p-Адическая арифметика и ее применение для анализа мономиальных динамических систем с примерами в СКМ Maple, страница 7

Из утверждения 2 следует, что нахождение решений сравнения (П3,2) сводится к случаю, когда (а,т) = 1. В этом случае решение сравнения (П3.2) при неболыпих ьл можно найти перебором и непосредственной проверкой представителей из классов кольца. ОПИСАИИК ПАККтА РАСШИРЕНИИ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ И ПРОГРАММ дли исслкдокАнии мономиАльных ДИНАМИЧЕСКИХ СИСЪЕМ Подклйзчйеы пакет р-йдической математики (зг)иг(рйо(с);). Е состав пакета входят встроенные функции: Ц Функция вычисления и выдйчп результата выражения гх Пример вызова: етй(р(ех,р,з); ета)р(ех,р), где ех — алгебраическое выражение составленное пз рациональных и(или р-вдических чисел, р — модуль (базис) р-зднческого числа, в — количество йыйоднмых рйзрядов результйтй выполненной оперйции нйчпийл с первой цифры отличной от куля (необлзйтельный пйрйметр). Пример выполнения: >ох:=-1/3: р;=3: з:=8: в:=ета)р(ех, р, в); Мпр совр (йпр евер веер со(р йгсмпр вгссозр йгс(йпр йгссвср йгсьеср йгссо(р 3) Гиперболические р-йдические Функции в)пйр сойер ьвпЬр свсЬр веейр со(Ьр 4) Логарифмические и зкспонепцийльные р-йд)гческке функ- ции Пример вызова функций из 2, 3„4, 5 групп: з(пр(ех,р,в) или ета1р(з(п(ех,р,з)); з(пр(ех,р) ог ета1р(зш(ех,р)); з(пр(ех), где ех— алгебраическое выражение, составленное из рациональных и/или р-адических чисел, р — модуль (базис) р-адического числа, в— количество выводимых разрядов результата выполненной операции (необязательный параметр).

Пример выполнения: >совр(3, 3); б) Функция кратности (порядка) вхождения р в разложение рационального числа а на простые сомножители (огпр(а/Ь)= ог«(р(а)-ог«)р((«)) и р-адическая норма (р-здическзя абсолютная величина ~а1 (см. формулу (1.4)) ог«(р та1пер Пример вызова функции: ог«(р(а, р) или огбр(а, р)); та1пер(а,р) или та!Пер(а,р), где а — рациональное число или р-аднческие число, р — модуль (базис) р-зднческого числа. Пример выполнения: >ех;=-(/3: р:=3: з:=3: огбр(ета1р(ех,р,з),р); та1пер(етз1р(ех,р„з),р); 7) Обращение канонического разложения р-здического рационального числа в рациональное число Этз Операция дает правильный результат для натуральных чисел и рзционзльи~~х чисел которые представляют собой Отношение полОжительных целых чисел и некОторой степени р.

Пример вызова функций: гайеа1пер(а,п) или га(та1пер(а); где з — р-адические числО, и — номер старшего разряда р-здического числа„который учитывается в преобразовании. Пример выполнения; >ех: 54: р: 3: з; 3: га(та)пер(ета1р(ех,р,з),26); 8) Функция нахо1кдення точного решения полиномиального уравнения с рациональиымн козффициентамн пример вызова функций: театр(ро1,р,з) или ета1р(кооФО1(ро1, р,з),р,е); гоо(р(ро1,р) плн еъа1р(КОО(ОГ(ро1,р),р), где ро1 — полипом с рациональными козффнциентами, р — модуль (базис) р-аднческОго числа, з — количество ВыВОдимых разрядОВ результата выполненной операции (необязательный параметр).

Пример выполнения. >р1 19: з: 81 п131 ч оо(р(х 2-1, р, з); га311=ор(В13(Ц)1 п1321=ор(тЗ(2))' ш3:=1, 13+13 19+18 19з+18 19 ь18 19 +1819'+18 19ь+0(19 ) 1. Программа для определенна конечного порядка 9 (с наименьший положительный показатель, для которого ае = е) элемента а в базисе р. >РЕ1 ргос(а, р, Х) Ьса1 1с„п пп 1па(г(х(р-1,3,0); 1ог)уго1п 1 (о р-1 >1Ь сс(1,2), ' '; п1((„Ц: й п1(1,3): ор(3, ор(1, етз)р(а"1, р, К))); об1 >КЕТУКг((ета((п1В >ЕП31 К етой программе: а — рациональное нлн р-адическое число возводится в степень 1 (« = 1,2„,,р -1); р — базис р-адического числа. Х вЂ” количество разрядов р-юднческнх чисел, представляю.

1цнх результат. Результат вычислелнй — матрица порядка (р -1)х2, первый столбец которой содержит числа 1= 1,2„...р — 1, а Второй — степени числа с, т.е, чи~ла с'. 2. Программа вычисления чисел юе «я -1, р -1)„й = 1,2,..., Ф. >з(К:=ргос(п,г(,р) Ьсз) хз,(яп:=1па(г)л(К,2,92(о 1 (гоп1 1 (о 1ч >йо п1(1,11* 4; п1(1,21=3сс)(п"1-1,р-1); о1)," В этой программе: оператор Зсй(а, (з) — зто оператор вычисления наиболыпего общего делителя (а,Ь) чисел а, Ь; ю — порядок мономиальной системы; р — базис р-аднческого числа; г( — коли. чество вычисляемых чисел глз ° Результат вычислений — матрица порядка ЗхМ, первая строка которой содержит числа я =1„2*..., Ф, а вторая — числа гяю.

