /дс/с,/.>'//Ае1 Я (4,16) гдеЯ - струхтуряое число второго порядка, стопбпы которого представляют множество значений описывакхяей фунхнии фактоРов одноРодного гРафа КоУтса~~есЕ,~,Хе,(Р> сиота>ас линейных одиороыпях уравнеяий д л ЯХед, (4 17) а ~ф~ /дс~,1>- структурное число второго порядка, стопбды которого представляют множество значений одисывакапюй функции факторизльных соединений простого односторонне связного подграфа /~ «Гр~>Хд,9»графа Коутса/= с Е,Х,ф > от 8 -го входа к чс -му выходу, Из определения алгебраической производной (3,51) и ее геометрической клятерпретацви вытекает способ отыскания струк турных чисел оса /дскб,/> по счруктурхым числам -~У~~( столбпы которых йредставляют множество значекий опясъыакхпей фуякдии факторов простых одкородных графов ~'~~ = сЕр (/ А, с > х„, г>.

ища,св р зр с с - ~2и -а,,й .й'~ = -а,у/ 0 / Х, ~Ь (4.18) в свмволъпой форме, используя метод структурных чисел, Граф Коугса Г, соотаетствукапий этой системе, показан на рис, 4„2,а, а граф *Коугса / однородной системы, соответствующий заданной иеодпородкой системе (4,16), приведен иа рис. 4;2,б.

Одиородкые грарыГб",Гс"/Г4>даны иа ряе. 12,в, г,д. Задача сводится к нахождению системных характерястик й//»,, аУ>», сс/те . Найдем сначала струхтурные числаЯ», Я,,Я, >Яке, столбпы которых взазвазо однозначно соотх ветсгвуют факторвм графов ~~, Г 4 /, Г ~'", Г~'", Исиолъзуя (3 Зб)> находим > с1 1> с 1>2> с 1,3» > <1,4> ,(с с 2,2> с 2,1> с 2,1>,4>~2~1> сЗ,З> сЗ,З> с3,2> ~"'3,2> '4,3 > В с1,1 ус 2,4 МФ 3,2 '4,3 с1 1> с с2,2> ,.4 3,4> '4>З > ычисляем производные ,у с с2,1>1 д~с ~с1,1~ 2л д~ ~,~~> ~ с 4,3>~ дну>~ч,З ~ дсяь~ с 1,2> с2,1>.

с 4,3 " с1,1> «2,2 > 4 3' 60 Рис 4,2 х Ъ Хю 2з Я (9 Рж. 4.З столбпы которых взвимно однозначно соответству~от фвкторивль- ным соедиеениям от 4-го входа к 1, 2, З-му выходам. Фвкто- ры графа /в и фвкторивльные соединения грвфв Г показаны нв рис, 4.3,в,б, Никодим детерминвнтные функяин: Ю,",', ~Жс Раку С~~~ = ЙгЗ ~2Зу ~' гг" гг- ~~ = ~"Зи ~~Г/ ~~.Я2 ~ 3 4' 'Теперь по формуле (4,16) находпм системные характеристики: а,з а~уму,, а~у ау~ ате-д„,,~7~гтз~ IФ у у Ж~г / та у !Ь~У~г!2л !2,д~ з У дт"),д'Щл~~гу !УЫй!УЖг~)г! 4.3.

Вычисление передаточных кций стадиона лвиейиых систем авлен заданных схем и помощи алге ы В теории управления одной из наиболее распространеюппх форм представления систем управления явлщотся структурные схемы. Они наглядно отображают функциональную структуру с3ь- стем управления. Другой формой представления систем управле иия, обпегчакапей анализ и синтез сложив!х динамических си:- стем, являются сигнальные графы.

Они наглядно отображают важные свойства линейных алгебраических систем, которые явля- ются одной нз возможных форм описания линейиьгх скстем управ- ленпя. Вычисление передаточной функцик (системкой характерно- тнкк) стационарной системы управления (линейной алгебракчео- кой системы), заданной своим сигнальным графом, рассмотрено в равд. 4.2.

Оно основано иа представленнн системы управления снгпальным графом и вычислении передаточной функции в сим вольном аиде по сигнальному графу методом ачгебры структур- ных чисел, В етом разделе рассмотрим вычисление передаточных функпяй типовых ееедгщений систем управления, заданных свовми передаточными функпвями, я сформулируем правила преобразо- ванкя структурных схем сист эм управления в нх сигнальные гра.- фы, В качестве сигнального графа возьмем обобщенный сигналь- ный граф. Рассмотрим основные типовые соедвпения звеньев лвнейкых систем управлепня ! 8); параллельное (рпс, 4,4,а), последова тельное (рпс.

4.5,а), соединения с обратной связью(рис.4.6,а), В етвх соеднчепиях передаточные функции звеньев К= у'!а, к.-= ~Ъ/с~,, (4,18) прелетавпягот собой дробно-рациональную функцию '('5.) А„у -А гб ' ...'А, б "А (4.20) ФЮ= Фб) а Згега Л у ...+а Зта ж !г граф которой пока:юл на рвс. 4,7.

Ваг!епп!ее«!,!!!х. сое квепие звеньев. Векторно-метр«!во! урев- и! и!г, ст,гго! .г< т«укы! эе структурной схеме (рпе4.5,о), в оооб- щ! пп !й !ц ппЛЗшс, ео!~ «т1«!цпей фе~ъм! (4.10) пы !Ст вкп 1, важный сигнальный граф, соответствующий Уф~ с 1 2> — — с2,4> с 2,2> фса'у> с 3 3 > > с1,3> с 2,2> ) с34> ) с 41> сутс>ша вмса>,.

м'с'с Ю <; шдовата>п,на .~~~~аЯ,~сух(. у>)=- .,Щб -/~~ 4', ' — ('/-' С~ т /-' ~~~, ) /'б7с,с~> (4.21), системе а его пай ' т,е, параллельному соединенюо, покааап иа рис.4.4,6 З Ф системы ( и>'раф, соатветствутоший однородной системе уравненвй 4 21), т.е. однородный подграф обабшеыного сигнапь ного граф , — на рис. 4.4,в. Пере чаточную фуикпик параддепьного соединения К' )тл „>с с + Я л '>8 с (~~ . (4,22) с памоиып (>'с б>>2 б~с б>>~ '> метала структурных чисел монна вычисдить па фор- муде йл = Ж'~ — !СЙЕ Я (4 23) А7 в которой ' Суй г -з по графам, ф чтруктурные числа второго порядка„4,.бу паха ' «окаааиным па рис. 4;4,в,г.