3. Программа, вычисляющая нтерированное отображение г„, где ~„(х) = хю. >)Р> реос(а, и, р, $~„г)) йяи1 юа, ш1, й шг=шаЫз(й, 3, О)) ш(: швЫю(ю„1, (В >шЦ1. 1 ета)р(з, р, Хй ш(1, 2~ -", ш(1, 1р= О; ш(1, 3$ ор(шЦ1, 19; >(ог ( (гош 2 (о й 4о шЦ(, 1$ ета)р(шЦ(-1, 1 п,р,М3 пф,йф >аф, 1р 4-1," пф, Зф ор(етв)р(шЦ$, Ц„р, К)йей КЕП)ИХ(ета)(шф ешй В этой программе: а — рациональное нлн р-аднческое число; и — порядок мономиальной системы; р — базис р-адического числа: я — количество итераций", Ф вЂ” количество разрядов р-адических чисел, представляющих результат, Результат вычислецнй — матрица порядка ЬхЗ, первый столбец которой содержит числа ) =0,1,2,...,Й-1„а второи — знак " (соответствия номера итерации и ее результата), третий — птерированные отображения фа) чясла а.

4. Программе проверкц условия: хо е 3ю~,~(а) =о нй е Ю ха = анхо) е 8,, а(о), та > )юе Я. Если это условие выполнено, то шар У~,, р — диск Знгеля. >$Ж рюсс(ю,цю,р,й,ю))йюп)т,пй,юпк чпаЫюдс,4,Щш1. ппюг(ю(Й,2,03 >пюЦ1, 1 еюа)р(ю, р, Мй шЦ1, 2$ та)юер(л-а, рХ ш(1, Зф " ", ш(1, 1 (ю >гю(1„3$ ср(шЦ1, Щ юз(1, 4$ -юзЦ1, 2ф йг ( йчюн 2 (о й >до шЩ 1 рта(р(шЦР1, Ц'и, р, Хй шЦЗ Зф та)юир(шЦЗ Ца, р)~ >юю(й 2] ' ", юю(ь 1р=(-1; шК ЗЬ ор(ета)р(шЦь Ц, р, ХВ пФ, 43 тоЦ ЗФ оА >ИЕП)ИХ(етв)(вЩ еююю В этой программ~: ю — р~циональное нли р-адическое число; а — неподвижная точка; и — порядок моиомиальной системы", р — базис р.адическото числа; й — количество итераций; Х вЂ” количество раерядов р"адических чисел, нредставля1Ощих результат* результат вычислений — матрица порядка лхб, первый столбец которой содержит числа ~ =0,1,2,...,л-1, а второй — знак " (соответствия номера итераиии и ее результата), третий — итернровааные отображения фх~ числа х, четвертый ~ф~ (х) — а~ „.

1. Нелзей К.1'Куре Геизель1 СЬег е1пе пепе Веугцпбцпу бег ТЬеог1е бег а1уеЬга1всЬеп ЕаЬ1еп, ЛаЬгееЬег. ОеисасЬ, МасЬ, 'ч'еге1п 6, 83 — 88, 1897. 1Первая публикация о р-адических числах). 2, Левской Д.Н. Функцни в неархимедовски нормнрованнмх полях. -- Саратов: Изд.во СГУ, 1962. 3. Воревич З.И., ХПафаревич И.Р. Теорпя чисел. — М.: Наука, 1985. 4. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ7 — М,: Наука, 1987. 5, Кириллов А., Клумова И., Сосинский А. Сюрреальнме числа. г'УКвант, 1979, 76 11. 6.

Кириллов А 4. Что такое чнсло7 — М.: Физматлнт, 1993, 7. Владимиров В.С., Волович И.В„Зеленов Е.И, р-адический анализ и математическая физика. —. М.: Фпзмаглит, 1994. 8, Коблиц Н. р-адические чксла, р-адический анализ и дзетафункцни. — ' М.: Мнр„1982. 9. Кагаок С.Б. р-адический анализ в сравнении с вещественным. — М.: МЦНМО, 2004. 10. Хренников А.Ю, Неархимедов анализ н его прихожанки, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 11. Хренников А.Ю. Моделирование процессов мыгпленна в раднческих системах координат, — М..

"Физматлит, 2004. 12. Глухов М,М., Влизаров В,Л., Нечаев А 4. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т.1. — М„Гелиос АРВ, 2003. 13. Рмбии В.В, Компьвтернмй практикум по алгебре и математическому анализу в среде Мар1е: Учебное пособие. — Мл Изд-во МЛИ, 2002, 14. Дьяволов В.И. Мар1е 9.5~10 в математике, физике и образовании, - — Мл Салон-Пресс, 2006.

ОГЛАВЛЕНИК Предисловие 1. Основы р-адической арифметики н ее изучение в СКМ Мар1е 1,1. Понятие р-адического числа 1.2. Представление р-адических чисел в виде рядов по степеням р 1.3. Арифметические операции ело?кекк, вычитания, умно?неки, деления и извлечения корня в ь1 и пх выполнение в СКМ Марй, 1.4. О??ерапня извлечение ко1?ня степени л? нз единицы в Я„и ее выполнение в СКМ Мар1е...,...... 2. Простак?пие динамические системы на Ц и их изб~че- иие в СКМ Мар1е .

2.1, Основные понятия простейп?пх динамических систем...,...,......,.... 2,2. Мономиальные динамические системы....., . Приложение 1, Неархимедовы числовые поля...,..., Приложение 2. Обобщение р-адических чисел...,.... Приложение 3, Кольца п поля вычетов......,..... Приложение 4. Описакие пакета раси?прения р-адичес- ких чпсел и протрамм для исследования моноииальнь?х динамических систем Виб??неграфический список .